Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire. Sommes de

χ2
χ2n Xn=ε2
1+. . . +ε2
n
εiN(0,1)
n
Xn
XnXn
cnxn/2−1e−x/21x>0
λ∈]0,1/2[ E(eλXn)δ > 0
P(Xn>(1 + δ)n)≤e−nLδ(λ)Lδ(λ) = (1 + δ)λ+1
2log(1 −2λ).
λ
P(Xn>(1 + δ)n)≤e−nφ(δ)≤e−n(δ2/4−δ3/6) φ(δ) = 1
2(δ−log(1 + δ)).
λ−λ
P(Xn<(1 −δ)n)≤e−nψ(δ)≤e−nδ2/4ψ(δ) = −1
2(δ+ log(1 −δ)).
x > 0
P(|Xn−n|>√n x)≤2 exp −x2
4+x3
6√n.
(Xn)n≥1N
(Xn)n≥1(P(Xn>0))n≥1
(Xn)n≥1
Pn≥1P(Xn>0) <+∞n≥1XnB(n, pn)
(Xn)n≥1
pn=1
n2pn=1 n3
n≥1XnP(αn)
(Xn)n≥1
αn=1
nαn=1
n2
n≥1XnP(Xn=n2) = βn
P(Xn= 0) = 1−βn(Xn)n≥1
βn=1
nβn=1
n2βn=1 n3

f:R→Rα > 0
lim
n→∞ Z[0,1]n
fx1+. . . +xn
ndx1. . . dxnlim
n→∞ X
k≥0
e−αn (αn)k
k!fk n.
(Xi)i≥1
1
P(Xi= 1) <1,∃α > 0/P(α≤X1) = 1.
Yn=Qn
i=1 Xi
x∈]0,∞[\{1}ln(x)< x −1E(ln(X1)) <0
1
nln(Yn)n→+∞Yn
E(Yn)Yn
f[0,1] Rx∈[0,1] n∈N∗Sn
B(n, x)
pn(x) := E[f(Sn
n)] x
f
f[0,1]  > 0
δ > 0n∈N∗x∈[0,1]
|pn(x)−f(x)| ≤ E[|f(Sn
n)−f(x)|]≤P(|Sn n−x| ≤ δ)+2P(|Sn n−x|> δ) sup
0≤x≤1|f(x)|.
 > 0δ > 0n∈N∗x∈[0,1]
|pn(x)−f(x)| ≤ + 2x(1 −x)
nδ2sup
0≤x≤1|f(x)|.
[0,1] R
[0,1]
{0,1}
0