Fiche 6 – Vecteurs et suites de variables aléatoires

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MACS 1 – IntÃgration
et probabilitÃs
Université Paris 13, Institut Galilée
Année universitaire 2013-2014
Fiche 6 – Vecteurs et suites de variables aléatoires
Exercice 1.
1. Soit U de loi uniforme sur [0, π]. Déterminer la loi de sin(U ).
2. Soit X de loi N (0, 1). Déterminer la loi de |X|.
3. Soit U de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de − 12 ln(U ).
Exercice 2. Soit (pn )n≥1 une suite dans [0, 1] qui tend vers 0. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires
indépendantes de loi Bernoulli de paramètre pn : P (Xn = 1) = pn = 1 − P (Xn = 0).
1. Montrer que Xn converge vers 0 en P
probabilité.
2. Sous quelle condition sur la somme n pn la suite (Xn )n≥1 converge-t-elle aussi presque sûrement vers 0 ?
Exercice 3. Soit (Xn )n≥0 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E(λ).
Xn
converge vers 0 en probabilité.
1. Montrer que
lnn
nX
1 o
n
Xn
= 1. Est-ce que ln
2. Montrer que P lim sup
≥
n converge vers 0 presque sûrement ?
ln n
λ
n
Exercice 4. Pour tout n ≥ 0, soit Xn une variable aléatoire de loi donnée par
P (Xn = 0) = 1 −
1
,
n2
P (Xn = n3 ) =
1
.
n2
1. Montrer que (Xn )n converge vers 0 en probabilité.
2. Est-ce que (Xn )n converge vers 0 p.s. ?
3. Est-ce que (Xn )n converge vers 0 dans L1 ?
4. Est-ce que (Xn )n converge vers 0 en loi ?
Exercice 5. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires qui a pour densité
f(X,Y ) (x, y) = e−x 1{0≤y≤x} .
1. Vérifier que ceci est bien une densité de probabilité.
2. Calculer les densités de X et de Y .
3. Est-ce que X et Y sont
?
indépendantes
Y
Y
4. Déterminer la loi de
, X . En déduire la loi de X
et dire si
X
Y
X
et X sont indépendantes.
Exercice 6. Soit X1 , X2 , . . . une suite de v.a. indépendantes, de loi E(1). Pour tout n ≥ 1, on définit
Tn = X1 + · · · + Xn .
1. Déterminer la loi de (T1 , . . . , Tn ).
2. Soit t > 0. En déduire la valeur de la probabilité suivante : P (Tn ≤ t < Tn+1 ).
3. On note Nt = max{n ≥ 0 | Tn ≤ t}. À l’aide de la question précédente, quelle est la loi de Nt ?
Exercice 7. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi E(1). Pour tout n ≥ 1, on
pose
Mn = max(X1 , . . . , Xn ).
1. Montrer que
Mn (p)
−→ 1.
ln n n
On pourra montrer séparément que P (Mn ≥ (1 + δ) ln n) et P (Mn ≤ (1 − δ) ln n) convergent vers 0 pour tout
δ > 0, et conclure.
2. Montrer que la suite Mn − ln n converge en loi vers une limite à préciser.
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Exercice 8 – Deuxième record. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même
loi possédant une densité f . On définit
N = min n ≥ 1 Xn > X1 .
1. Quelle est la probabilité qu’il existe des indices i 6= j tels que Xi = Xj ?
2. Soit n ≥ 1. Justifier que
P max(X1 , . . . , Xn ) = X1 = P max(X1 , . . . , Xn ) = X2 = · · · = P max(X1 , . . . , Xn ) = Xn
et en déduire la valeur de ces probabilités, puis de P (N > n).
3. En déduire que E[N ] = ∞.
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