Suites réelles ou complexes

Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Suites réelles ou complexes
Maths SUP - Filière MPSI - Concours 2016
1. Généralités
Définition. On appelle suite d’éléments d’un ensemble E,touteapplicationdéfiniesurunepartiedeNde la forme
rn0,`8r et à valeurs dans E.UnesuiteestditeréellesiE“Ret complexe sur E“C.
Remarque
Dans toute la suite du cours, on considère des suites définies sur N,etonlaisseaulecteurlesoind’adapterles
définitions pour des suites définies seulement par à partir d’un certain rang.
Suite constante, stationnaire. Soit punqnPNune suite réelle ou complexe.
—On dit que punqnPNest constante s’il existe ↵PCtel que : @nPN,u
n“↵.
—On dit que punqnPNest stationnaire si punqnPNest constante à partir d’un certain rang, i.e. s’il existe ↵PCet
n0PNtels que : @nPN,n•n0,u
n“↵.
Suite réelle majorée, minorée, bornée. Soit punqnPNune suite réelle.
—On dit que punqnPNest majorée si : DMPR,@nPN,u
n§M.
—On dit que punqnPNest minorée si : DmPR,@nPN,u
n•m.
—On dit que punqnPNest bornée si elle est à la fois minorée et majorée, i.e. si il existe mPRet MPRtels que :
@nPN,m§un§M.
—punqnPNest bornée si, et seulement si : DMPR,|un|§M.
Suite complexe bornée. Soit punqnPNune suite complexe. On dit que punqnPNest bornée si : DMPR,@nP
N,u
n§M.
Monotonie. Soit punqnPNune suite réelle.
—On dit que punqnPNest croissante si : @nPN,u
n`1•un.
—On dit que punqnPNest strictement croissante si : @nPN,u
n`1°un.
—On dit que punqnPNest décroissante si : @nPN,u
n`1§un.
—On dit que punqnPNest strictement décroissante si : @nPN,u
n`1†un.
—On dit que punqnPNest monotone si elle est croissante ou décroissante.
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-Concours 2016 2
Attention !
Toutes les suites réelles ne sont pas monotones. Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes, comme
c’est le cas, par exemple, de la suite pp´1qnqnPN.
Attention !
Compte tenu de l’absence de relation d’ordre total dans C,attentionànepasparlerdesuitecroissante,
décroissante, minorée ou majorée pour des suites complexes.
2. Convergence, divergence
Suite convergente. Soit punqnPNune suite réelle. On dit que punqnPNconverge, ou que punqnPNadmet une limite
finie, s’il existe un réel `tel que : @"°0,Dn0PN,@n•n0,|un´`|†". Ce réel `est alors unique, et on l’appelle
alors limite de la suite punqnPN.Onnotealors: lim
nÑ`8un“`.
Rappel de cours
Quels que soient les nombres aet b,laquantité|b´a|peut s’interpréter comme la distance entre aet b.
Remarque
Dans la définition de la convergence, plusieurs éléments sont à noter :
—le quantificateur devant le "est un @et non un D,
—le rang n0dépend du "choisi,
—l’inégalité portant sur le "est stricte. L’inégalité entre |un´`|et ",quantàelle,peutêtrelargeou
stricte, les deux définitions étant équivalentes.
Cette définition s’étend au cas de suites à valeurs complexes, la notation |.|désignant alors le module et non la
valeur absolue.
Suite divergente. Soit punqnPNune suite réelle ou complexe. On dit que punqnPNdiverge si punqnPNn’est pas
convergente.
Limites infinies. Soit punqnPNune suite réelle.
—On dit que punqnPNdiverge vers `8 si : @A°0,Dn0PN,@n•n0,u
n°A.
—On dit que punqnPNdiverge vers ´8 si : @B†0,Dn0PN,@n•n0,u
n†B.
Cas de divergence des suites réelles. Si punqnPNest une suite réelle, punqnPNdiverge si l’un de ces trois cas se
présente :
—punqnPNn’admet pas de limite,
—punqnPNdiverge vers `8,
—punqnPNdiverge vers ´8.
3. Théorèmes de convergence
Théorème de la limite monotone. Soit punqnPNune suite réelle.
— Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
— Toute suite croissante et non majorée diverge vers `8.
— Toute suite croissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

3-Concours 2016
— Toute suite décroissante et non minorée diverge vers ´8.
Inégalités. Soient aet bdeux réels et punqnPNune suite convergente, de limite `PR.Sia†`†b,alors:
Dn0PR,@n•n0,a†un†b.
Propriété. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.
4. Suites extraites
Suites extraites : définition. Soient punqnPNet pvnqnPNdeux suites réelles ou complexes. On dit que pvnqnPNest
une suite extraite de punqnPNs’il existe une application strictement croissante de Ndans Ntelle que :
@nPN,v
n“upnq.
Suites extraites : propriétés. Soit punqnPNune suite réelle ou complexe.
—Si punqnPNadmet une limite `PR,alorstouteslessuitesextraitesdepunqnPNadmettent cette même limite `
dans R(on rappelle que la notation Rdésigne RYt`8uYt´8u).
—Si les deux suites extraites pu2nqnPNet pu2n`1qnPNadmettent une même limite `PR,alorslasuitepunqnPN
admet également pour limite `PR. Cette proposition se généralise au cas de plusieurs suites extraites, dont les
indices recouvrent la totalité de N,commeparexemplepu3nqnPN,pu3n`1qnPNet pu3n`2qnPN.
Théorème de Bolzano-Weierstrass (MPSI-MP uniquement). De toute suite réelle ou complexe bornée,
on peut extraire une suite convergente.
5. Suites liées
Théorème de prolongement des inégalités. Soient punqnPNet pvnqnPNdeux suites réelles telles que :
Dn0PN,@nPN,n•n0,u
n§vn.SipunqnPNconverge vers `PRet pvnqnPNconverge vers `1PR,alors:`§`1.
Attention !
Le théorème de prolongement des inégalités (ou passage à la limite dans une inégalité) ne peut être appliqué
que si toutes les suites en présence convergent. A noter également : si les inégalités initiales sont strictes,
les inégalités finales, après passage à la limite, sont toujours larges ; en français : les passages à la limite
transforment les inégalités strictes en inégalités larges.
Théorème de l’encadrement. Soient punqnPN,pvnqnPNet pwnqnPNtrois suites réelles telles que :
Dn0PN,@nPN,n•n0,u
n§vn§wn.SipunqnPNet pwnqnPNconvergent vers une même limite `,alorspvnqnPN
converge, et : lim
nÑ`8vn“`.
Suites adjacentes. Soient punqnPN,pvnqnPNdeux suites réelles. On dit que punqnPNet pvnqnPNsont adjacentes si
l’une est croissante (ou croissante à partir d’un certain rang), l’autre est décroissante (ou décroissante à partir d’un
certain rang), et si la différence des deux est une suite de limite nulle. Si c’est par exemple punqnPNqui est croissante,
on peut alors écrire que :
—@nPN,v
0§vn§un§u0.
—punqnPNet pvnqnPNconvergent vers la même limite `PR
—@nPN,v
0§vn§`§un§u0.

-Concours 2016 4
6. Suites classiques
Suite arithmétique. Soit punqn•pune suite réelle ou complexe. On dit que punqn•pest arithmétique si il existe
rPCtel que : @nPN,n •p, un`1“un`r.rest alors appelée la raison de punqn•p,etonaalors:
—@nPN,n•p, un“up`pn´pqr.
—@nPN,n•p,
n
∞
k“p
uk“pn´p`1qup`un
2.
Suite géométrique. Soit punqn•pune suite réelle ou complexe. On dit que punqn•pest géométrique si il existe
qPRtel que : @nPN,n •p, un`1“qun.qest alors appelée la raison de punqn•p,etonaalors:
—@nPN,u
n“qn´pup.
—Si q‰1:@nPN,n•p,
n
∞
k“p
uk“up
1´qn´p`1
1´q.
Suites arithmético-géométriques. Soit punqn•pune suite réelle ou complexe. On dit que punqn•pest arithmético-
géométrique si il existe deux constantes aet btels que : @nPN,n•p, un`1“aun`b.Onaalors,sia‰1:
@nPN,n•p, un“an´pˆup´b
1´a˙`b 1´a.
Suites réelles récurrentes linéaires d’ordre 2.Soit punqnPNune suite réelle. On dit que punqnPNest récurrente
linéaire d’ordre 2si il existe deux nombres réels aet btels que : @nPN,u
n`2“aun`1`bun.Onappellealorséquation
caractéristique, l’équation pEq:x2´ax ´b“0.Troiscasseprésententalors,suivantlediscriminant,noté,decette
équation pEq:
—Si °0,alorspEqadmet deux solutions réelles distinctes notées x1etx2.Onpeutalorsécrire:
Dp,µqPR2,@nPN,u
n“px1qn´p`µpx2qn.
—Si “0,alorspEqadmet une racine double notée x0.Onpeutalorsécrire:
Dp,µqPR2,@nPN,u
n“p`µnqpx0qn.
