Matrice Symétrique Voici une démonstration que les valeurs propres d’un matrice symétrique à valeurs réelles sont réelles. Révision des nombres complexes : Un nombre complexe z est un nombre qu’on peut écrire sous la forme z = a+b i, où a et b sont des nombre réels et√i2 = √ 2 −1. Le conjugué de z est z = a − b i et le module de z et |z| = a + b2 = z z. N.B. Le module est un nombre réel non-négatif et il est égal à zéro seulement si z = 0 = 0 + 0 i. La conjugaison est linéaire dans le sense suivant : Soit z ∈ C, a ∈ R et b ∈ R, alors a z + b = a z + b et z1 + z2 = z 1 + z 2 . Soit A une matrice symétrique à valeurs réelles et soit v ∈ Cn un vecteur propre de A, c’est-à-dire Av = λv et v 6= 0, où λ est un scalaire complexe. Nous allons démontrer que λ doit être un nombre réel. Démonstration : On a A v = λ v. Multiplions le côté gauche par A, on obtient : A2 v = λ A v = λ2 v. Multiplions le côté gauche par v 0 , c’est-à-dire le vecteur des conjugués. On obtient v 0 A2 v = λ2 v 0 v. Mais A2 = A0 A, puisque A est symétrique. En outre, v 0 v est la somme des carrés des modules des composantes de v, alors v 0 v ≥ 0. Mais v 6= 0, donc v 0 v > 0. Alors, (A v)0 (A v) (A v)0 (A v) = ≥ 0. λ2 = v0 v v0 v Donc, λ est un nombre réel, puisque son carré est un nombre réel non-négatif.