TD 8 : Modes de convergence - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD 8 : Modes de convergence
1. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences
suivantes à quelle condition sur la suite (An)n≥1elle a lieu.
a. La suite (An)n≥1converge en probabilité vers 0.
b. La suite (An)n≥1converge dans L2vers 0.
c. La suite (An)n≥1converge presque sûrement vers 0.
2. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p∈]0,1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1prend une infinité de
fois la valeur 1et une infinité de fois la valeur 0.
3. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout
n≥1on ait
P(Xn=−1) = 1 −1
n2et P(Xn=n2−1) = 1 n2.
a. Montrer que la suite (Xn)n≥1converge vers −1en probabilité.
b. Montrer que la suite (Xn)n≥1converge presque sûrement vers −1. Cette convergence
a-t-elle lieu dans L1?
4. Soit (θn)n≥1une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞θn= +∞.
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n≥1,
Xnsuive la loi exponentielle de paramètre θn.
a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn)n≥1. Quelle hypothèse n’a-t-on
pas utilisée ?
b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1.
c. Étudier, dans le cas où θn=npuis dans le cas où θn= log n, la convergence presque
sûre de la suite (Xn)n≥1.
5. Soit (an)n≥1une suite de réels. Soit cun réel.
a. Montrer que lim sup an> c si et seulement s’il existe un réel c0> c tel qu’on ait
an> c0pour une infinité de n.
b. Montrer que lim sup an< c si et seulement s’il existe un réel c0< c tel que an< c0
pour nassez grand.
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6. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires de loi exponentielle E(1).
a.Montrer que Plim sup Xn
log n>1= 0.
On suppose désormais X1, X2, . . . indépendantes.
b. Montrer que Plim sup Xn
log n<1= 0. Montrer que ce résultat peut être faux
sans l’hypothèse d’indépendance.
c. Montrer que lim sup Xn
log nest presque sûrement égale à une constante que l’on déter-
minera.
d. Montrer que lim inf Xnest presque sûrement égale à 0.
7. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de carré
intégrable.
a. Montrer que pour tout n≥1et tout a∈R, on a
E[(Xn−a)2] = (E[Xn]−a)2+ Var(Xn).
b. En déduire que la suite (Xn)n≥1converge en moyenne quadratique vers une constante
asi et seulement si on a les convergences
lim
n→∞
E[Xn] = aet lim
n→∞ Var(Xn)=0.
8. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Soient X, X1, X2, . . . : (Ω,F,P)→Rdes
variables aléatoires réelles. On suppose que la suite (Xn)n≥1converge en probabilité vers
X.
a. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers 1≤n1< n2< . . .
telle que pour tout k≥1on ait
P|Xnk−X|>1
k≤1 2k.
b. Pour tout k≥1, on pose Yk=Xnk(on dit que la suite (Yk)k≥1est extraite de la
suite (Xn)n≥1). Montrer que la suite (Yk)k≥1converge presque sûrement vers X.
On a montré que d’une convergence en probabilité on pouvait extraire une convergence
presque sûre.
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