Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD 8 : Modes de convergence
1. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences
suivantes à quelle condition sur la suite (An)n1elle a lieu.
a. La suite (An)n1converge en probabilité vers 0.
b. La suite (An)n1converge dans L2vers 0.
c. La suite (An)n1converge presque sûrement vers 0.
2. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p]0,1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn)n1prend une infinité de
fois la valeur 1et une infinité de fois la valeur 0.
3. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout
n1on ait
P(Xn=1) = 1 1
n2et P(Xn=n21) = 1
n2.
a. Montrer que la suite (Xn)n1converge vers 1en probabilité.
b. Montrer que la suite (Xn)n1converge presque sûrement vers 1. Cette convergence
a-t-elle lieu dans L1?
4. Soit (θn)n1une suite de réels strictement positifs telle que limn+θn= +.
Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n1,
Xnsuive la loi exponentielle de paramètre θn.
a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn)n1. Quelle hypothèse n’a-t-on
pas utilisée ?
b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1.
c. Étudier, dans le cas où θn=npuis dans le cas où θn= log n, la convergence presque
sûre de la suite (Xn)n1.
5. Soit (an)n1une suite de réels. Soit cun réel.
a. Montrer que lim sup an> c si et seulement s’il existe un réel c0> c tel qu’on ait
an> c0pour une infinité de n.
b. Montrer que lim sup an< c si et seulement s’il existe un réel c0< c tel que an< c0
pour nassez grand.
1
6. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires de loi exponentielle E(1).
a.Montrer que Plim sup Xn
log n>1= 0.
On suppose désormais X1, X2, . . . indépendantes.
b. Montrer que Plim sup Xn
log n<1= 0. Montrer que ce résultat peut être faux
sans l’hypothèse d’indépendance.
c. Montrer que lim sup Xn
log nest presque sûrement égale à une constante que l’on déter-
minera.
d. Montrer que lim inf Xnest presque sûrement égale à 0.
7. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de carré
intégrable.
a. Montrer que pour tout n1et tout aR, on a
E[(Xna)2] = (E[Xn]a)2+ Var(Xn).
b. En déduire que la suite (Xn)n1converge en moyenne quadratique vers une constante
asi et seulement si on a les convergences
lim
n→∞
E[Xn] = aet lim
n→∞ Var(Xn)=0.
8. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Soient X, X1, X2, . . . : (Ω,F,P)Rdes
variables aléatoires réelles. On suppose que la suite (Xn)n1converge en probabilité vers
X.
a. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers 1n1< n2< . . .
telle que pour tout k1on ait
P|XnkX|>1
k1
2k.
b. Pour tout k1, on pose Yk=Xnk(on dit que la suite (Yk)k1est extraite de la
suite (Xn)n1). Montrer que la suite (Yk)k1converge presque sûrement vers X.
On a montré que d’une convergence en probabilité on pouvait extraire une convergence
presque sûre.
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