Corrigé de l`épreuve du jeudi 27 mai 2010 Fichier

Université de Haute-Alsace Jeudi 27 mai 2010
Master de Mathématiques Durée 3 heures
Examen de probabilité
Exercice 1
Etudier la convergence en loi, quand ntend vers l’infini, des trois suites de probabilités sur R:
a) µn=1
nδan+n−1 nδ0, où (an)est une suite quelconque de réels
b) νn=U0,n
c) ρn=N(mn, σ2
n), où (mn)est une suite convergeant vers un réel met (σn)est une suite de réels
strictement positifs convergeant vers 0.
Solution
a) Si fest une application continue et bornée de Rdans R
Zfdµn=1
nf(an) + n−1 nf(0),
expression qui converge vers f(0), ce qui prouve que la suite (µn)converge en loi vers la mesure de Dirac
en 0.
b) La fonction caractéristique ϕnde νnest donnée par
ϕn(t) = Zeitxdνn(x) = 1
nZn
0
eitxdx.
On a ϕn(0) = 1 ; et pour t6= 0 ϕn(t) = 1
itn (eit −1), qui converge vers 0. La suite (ϕn)convergeant vers
une application non continue, la suite (νn)ne peut converger en loi.
c) Si fest une application continue et bornée de Rdans R
Rfdρn=1
σn√2πRf(x) exp(−(x−mn)2
2σ2
n)dx =1
σn√2πRf(y+mn) exp(−y2
2σ2
n)dy =1
√2πRf(σnz+mn) exp(−z2
2)dz.
Le théorème de convergence dominée montre que la suite (Rfdρn)converge vers 1
√2πRf(m) exp(−z2
2)dz =
f(m), ce qui prouve que la suite (µn)converge en loi vers la mesure de Dirac en m.
Exercice 2
Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles, à valeurs dans l’intervalle [0,1],
définies sur un espace probabilisé (Ω,F, P ), ces variables ayant toutes pour densité l’application
h(x) = 2x1[0,1].
Pour tout entier n≥1on pose Un= max(X1, ..., Xn)et Wn=n(1 −Un).
a) Montrer que la variable Unadmet pour densité sur Rl’application x→gn(x) = 2nx2n−11[0,1](x).
b) Calculer EUn,V Unet lim
n→+∞V Un.
c) Prouver que la suite (Un)n≥1converge en probabilité vers la variable constante égale à 1.
d) Montrer que pour tout réel y≥0on a lim
n→+∞1[0,n](y)(1 −y
n)2n+1 =e−2y.
e) Montrer que la suite (Wn)n≥1converge en loi vers la loi exponentielle E2.
1

Solution
a) Soit Fnla fonction de répartition de Un. La variable Unétant à valeurs dans [0,1], on a
- si t < 0Fn(t) = P(Un≤t) = 0
- si t≥1Fn(t) = P(Un≤t) = 1
- si 0≤t≤1
Fn(t) = P(Un≤t) = P(max(X1, ..., Xn)≤t) = P(X1≤t, ..., Xn≤t) = (2 Zt
0
xdx)n=t2n.
On constate que l’application Fnest continue, et C∞sur {0,1}c. On en déduit que la variable Unadmet
pour densité l’application gn(x) = 2nx2n−11[0,1](x).
b) On a
-EUn= 2nR1
0xx2n−1dx =2n
2n+ 1
-EU2
n= 2nR1
0x2x2n−1dx =2n
2n+ 2
-V Un=2n
2n+ 2 −³2n 2n+ 1´2=n (n+ 1)(2n+ 1)2.
De façon évidente la suite (V Un)tend vers 0.
c) On a
E(Un−1)2=E£Un−EUn)+(EUn−1)¤2=V Un+ (EUn−1)2.
Puisque lim
n→∞ V Un= 0 et lim n→∞ EUn= 1, la suite (Un)converge vers 0dans L2; elle converge donc vers 0
en probabilité.
d) Pour n≥y1[0,n](y)(1 −y
n)2n+1 = (1 −y n)2n+1 dont le logarithme est (2n+ 1) ln(1 −y n). L’application
ϕ(x) = ln(1 + x)ayant pour dérivée ϕ0(x) = 1
1+x, l’expression
(2n+ 1) ln(1 −y
n) = −y n(2n+ 1)ϕ(−y
n)−ϕ(0)
−y
n−0
tend vers −2yϕ0(0) = −2y.
Il en résulte que lim
n→∞ 1[0,n](y)(1 −y
n)2n+1 =e−2y.
e) On sait que si une variable aléatoire Xadmet sur Rune densité f, la variable Y=aX +b,a6= 0,
admet la densité x→1
|a|f(x−b a). La variable Wn=n(1 −Un) = −nUn+nadmet par conséquent pour
densité l’application
R3x→1
| − n|gn(x−n −n) = 2n n(1 −y n)2n−11[0,n](y)(1 −y n).
La question précédente montre que
lim
n→∞
2n
n(1 −y n)2n−11[0,n](y)(1 −y n) = 2e−2y1[0,+∞[(y).
Puisque la convergence ponctuelle des densités entraîne la convergence en loi, la suite (Wn)converge en
loi vers la loi exponentielle E2.
Exercice 3
On désigne par Pl’ensemble des probabilités µsur Rvérifiant
ZR
x2dµ(x) = 1 et ZR xdµ(x) = 0.
Soit Tl’application qui à un élément µde Passocie la probabilité T µ définie de la façon suivante :
si Xet Ysont des variable aléatoires réelles indépendante de loi commune µ∈ P,T µ est la loi de la
variable X+Y
√2.
2

a) Montrer que l’image de Test contenue dans P.
b) Montrer que si (Xi),i∈[1..2m], est une suite indépendante de variables aléatoires de loi µ∈ P, la
probabilité Tmµest la loi de la variable 2−m
2P2m
i=1 Xi.
c) Montrer que pour tout élément µ∈ P la suite (Tmµ)converge en loi vers la loi γ=N(0,1).
d) Monter que la loi γest le seul élément de Pinvariant par T.
e) Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi µ∈ P. On suppose que
la variable X1+X2
√2a même loi que la variable X1. Montrer que les variables Xnsuivent une loi normale.
Solution
a) si Xet Ysont des variable aléatoires réelles indépendante de loi commune µ∈ P
-E¡X+Y
√2¢=EX+EY √2= 0
-V¡X+Y
√2¢=V X+V Y
2= 1
ce qui prouve que Test une application de Pdans P.
b) Montrons la propriété par récurrence.
Par hypothèse la propriété est vraie pour m= 1.
Supposons la vérifiée pour un entier m. Par définition de T,Tm+1(µ) = T¡Tm(µ)¢est la loi d’une
somme X+Y
√2, où Xet Ysont des variable aléatoires réelles indépendante de loi commune Tm(µ).
Soit (Xi),i∈[1..2m+1], une suite indépendante de variables aléatoires de loi µ∈ P. Par hypothèse de
récurrence, Tm(µ)est la loi de la variable X= 2−m
2P2m
i=1 Xi. La variable Y= 2−m
2P2m+1
i=2m+1 Xipossède la
même loi que X, et le couple (X, Y ) = est indépendant. Par définition Tm+1(µ) = T¡Tm(µ)¢est la loi de
la variable
X+Y
√2=2−m
2P2m
i=1 Xi+ 2−m
2P2m+1
i=2m+1 Xi
√2= 2−m+1
2
2m+1
X
i=1
Xi.
c) Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi µ∈ P. La question
précédente a montré que la probabilité Tm(µ)est la loi de la variable 2−m
2P2m
i=1 Xi. La variance de la
somme P2m
i=1 Xiétant 2m, le théorème limite central entraîne la convergence en loi de la suite 2−m
2P2m
i=1 Xi
vers la loi normale N(0,1).
d) Si µest élément de Pinvariant par T, on a pour tout m≥1Tm(µ) = µ. La question précédente
montre immédiatement que µ=N(0,1).
e) L’hypothèse se traduit par T(µ) = µ, autrement dit que µest élément de Pinvariant par T.
Exercice 4
Soit (Ω,F, P )un espace probabilisé et (Xn)n≥1une suite indépendante de variable aléatoires de carré
intégrable. On suppose qu’il existe une constante A∈Rtelle que pour tout n≥1,V(Xn)≤A. Pour
chaque entier n≥1, on pose Sn=1
nPn
i=1(Xi−E(Xi)).
a) Soit δ > 0, Montrer que P(|Sn| ≥ δ)≤A
nδ2.
b) Soit ϕ:N∗→N∗une application strictement croissante telle que Pn≥1
1
ϕ(n)<+∞. Montrer que pour
tout δ > 0il existe une partie mesurable Ωδde probabilité 1telle que pour tout ω∈Ωδ, l’ensemble des
entiers n≥1pour lesquels ¯
¯Sϕ(n)(ω)¯ ¯≥δest fini. En déduire que la sous suite (Sϕ(n))n≥1converge presque
sûrement vers 0.
Solution
a) Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P(|Sn| ≥ δ)≤V(Sn)/δ2=1
n2
n
X
i=1
V(Xi−E(Xi))/δ2≤1
n2nA/δ2=A/nδ2.
3

b) Puisque
P(|Sϕ(n)| ≥ δ)≤A
ϕ(n)δ2,
on a X
n≥∞
P(|Sϕ(n)| ≥ δ)<∞.
Posons An={|Sϕ(n)| ≥ δ}; le lemme de Borel-Cantelli implique l’égalité P(limAn) = 0. L’événement
Ωδ= (limAn)cest de probabilité égale à 1. Comme
limAn={ω∈Ω∀n≥1∃p≥n ω ∈Ap},
on a
Ωδ={ω∈Ω∃n≥1∀p≥n ω 6=Ap},
ce qui entraîne que l’ensemble des entiers n≥1pour lesquels ¯
¯Sϕ(n)(ω)¯ ¯≥δest fini. On a donc montré
que
∀δ > 0∀ω∈Ωδ∃n≥1∀p≥n|Sϕ(p)(ω)|< δ,
ce qui signifie que la suite (Sϕ(n))n≥1converge vers 0sur l’ensemble Ωδ, donc presque sûrement.
Exercice 5
On considère le modèle statistique (Ω,F,(P0, P1)) X →(]0,+∞[,(Q0, Q1)), avec (P0)X=Q0=fm et
(P1)X=Q1=gm, où mdésigne la restriction à ]0,+∞[de la mesure de Lebesgue, fet gles applications
de ]0,+∞[dans ]0,+∞[définies par f(x) = e−xet g(x) = 2e−2x.
a) Montrer que pour tout réel k≥0l’ensemble {kf =g}est fini.
b) Donner explicitement un test ϕde Neyman-Pearson de taille 0,1de H0: la loi suivie est Q0contre
H1: la loi suivie est Q1. Déterminer la puissance de ce test.
c) On pose a= ln(10), et on considère le test déterministe de H0contre H1de région de rejet l’intervalle
I= [a, +∞[, i.e. le test ψ= 1I. Déterminer la taille et la puissance de ce test.
d) Comparer les puissances des tests ϕet ψ. Pourquoi pouvait-on prévoir le résultat ?
Solution
a) L’ensemble
{kf =g}={x > 0 : ke−x= 2e−2x}={x > 0 : e−x=k/2}
est de cardinal 0ou 1.
b) La question a) montre qu’il existe un test déterministe ϕde H0contre H1, de région de rejet de la
forme {kf ≤g}, i.e. ϕ= 1{kf ≤g}. Ce test est de taille 0,1si Q0({kf ≤g}) = 0,1. Comme
{kf ≤g}={x > 0 : k/2≤e−x}={x > 0 : ln(k/2) ≤ −x}={x > 0 : x≤ln(2/k)},
ce qui suppose que 0< k < 2, la région de rejet est de la forme ]0, K], avec K= ln(2/k).
Le réel Kest déterminé par
0,1 = Q0(]0, K]) = ZK
0
e−xdx = 1 −e−K,
soit K=−ln(0,9). La région de rejet de H0est l’intervalle ]0,−ln(0,9)], et ϕ= 1]0,−ln(0,9)] La valeur
correspondante de kest donnée par ln(2/k) = −ln(0,9), soit k= 2 ×0,9 = 0,18.
La puissance du test s’écrit
Z]0,+∞[
ϕdQ1=Q1(]0, K]) = ZK
0
2e−2xdx = 1 −e2 ln(0,9) = 1 −0,92= 0,09.
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c) La taille du test ψest
Z]0,+∞[
ψdQ0=Q0([a, +∞[) = Z+∞
ln(10)
e−xdx =e−ln(10) = 0,1.
d) La puissance du test ψest
Z]0,+∞[
ψdQ1=Q1([a, +∞[) = Z+∞
ln(10)
2e−2xdx =e−2 ln(10) = 0,01.
La puissance du test ψest inférieure à celle du test ϕ, ce qui est conforme au fait que le test ϕest un test
de Neyman-Pearson, donc un test UPP au seuil 0,1.
Loi Support Densité Espérance Variance
δaa∈R{a}a0
B(n, p)n∈N∗p∈[0,1] [0..n]Ck
npk(1 −p)n−knp np(1 −p)
Pλλ > 0Ne−λλn/n!λ λ
Gp0< p < 1Np(1 −p)n(1 −p)/p (1 −p)/p2
G∗
p0< p < 1N∗p(1 −p)n−11/p (1 −p)/p2
Loi Support Densité Espérance Variance
Ua,b a < b [a, b] (b−a)−11[a,b](a+b)/2 (b−a)2/12
Eλλ > 0 [0,∞[λe−λx1[0,+∞[λ−1λ−2
T r(a)a > 0 [−a, a]1
a(1 −|x| a) 0 a2 6
N(m, σ2)m∈R,σ > 0R1
σ√2πexp{−(x−m)2
2σ2}m σ2
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