TD Scilab no 5

TD Scilab no 5
Exercice 1
Dans Les Douze Travaux d’Astérix, Astérix et Obélix vont dans « la maison qui
rend fou » et vivent l’enfer administratif d’être renvoyés indéfiniment de bureaux en
bureaux pour faire signer un formulaire. On en étudie un modèle simplifié :
— On commence par s’adresser au bureau 1.
— Lorsqu’on va au bureau 1, l’employé dit de s’adresser au bureau 2.
— Lorsqu’on va au bureau 2, l’employé renvoie au bureau 1 avec une probabilité
1
4,
1
2,
il dit de s’adresser à son autre collègue du bureau 2 avec une probabilité
et il envoie au bureau 3 avec une probabilité 14 .
— Lorsqu’on va au bureau 3, l’employé fournit un papier et dit de retourner
avec ce papier au bureau 2.
Pour tout n ∈ N, on note Xn la variable aléatoire égal au numéro dubureau où l’on

P (Xn = 1)


se trouve après n transferts de bureaux à bureaux, et on note Un = P (Xn = 2).
P (Xn = 3)
1. Déterminer une matrice A ∈ M3 (R) telle que, pour tout n ∈ N, Un+1 = AUn .
2. Diagonaliser la matrice A. On pourra gagner du temps en utilisant la commande spec(A) qui renvoie le spectre de A.
3. Déterminer une expression de An pour tout n ∈ N.
4. En déduire P (Xn = 1), P (Xn = 2) et P (Xn = 3) pour tout n ∈ N. Quelles
sont les limites de ces probabilités lorsque n tend vers +∞ ?
5. Simulation informatique.
La commande grand(n, "markov", M, x) simule les n premiers états visités dans une chaîne de Markov, en partant de l’état x, avec M la matrice
de transition qui code les probabilités de passer d’un état à un autre. Attention : Scilab n’utilise pas les mêmes conventions que nous ! En effet, ci-dessus :
A(i, j) est la probabilité d’arriver dans le bureau i en partant du bureau j.
Mais dans la commande grand(n, "markov", M, x), M (i, j) est la probabilité d’arriver dans l’état j en partant de l’état i.
(a) Simuler les 5 premiers transferts de bureaux à bureaux pour 10 000 personnes décidant d’aller dans la maison qui rend fou, et compter combien
de personnes se retrouvent dans le bureau 1 (respectivement bureaux 2 et
3) après ces 5 premiers transferts.
(b) Vérifier que cela correspond bien aux probabilités calculées à la question
4.
1
Exercice 2
Un homme rentre chez lui, mais ne se souvient plus du digicode de son immeuble
(alors que c’est 123, ce qui est plutôt facile à retenir). Il décide donc de taper des
1
pour chaque chiffre à chaque fois) jusqu’à
chiffres au hasard (avec une probabilité 10
ce que la porte s’ouvre (elle s’ouvre si les 3 derniers chiffres tapés sont, dans l’ordre,
1,2,3). Par exemple, s’il tape 12213264089123, la porte s’ouvre (après 14 chiffres
tapés).
On modélise la situation par une chaîne de Markov à 4 états :
— État 1 : La porte est ouverte (i.e la suite de chiffres tapée contient 1, 2, 3 à la
suite).
— État 2 : La porte est fermée, et la suite de chiffres tapée finit par 1.
— État 3 : La porte est fermée, et la suite de chiffres tapée finit par 12.
— État 4 : Le reste des cas.
On note Xn l’état
 dans lequel
 il se trouve après avoir tapé sur n chiffres. On note
P (Xn = 1)
P (X = 2)


n
également Un = 
.
P (Xn = 3)
P (Xn = 4)
1. Déterminer la loi de X0 , puis de X1 .
2. Déterminer une matrice A ∈ M4 (R) telle que, pour tout n ∈ N, Un+1 = AUn .
3. À l’aide de la commande grand (cf. exercice précédent), simuler les 50 premiers états visités. Est-il rentré chez lui après avoir tapé 50 chiffres ?
4. On se propose de montrer qu’il finit (presque sûrement) par rentrer.
(a) Vérifier que 1 est valeur propre de A et déterminer l’espace propre associé.
(b) À l’aide de la commande spec(A), vérifier que A admet 4 valeurs propres
distinctes, dont on donnera des valeurs approchées.
(c) En déduire
 qu’il existe
λ1 0 0
0 λ
0

2
la forme 
0
0 λ3
0 0 0
−1
une
 matrice P inversible telle que P AP soit de
0
0

, avec −1 < λ1 < λ2 < λ3 < 1.
0
1


vi,1
v 
 i,2 
(d) Pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}, on note Vi =   la matrice colonne égale à
vi,3 
vi,4
−1
P Di P U0 où Di est la matrice diagonale ne contenant que des 0, sauf le
i-ème coefficient diagonal qui vaut 1 (on ne demande pas de les calculer).
Montrer que que AV1 = λ1 V1 , AV2 = λ2 V2 , AV3 = λ3 V3 et AV4 = V4 .
(e) Montrer que pour tout n ∈ N, on a Un = λn1 V1 + λn2 V2 + λn3 V3 + V4 .
(f) En déduire que P (Xn = 1), ainsi que P (Xn = 2), P (Xn = 3) et P (Xn = 4)
convergent lorsque n tend vers +∞. On calculera les limites en fonctions
des coefficients vi,j .
2
lim P (Xn = 1)


n→+∞

 lim P (X = 2)
n
n→+∞


(g) Vérifier que la « colonne limite » 
 lim P (X = 3) appartient à l’esn
n→+∞



lim P (Xn = 4)
n→+∞
pace propre de A associé à la valeur propre 1.
(h) En déduire lim P (Xn = 2), lim P (Xn = 3) et lim P (Xn = 4), puis
n→+∞
n→+∞
lim P (Xn = 1).
n→+∞
n→+∞
(i) Conclure.
Exercice 3
1. (a) À l’aide de sommes de Riemann (et de Scilab), calculer une valeur approchée des intégrales suivantes :
Z
2
t ln(t) dt
;
1
Z
1
−x/2
xe
dx
Z
;
0
2
2
e−x dx
0
(On essaiera avec 100, 1 000 et 10 000 subdivisions par intervalle)
(b) Pour les deux premières intégrales, vérifier le résultat en les calculant de
manière exacte.
2. On se propose de les recalculer avec une méthode probabiliste.
Soit f une fonction positive et continue sur un intervalle [a; b], majorée par
une constante M sur [a; b].
(a) Dans le plan, quelle est l’aire du rectangle [a; b] × [0; M ] ? Quelle est l’aire
du domaine D = {(x, y) tels que x ∈ [a; b] et y 6 f (x)} ?
(b) À l’aide de la question précédente, si (X, Y ) est un point aléatoire dans
le rectangle [a; b] × [0; M ] (avec X de loi uniforme dans [a; b], et Y de loi
uniforme dans [0; M ]), quelle est la probabilité que Y 6 f (X) ?
(c) Rappel : la commande grand(1,1,"unf",a,b) simule une variable aléatoire de loi uniforme dans l’intervalle [a; b].
En se servant de cette commande, simuler le tirage de 100 000 points
aléatoires (x, y) dans le rectangle [1; 2]×[0; 2], et compter combien vérifient
la condition y 6 x ln(x).
En déduire une valeur approchée de l’intégrale
Z
2
t ln(t) dt.
1
(d) Procéder de même pour obtenir (à nouveau) une valeur approchée de
Z
0
1
−x/2
xe
dx et de
Z
2
2
e−x dx
0
Remarque : Cette méthode probabiliste de calcul d’intégrales s’appelle méthode
de Monte-Carlo.
3