Devoir De Contrôle N°3 Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef 4

L
ycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
2011-2012
Devoir De Contrôle N°3
Mathématiques
4
ème
EG
1 H 30 mn
1/2
www.mathsplus.12r.org
Exercice 1 (3 points)
• Pour Chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées
est exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
1) Soit la suite
( )
n
U
définie sur
ℕ
par
2
3
n
n
U = −
a)
lim 0
n
n
U
→+∞
=
b)
lim
n
n
U
→+∞
= +∞
c)
lim
n
n
U
→+∞
= −∞
2) On désigne par X la variable aléatoire définie par
i
x
1
−
0 1
( )
i
p X x
=
1
6
2
3
1
6
a)
E(X) 0 et V(X) 0
= =
b)
1
E(X) 0 et V(X)
3
= =
c)
2 1
E(X) et V(X)
3 3
= =
3) On lance, dix fois de suite, un dé cubique équilibré dont les faces sont
numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
La probabilité que la face numéroté « 2 » apparaisse au moins une fois est
égale à
a)
10
5
6
b)
10
1
6
c)
10
5
16 −
Exercice 2 (9 points)
Soit
( )
n
U
une suite définie sur
ℕ
par
0
1
2
1
2
n
n
U
U
U
+
=
= −
1) a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
1
n
U
≥
.
b) Monter que, pour tout entier naturel n, on a :
2
1
( 1)
n
n n n
U
U U U
+
−
− = −
c) Montrer que la suite
( )
n
U
est décroissante.
d) En déduire que
( )
n
U
est convergente.
2) On considère la suite
( )
n
V
définie sur
ℕ
par
1
3
1
nn
V
U
= +
−
.
a) Monter que, pour tout entier naturel n, on a
1
3
1
n
nn
U
V
U
+
= +
−
b) En déduire que la suite
( )
n
V
est arithmétique de raison 1, préciser son
premier terme
0
V
.
c) Exprimer
n
V
en fonction de n.
d) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :
2
1
n
n
U
n
+
=
+
et calculer lim
n
n
U
→+∞
.

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1 H 30 mn
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Exercice 3 (8 points)
Une caisse d’assurance maladie propose à ses affiliés une modalité
d’hospitalisation m.
Les employés d’une entreprise sont tous affiliés à cette caisse d’assurance et
on sait que :
 Le
1
3
des employés choisissent la modalité m.
 Parmi les employés qui en choisi la modalité m, 80 % sont atteints d’une
maladie chronique.
 Parmi les employés qui n’ont pas choisi la modalité m, 75 % sont atteints
d’une maladie chronique.
On choisit un employé au hasard et on considère les événements suivants :
M : « L’employé choisit la modalité m »
C : « L’employé est atteint d’une maladie chronique »
1) a) Déterminer les probabilités suivantes :
( ) , ( / ) et ( / )p M p C M p C M
b) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous
2) a) Calculer la probabilité que cet employé ait choisit la modalité m et soit
atteint d’une maladie chronique.
b) Calculer la probabilité que cet employé n’ait pas choisi la modalité m et
soit atteint d’une maladie chronique.
c) En déduire
( )p C
.
3) Calculer la probabilité de l’événement
E : « L’employé choisit la modalité m, sachant qu’il est atteint d’une
maladie chronique ».