DEVOIR LIBRE n˚11 AVERTISSEMENT

DEVOIR LIBRE n˚11
Pour le Lundi 28 Avril 2014
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
PROBLÈME 1 - