4 g c 1 11 12

L
ycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
2011-2012
Devoir De Contrôle N°1
Mathématiques
4
ème
EG
1 H 30 mn
1/2
www.mathsplus.12r.org
Exercice 1 (4 points)
• Pour Chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est
exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
1) L’inverse de la matrice
3 2
4 3
est la matrice :
a)
3 2
4 3
−
−
b)
3 4
2 3
−
c)
3 2
4 3
−
−
2) Si
1 0 1 1 2
0 1 2 ; 2 0
1 2 2 1 1
A B et M A B
= = = ⋅
alors
a)
2 4
M 2 2
7 3
=
b)
2 3
M 4 2
7 4
=
c)
2 3 0
M 4 1 3
7 4 0
=
3) Si une fonction f vérifie
2 2
1 1
1 ( ) 3 1f x
x x
− ≤ − ≤ + pour tout
x
∈
ℝ
alors
a)
lim ( ) 4
x
f x
→+∞
=
b)
lim ( ) 3
x
f x
→+∞
=
c)
lim ( ) 1
x
f x
→+∞
=
4) Soit
1
1
lim 1
x
x
x
→
−
=
−
l alors
a)
0
=
l
b)
= +∞
l
c)
2
=
l
Exercice 2 (7 points)
1) Soit la matrice
1 0 0
0 4 10
0 3 7
A = −
−
a) Calculer le déterminant de A et en déduire que A est inversible.
b) Calculer
2
A
c) Montrer que 23 3 2
A A I O
− + =
. (
O
étant la matrice nulle d’ordre 3)
d) En déduire la matrice inverse
1
de
A A
−
.
2) Soit le système
1
( ): 4 10 2
3 7 4
x
S y z
y z
=
− + =
− + =
a) Donner une écriture matricielle de
( )
S
.
b) Résoudre dans
3
ℝ
le système
( )
S
.

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Exercice 3 (5 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé
( , , )
O i j
.
On donne dans la fgure ci-dessous la représentation graphique une fonction f
définie sur
[
]
4,3
−
En utilisant le graphique :
1) Déterminer -2 -2 1 1
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )
x x x x
f x f x f x f x
− + − +
→ → → →
2) f est-elle continue à gauche en (−2) ? à droite en (−2) ?
3) f est-elle continue à gauche en 1 ? à droite en 1 ?
4) Déterminer
[
[
(
)
[
]
(
)
]
]
(
)
4, 2 ; 2,1 et 1,3
f f f
− − −
.
5) Résoudre dans
[
]
4,3
−
l’équation
( ) 1
f x
=
Exercice 4 (4 points)
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par :
3
2
9 2
( )
5 2
x x si x
f x
x x si x
+ − ≤
=
+ − >
1) Calculer
+
lim ( ) lim ( )
x x
f x et f x
→ −∞ → ∞
2) Montrer que f est continue en 2.
3) Montrer que l’équation
( ) 0
f x
=
admet une solution
]
[
1,2
α ∈
.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4O
i
-2
-1
1
2
3
4
j