0.1 Equations du premier degré 0.2 Exemples d`équations se

AES-Misashs
2009-2010
Travaux Dirigés 4
Rappels sur les équations
0.1
Equations du premier degré
Soit a 6= 0 et b deux réels donnés,
Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont des
b
nombres réels donnés , a 6= 0 et x est l’inconnue, admet une unique solution x = .
a
Donnons des exemples :
x + 6 = 0 donc x = −6,
x − 7 = 0 donc x = 7.
2x + 3 = 0 donc 2x = −3 d’où x = − 32 ,
−3x − 7 = 0 donc −3x = 7 d’où x = − 73 .
2x + 3 = x − 4 donc 2x − x = −4 − 3 alors x = −7.
0.2
Exemples d’équations se ramenant au premier degré
(x − 2)(x + 3) = 0 équivaut à x − 2 = 0 ou x + 3 = 0 ce qui donne deux solutions 2 et −3.
x2 − 6x + 9 = 0 se factorise en (x − 3)2 = 0 donc x − 3 = 0 d’où x = 3 ( là les deux facteurs
du produit sont identiques).
x2 − 9 = 0 se factorise en (x − 3)(x + 3) = 0 donc x − 3 = 0 ou x + 3 = 0 d’où x = 3 ou
x = −3. ( ce sont bien les deux nombres qui ont pour carré 9).
(x + 1)2 − (2x − 1)2 = 0 donne [(x + 1) + (2x − 1)][(x + 1) − (2x − 1)] = 0 d’où [x + 1 +
2x − 1][x + 1 − 2x + 1)] = 0 donc 3x(−x + 2) = 0 alors 3x = 0 et −x + 2 = 0 et deux solutions
0 et 2.
x3 − 9x = 0 qui se factorise en x(x + 3)(x − 3) = 0 et va avoir 3 solutions 0, 3, −3.
Attention pour qu’un quotient soit nul il suffit que son numérateut le soit.
x−2
n’existe pas si x = 1 et est nul si x = 2.
Par exemple
x−1
0.3
Equations du second degré
Soit une équation du second degré : ax2 + bx + c = 0 où a 6= 0.
On calcule alors ∆ = b2 − 4ac et suivant le signe de ∆ on a les trois cas suivants :
Si ∆ < 0, on a vu que l’expression n’est pas factorisable et comme un carré ne peut être
négatif, il n’y a pas de solution.
b 2
b
) = 0 donc x0 = − 2a
et l’équation admet une unique
Si ∆ = 0, ax2 + bx + c = a(x + 2a
solution.
√
√
b
∆
b
∆
Si ∆ > 0 alors ax2 + bx √+ c = a(x + 2a
−
)(x
+
+
) et l’équation admet deux
2a
2a
2a
√
−b+ ∆
−b− ∆
solutions distinctes x1 = 2a et x2 = 2a .
Exemples :
1) Soit l’équation x2 + x + 1 = 0.
Ici a = coefficient de x2 = 1, b =coefficient de x= 1 et c =coefficient constant= 1 donc
∆ = b2 − 4ac = 12 − 4 × 1 × 1 = −3 < 0 donc pas de solution c’est à dire qu’aucune valeur
de R ne vérifie x2 + x + 1 = 0. On dit S = ∅. ( cela se lit ensemble vide)
√
2) Soit l’équation 3x2 + 2 3x + 1 = 0.
1
√
2
Ici a = coefficient
de
x
=
3,
b
=coefficient
de
x=
2
3 et c =coefficient constant=
√
√ 1 donc
√
∆ = b2 − 4ac = (2 3)2 − 4 × 3 × 1 = 0 donc une seule solution x == − 22×33 = − 33 . On a
√
S = {−
3
}.
3
3) Soit l’équation 3x2 − 2x − 1 = 0.
Ici a = coefficient de x2 = 3, b =coefficient de x= −2 et c =coefficient constant=
−1 donc
√
−b+ ∆
2
2
=
∆ = b − 4ac = (−2) − 4 × 3 × (−1) = 4 + 12 = 16 donc deux solutions x1 = 2a = 2+4
2×3
6
6
= 1 et x2 =
√
−b− ∆
2a
=
2−4
2×3
=
−2
6
= − 13 . On a S = {− 31 , 1}.
4) Soit l’équation x2 − 5x + 3 = 0.
Ici a = coefficient de x2 = 1, b =coefficient de x= −5 et c =coefficient constant=
3 donc
√
√
5+ 13
−b+ ∆
2
2
=
∆ = b − 4ac
=
(−5)
−
4
×
1
×
3
=
25
−
12
=
13
donc
deux
solutions
x
1 =
2a
2
√
√
√
√
et x2 = −b−2a ∆ = 5−2 13 . On a S = { 5−2 13 , 5+2 13 }.
0.4
Inéquations du second degré
0n va étudier le signe de l’expression ax2 +bx+c et ainsi résoudre les inéquations fabriquées
avec cette expression. On calcule ∆ = b2 − 4ac.
Si ∆ < 0 on a vu que l’expression ne s’annule pas, elle est toujours de même signe celui
de a.
x
Signe de ax2 + bx + c
Si ∆ = 0 on a
−∞
+∞
signe de a
−∞
x
Signe de ax2 + bx + c
−
signe de a
b
2a
+∞
0
signe de a
Si ∆ > 0 on a :
√
−b− ∆
2a
−∞
x
√
−b+ ∆
2a
+∞
√
Signe de x +
b
2a
+
Signe de x +
b
2a
−
∆
2a
−
0
+
|
+
−
|
−
0
+
signe de a
0
signe de −a
0
signe de a
√
∆
2a
Signe de ax2 + bx + c
Exemples :
1) Soit à résoudre 7x2 + x + 3 > 0.
Alors ∆ = 12 − 4 × 7 × 3 = −83 < 0 donc 7x2 + x + 3 est toujours du signe de a = 7 donc
positif. Tout x réel convient. S = R.
2) Soit à résoudre x2 + 2x + 1 > 0.
Ici ∆ = 0 et seule la valeur −1 annule l’expression. Donc S = R − {−1}.
3) Soit à résoudre x2 − 5x + 6 > 0. Ici ∆ = 25 − 4 × 1 × 6 = 1 et les deux solutions sont 2
et 3. On a le tableau suivant ( ici a = 1 est positif) :
x
−∞
Signe de x2 − 5x + 6
+
2
0
On en déduit donc que S =] − ∞, 2[∪]3, +∞[.
2
−
3
0
+∞
+