0.1 Equations du premier degré 0.2 Exemples d`équations se

AES-Misashs 2009-2010
Travaux Dirig´es 4
Rappels sur les ´equations
0.1 Equations du premier degr´e
Soit a6= 0 et bdeux r´eels donn´es,
Toute ´equation de la forme ax =b( ´equation dite du premier degr´e) o`u a, b sont des
nombres r´eels donn´es , a6= 0 et xest l’inconnue, admet une unique solution x=b
a.
Donnons des exemples :
x+ 6 = 0 donc x=−6, x−7 = 0 donc x= 7.
2x+ 3 = 0 donc 2x=−3 d’o`u x=−3
2,
−3x−7 = 0 donc −3x= 7 d’o`u x=−7
3.
2x+ 3 = x−4 donc 2x−x=−4−3 alors x=−7.
0.2 Exemples d’´equations se ramenant au premier degr´e
(x−2)(x+ 3) = 0 ´equivaut `a x−2 = 0 ou x+ 3 = 0 ce qui donne deux solutions 2 et −3.
x2−6x+ 9 = 0 se factorise en (x−3)2= 0 donc x−3 = 0 d’o`u x= 3 ( l`a les deux facteurs
du produit sont identiques).
x2−9 = 0 se factorise en (x−3)(x+ 3) = 0 donc x−3 = 0 ou x+ 3 = 0 d’o`u x= 3 ou
x=−3. ( ce sont bien les deux nombres qui ont pour carr´e 9).
(x+ 1)2−(2x−1)2= 0 donne [(x+ 1) + (2x−1)][(x+ 1) −(2x−1)] = 0 d’o`u [x+1+
2x−1][x+ 1 −2x+ 1)] = 0 donc 3x(−x+ 2) = 0 alors 3x= 0 et −x+ 2 = 0 et deux solutions
0 et 2.
x3−9x= 0 qui se factorise en x(x+ 3)(x−3) = 0 et va avoir 3 solutions 0,3,−3.
Attention pour qu’un quotient soit nul il suffit que son num´erateut le soit.
Par exemple x−2
x−1n’existe pas si x= 1 et est nul si x= 2.
0.3 Equations du second degr´e
Soit une ´equation du second degr´e : ax2+bx +c= 0 o`u a6= 0.
On calcule alors ∆ = b2−4ac et suivant le signe de ∆ on a les trois cas suivants :
Si ∆ <0, on a vu que l’expression n’est pas factorisable et comme un carr´e ne peut ˆetre
n´egatif, il n’y a pas de solution.
Si ∆ = 0, ax2+bx +c=a(x+b
2a)2= 0 donc x0=−b 2aet l’´equation admet une unique
solution.
Si ∆ >0 alors ax2+bx +c=a(x+b
2a−√∆ 2a)(x+b 2a+√∆ 2a) et l’´equation admet deux
solutions distinctes x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a.
Exemples :
1) Soit l’´equation x2+x+ 1 = 0.
Ici a= coefficient de x2= 1, b=coefficient de x= 1 et c=coefficient constant= 1 donc
∆ = b2−4ac = 12−4×1×1 = −3<0 donc pas de solution c’est `a dire qu’aucune valeur
de Rne v´erifie x2+x+ 1 = 0. On dit S=∅. ( cela se lit ensemble vide)
2) Soit l’´equation 3x2+ 2√3x+ 1 = 0.
1

Ici a= coefficient de x2= 3, b=coefficient de x= 2√3 et c=coefficient constant= 1 donc
∆ = b2−4ac = (2√3)2−4×3×1 = 0 donc une seule solution x== −2√3
2×3=−√3 3. On a
S={−√3
3}.
3) Soit l’´equation 3x2−2x−1 = 0.
Ici a= coefficient de x2= 3, b=coefficient de x= −2 et c=coefficient constant= −1 donc
∆ = b2−4ac = (−2)2−4×3×(−1) = 4 + 12 = 16 donc deux solutions x1=−b+√∆
2a=2+4 2×3=
6
6= 1 et x2=−b−√∆ 2a=2−4 2×3=−2 6=−1 3. On a S={−1 3,1}.
4) Soit l’´equation x2−5x+ 3 = 0.
Ici a= coefficient de x2= 1, b=coefficient de x= −5 et c=coefficient constant= 3 donc
∆ = b2−4ac = (−5)2−4×1×3 = 25 −12 = 13 donc deux solutions x1=−b+√∆
2a=5+√13 2
et x2=−b−√∆
2a=5−√13 2. On a S={5−√13 2,5+√13 2}.
0.4 In´equations du second degr´e
0n va ´etudier le signe de l’expression ax2+bx+cet ainsi r´esoudre les in´equations fabriqu´ees
avec cette expression. On calcule ∆ = b2−4ac.
Si ∆ <0 on a vu que l’expression ne s’annule pas, elle est toujours de mˆeme signe celui
de a.
x−∞ +∞
Signe de ax2+bx +csigne de a
Si ∆ = 0 on a
x−∞ − b
2a+∞
Signe de ax2+bx +csigne de a0 signe de a
Si ∆ >0ona:
x−∞ −b−√∆
2a−b+√∆ 2a+∞
Signe de x+b
2a+√∆ 2a−0 + |+
Signe de x+b
2a−√∆ 2a− | − 0 +
Signe de ax2+bx +csigne de a0 signe de −a0 signe de a
Exemples :
1) Soit `a r´esoudre 7x2+x+ 3 >0.
Alors ∆ = 12−4×7×3 = −83 <0 donc 7x2+x+ 3 est toujours du signe de a= 7 donc
positif. Tout xr´eel convient. S=R.
2) Soit `a r´esoudre x2+ 2x+ 1 >0.
Ici ∆ = 0 et seule la valeur −1 annule l’expression. Donc S=R− {−1}.
3) Soit `a r´esoudre x2−5x+ 6 >0. Ici ∆ = 25 −4×1×6 = 1 et les deux solutions sont 2
et 3. On a le tableau suivant ( ici a= 1 est positif) :
x−∞ 2 3 +∞
Signe de x2−5x+ 6 + 0 −0 +
On en d´eduit donc que S=] − ∞,2[∪]3,+∞[.
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