TD 8 : Modes de convergence - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
UE LM345 – Probabilités élémentaires
Licence de Mathématiques L3
Année 2014–15
TD 8 : Modes de convergence
1. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences
suivantes à quelle condition sur la suite (An )n≥1 elle a lieu.
a. La suite (1An )n≥1 converge en probabilité vers 0.
b. La suite (1An )n≥1 converge dans L2 vers 0.
c. La suite (1An )n≥1 converge presque sûrement vers 0.
2. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p ∈]0, 1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de
fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0.
3. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout
n ≥ 1 on ait
1
1
P(Xn = −1) = 1 − 2 et P(Xn = n2 − 1) = 2 .
n
n
a. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge vers −1 en probabilité.
b. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge presque sûrement vers −1. Cette convergence
a-t-elle lieu dans L1 ?
4. Soit (θn )n≥1 une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞ θn = +∞.
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1,
Xn suive la loi exponentielle de paramètre θn .
a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn )n≥1 . Quelle hypothèse n’a-t-on
pas utilisée ?
b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1 .
c. Étudier, dans le cas où θn = n puis dans le cas où θn = log n, la convergence presque
sûre de la suite (Xn )n≥1 .
5. Soit (an )n≥1 une suite de réels. Soit c un réel.
a. Montrer que lim sup an > c si et seulement s’il existe un réel c0 > c tel qu’on ait
an > c0 pour une infinité de n.
b. Montrer que lim sup an < c si et seulement s’il existe un réel c0 < c tel que an < c0
pour n assez grand.
1
6. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables
aléatoires de loi exponentielle E(1).
Xn
> 1 = 0.
a.Montrer que P lim sup
log n
On suppose désormais
X1 , X2 , . . . indépendantes.
Xn
b. Montrer que P lim sup
< 1 = 0. Montrer que ce résultat peut être faux
log n
sans l’hypothèse d’indépendance.
Xn
c. Montrer que lim sup log
est presque sûrement égale à une constante que l’on détern
minera.
d. Montrer que lim inf Xn est presque sûrement égale à 0.
7. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de carré
intégrable.
a. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout a ∈ R, on a
E[(Xn − a)2 ] = (E[Xn ] − a)2 + Var(Xn ).
b. En déduire que la suite (Xn )n≥1 converge en moyenne quadratique vers une constante
a si et seulement si on a les convergences
lim E[Xn ] = a et lim Var(Xn ) = 0.
n→∞
n→∞
8. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soient X, X1 , X2 , . . . : (Ω, F , P) → R des
variables aléatoires réelles. On suppose que la suite (Xn )n≥1 converge en probabilité vers
X.
a. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers 1 ≤ n1 < n2 < . . .
telle que pour tout k ≥ 1 on ait
1
1
P |Xnk − X| >
≤ k.
k
2
b. Pour tout k ≥ 1, on pose Yk = Xnk (on dit que la suite (Yk )k≥1 est extraite de la
suite (Xn )n≥1 ). Montrer que la suite (Yk )k≥1 converge presque sûrement vers X.
On a montré que d’une convergence en probabilité on pouvait extraire une convergence
presque sûre.
2