Matrice Symétrique Voici une démonstration que les valeurs propres

Matrice Sym´etrique
Voici une d´emonstration que les valeurs propres d’un matrice sym´etrique `a
valeurs r´eelles sont r´eelles.
R´evision des nombres complexes : Un nombre complexe zest un nombre
qu’on peut ´ecrire sous la forme z=a+b i, o`u aet bsont des nombre r´eels et i2=
−1. Le conjugu´e de zest z=a−b i et le module de zet |z|=√a2+b2=√z z.
N.B. Le module est un nombre r´eel non-n´egatif et il est ´egal `a z´ero seulement
si z= 0 = 0 + 0 i.
La conjugaison est lin´eaire dans le sense suivant : Soit z∈C,a∈R
et b∈R, alors a z +b=a z +bet z1+z2=z1+z2.
Soit Aune matrice sym´etrique `a valeurs r´eelles et soit v∈Cnun vecteur
propre de A, c’est-`a-dire
A v =λ v et v6= 0,
o`u λest un scalaire complexe. Nous allons d´emontrer que λdoit ˆetre un nombre
r´eel.
D´emonstration : On a A v =λ v. Multiplions le cˆot´e gauche par A, on obtient :
A2v=λ A v =λ2v.
Multiplions le cˆot´e gauche par v0, c’est-`a-dire le vecteur des conjugu´es. On ob-
tient
v0A2v=λ2v0v.
Mais A2=A0A, puisque Aest sym´etrique. En outre, v0vest la somme des carr´es
des modules des composantes de v, alors v0v≥0.Mais v6= 0, donc v0v > 0.
Alors,
λ2=(A v)0(A v)
v0v=(A v)0(A v) v0v≥0.
Donc, λest un nombre r´eel, puisque son carr´e est un nombre r´eel non-n´egatif.