Fiche 6 – Vecteurs et suites de variables aléatoires

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intà c gration et probabilità c s
Année universitaire 2013-2014
Fiche 6 – Vecteurs et suites de variables aléatoires
Exercice 1.
1. Soit Ude loi uniforme sur [0, π]. Déterminer la loi de sin(U).
2. Soit Xde loi N(0,1). Déterminer la loi de |X|.
3. Soit Ude loi uniforme sur [0,1]. Déterminer la loi de −1
2ln(U).
Exercice 2. Soit (pn)n≥1une suite dans [0,1] qui tend vers 0. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires
indépendantes de loi Bernoulli de paramètre pn:P(Xn= 1) = pn= 1 −P(Xn= 0).
1. Montrer que Xnconverge vers 0en probabilité.
2. Sous quelle condition sur la somme Pnpnla suite (Xn)n≥1converge-t-elle aussi presque sûrement vers 0?
Exercice 3. Soit (Xn)n≥0une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E(λ).
1. Montrer que Xn
ln nconverge vers 0en probabilité.
2. Montrer que Plim sup
nnXn
ln n≥1 λo= 1. Est-ce que Xn
ln nconverge vers 0presque sûrement ?
Exercice 4. Pour tout n≥0, soit Xnune variable aléatoire de loi donnée par
P(Xn= 0) = 1 −1
n2, P (Xn=n3) = 1 n2.
1. Montrer que (Xn)nconverge vers 0en probabilité.
2. Est-ce que (Xn)nconverge vers 0p.s. ?
3. Est-ce que (Xn)nconverge vers 0dans L1?
4. Est-ce que (Xn)nconverge vers 0en loi ?
Exercice 5. Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires qui a pour densité
f(X,Y )(x, y) = e−x1{0≤y≤x}.
1. Vérifier que ceci est bien une densité de probabilité.
2. Calculer les densités de Xet de Y.
3. Est-ce que Xet Ysont indépendantes ?
4. Déterminer la loi de Y
X, X. En déduire la loi de Y
Xet dire si Y Xet Xsont indépendantes.
Exercice 6. Soit X1, X2, . . . une suite de v.a. indépendantes, de loi E(1). Pour tout n≥1, on définit
Tn=X1+· · · +Xn.
1. Déterminer la loi de (T1, . . . , Tn).
2. Soit t > 0. En déduire la valeur de la probabilité suivante : P(Tn≤t<Tn+1).
3. On note Nt= max{n≥0|Tn≤t}. À l’aide de la question précédente, quelle est la loi de Nt?
Exercice 7. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi E(1). Pour tout n≥1, on
pose
Mn= max(X1, . . . , Xn).
1. Montrer que
Mn
ln n
(p)
−→
n1.
On pourra montrer séparément que P(Mn≥(1 + δ) ln n)et P(Mn≤(1 −δ) ln n)convergent vers 0pour tout
δ > 0, et conclure.
2. Montrer que la suite Mn−ln nconverge en loi vers une limite à préciser.
1

Exercice 8 – Deuxième record.Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de même
loi possédant une densité f. On définit
N= min n≥1
Xn> X1.
1. Quelle est la probabilité qu’il existe des indices i6=jtels que Xi=Xj?
2. Soit n≥1. Justifier que
Pmax(X1, . . . , Xn) = X1=Pmax(X1, . . . , Xn) = X2=· · · =Pmax(X1, . . . , Xn) = Xn
et en déduire la valeur de ces probabilités, puis de P(N > n).
3. En déduire que E[N] = ∞.
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