—Si †0,alorspEqadmet deux racines complexes conjuguées notées ⇢ei✓et ⇢e´i✓.Onpeutalorsécrire:
Dp,µqPR2,@nPN,u
n“⇢npcos n✓`µsin n✓q.
Suites complexes récurrentes linéaires d’ordre 2.Soit punqnPNune suite complexe. On dit que punqnPNest
récurrente linéaire d’ordre 2si il existe deux nombres complexes aet btels que : @nPN,u
n`2“aun`1`bun.
On appelle alors équation caractéristique, l’équation pEq:x2´ax ´b“0.Deuxcasseprésententalors,suivantle
discriminant, noté ,decetteéquationpEq:
—Si “0,alorspEqadmet une racine double notée x0.Onpeutalorsécrire:
Dp,µqPR2,@nPN,u
n“p`µnqpx0qn.
—Si ‰0,alorspEqadmet deux racines complexes conjuguées notées ⇢ei✓et ⇢e´i✓.Onpeutalorsécrire:
Dp,µqPR2,@nPN,u
n“⇢npcos n✓`µsin n✓q.
Point méthode
Pour déterminer la valeur des constantes et µ,ilfautleplussouventidentifierlesdeuxpremierstermesdela
relation obtenue. Une autre possibilité, si l’on connaît déjà des informations sur la convergence ou la divergence
de la suite punqnPN,estd’exploiteréventuellementunpassageàlalimiteenfaisanttendrenvers `8.

5-Concours 2016
7. Suites et fonctions
Les suites de la forme un“fpnq.Soient fune fonction définie sur R`et punqnPNune suite définie par :
@nPN,u
n“fpnq.
—Si la fonction fest croissante sur R`,alorslasuitepunqnPNest croissante.
—Si la fonction fest décroissante sur R`,alorslasuitepunqnPNest décroissante.
—Si lim
xÑ`8fpxq“`PR,alorslasuitepunqnPNadmet aussi pour limite `PR.
Les suites de la forme un`1“fpunq: recherche de monotonie. Soient Iun intervalle de Rnon réduit à
un point, fune fonction définie au moins sur Iet telle que : @xPI, fpxqPI,etpunqnPNune suite définie par :
@nPN,u
n`1“fpunq.Deuxcasseprésentent:
—Si la fonction fest croissante sur I,alorslasuitepunqnPNest monotone, plus précisément : croissante si u0§u1
et décroissante si u1§u0.
—Si la fonction fest décroissante sur I,alorslesdeuxsuitesextraitespu2nqnPNet pu2n`1qnPNsont monotones,
de sens de variation contraires. Deux sous-cas se présentent alors :
1) Si u0†u2,lasuitepu2nqnPNest croissante , et la suite pu2n`1qnPNest décroissante.
2) Si u0°u2,lasuitepu2nqnPNest décroissante , et la suite pu2n`1qnPNest croissante.
Les suites de la forme un`1“fpunq: recherche de limite. Soient Iun intervalle de Rnon réduit à un
point, fune fonction définie au moins sur Iet telle que : @xPI, fpxqPI,etpunqnPNune suite définie par :
@nPN,u
n`1“fpunq.
—Si la suite punqnPNconverge vers `,etsifest continue en `,alors:`“fp`q.
—Plus généralement, si la suite punqnPNadmet une limite ↵PR,etsilafonctionfadmet en ↵une limite `PR,
alors : lim
nÑ`8un“`.
Remarque
On rappelle aussi qu’avant de démarrer l’étude théorique d’une suite ainsi définie, il est bon de commencer par
faire un schéma permettant de représenter les termes de la suite punqnPN.
Attention !
Dans les études ci-dessus, la fonction fne doit pas dépendre de la variable n.Silafonctionfdépend de n,les
résultats ci-dessus ne sont absolument plus valables, et il faut se ramener à la définition d’une suite monotone
pour pouvoir conclure. De même, on rappelle que dans ce cadre, on ne peut faire de composition de limites
que si la fonction fest fixée, et qu’il serait illicite de le faire directement avec une fonction qui dépendrait de
la variable n.
Point méthode
Un plan d’étude détaillé des suites vérifiant une relation de la forme un`1“fpunqest disponible dans la Fiche
méthodologique du chapitre Suites.Lecasclassiqueoùlafonctionfest contractante (k-lipschitzienne, avec
0†k†1(voir le Polycopié Fonctions)estuncasqu’ilpeutêtrebondeconnaîtreetquiestestdétaillé
dans la Fiche méthodologique.