Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de math´ematiques - Alternance Gea
Anne Fredet
24 septembre 2005
1´ Equations et in´equations du second degr´e
Soient a, b, c trois r´eels, avec a6= 0.
On s’int´eresse `a l’´equation ax2+bx +c= 0.
En posant ∆ = b2−4ac, on obtient trois possibilit´es :
– ∆ >0.
Dans ce cas, l’´equation ax2+bx +c= 0 admet deux solutions r´eelles
x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a
Pour tout x∈R, on a ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2).
De plus, on a le tableau de signe suivant :
x−∞ −b−√∆
2a−b+√∆ 2a+∞
asigne(a) signe(a) signe(a)
(x−x1)−0 + 0 +
(x−x2)− − 0 +
P(x) = a(x−x1)(x−x2) signe(a) 0 −signe(a) 0 signe(a)
– ∆ = 0.
Dans ce cas, l’´equation ax2+bx +c= 0 admet une seule solution
x=−b
2a. Pour tout x∈R, on a ax2+bx +c=a(x−x1)2.
De plus, on a le tableau de signe suivant :
x−∞ − b
2a+∞
P(x) signe(a) 0 signe(a)
1

– ∆ <0.
Dans ce cas, l’´equation ax2+bx +c= 0 n’admet pas de solution dans
R.
On a le tableau de signe suivant :
x−∞ +∞
P(x) signe(a)
Notons que dans ce cas, il y a deux solutions complexes conjugu´ees :
x1=−b−i√|∆|
2aet x2=−b+i√|∆| 2a.
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2 Exercices
Exercice 2.1 Trouver les valeurs de xtels que
1. x2−3x+ 2 = 0
2. x2+x+ 1 = 0
3. x2−6x+ 9 = 0
4. x2−5x+ 4 = 0
5. x2+ 4x+ 5 = 0
6. x2+ 12x+ 36 = 0
7. x2−3x+ 2 >0
8. −x2+ 5x−4>0
9. x2+x+ 1 >0
10. x2−6x+ 9 ≤0
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3 Solutions des exercices
Solution 2.1 1. x2−3x+ 2 = 0.
Si on consid`ere une ´equation de la forme ax2+bx +c= 0, on calcule
le d´eterminant ∆ = b2−4ac. Si ∆ >0 alors les solutions sont −b±√∆
2a.
Dans ce cas, ∆ = 1 et donc x1=3+1
2= 2 et x2=3−1 2= 1. Les solutions
sont {2,1}. On a donc x2−3x+ 2 = (x−2)(x−1)
2. x2+x+ 1 = 0.
Si on consid`ere une ´equation de la forme ax2+bx +c= 0, on calcule
le d´eterminant ∆ = b2−4ac. Si ∆ <0 alors il n’y a pas de solution.
Dans ce cas, ∆ = −3 donc il n’y a pas de solution.
3. x2−6x+ 9 = 0.
Si on consid`ere une ´equation de la forme ax2+bx +c= 0, on calcule
le d´eterminant ∆ = b2−4ac. Si ∆ = 0 alors il y a eu une unique
solution sont −b
2a. Dans ce cas, ∆ = 0 et donc x1=6 2= 3. On a donc
x2−6x+ 9 = (x−3)2.
4. x2−5x+ 4 = 0.
On a ∆ = 9 et donc x1=5−3
2= 1 et x2=5+3 2= 4. Les solutions sont
{1,4}. On a donc x2−5x+ 4 = (x−1)(x−4)
5. x2+ 4x+ 5 = 0.
On a ∆ = −4 donc il n’y a pas de solution.
6. x2+ 12x+ 36 = 0.
On a ∆ = 0 et donc x1=−12
2=−6. On a donc x2+12x+36 = (x+6)2.
7. x2−3x+ 2 >0.
On a x2−3x+ 2 = (x−1)(x−2), ce qui nous donne le tableau des
signes suivants :
x−∞ 1 2 +∞
x−1−0 + +
x−2− − 0 +
x2−3x+ 2 = (x−1)(x−2) + 0 −0 +
L’ensemble solution est donc ] − ∞,1[∪]2,+∞[.
8. −x2+ 5x−4>0.
On a −x2+ 5x−4 = −(x−1)(x−4), ce qui nous donne le tableau des
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signes suivants :
x−∞ 1 4 +∞
x−1−0 + +
x−4− − 0 +
−x2+ 5x−4 = −(x−1)(x−4) −0 + 0 −
L’ensemble solution est donc ]1,4[.
9. x2+x+ 1 >0.
On a ∆ = −3<0 donc cette ´equation n’est pas factorisable et ne
s’annule jamais sur R. Il suffit de regarder sa valeur en un point pour
avoir son signe. En 0, x2+x+ 1 vaut 1 donc x2+x+ 1 est toujours
positive. L’ensemble solution est donc R.
10. x2−6x+ 9 ≤0.
On a x2−6x+ 9 = (x−3)2. Un carr´e est toujours positif donc la seule
possibilit´e pour que x2−6x+ 9 ≤0, c’est x2−6x+ 9 = 0. La seule
solution est donc x= 3.
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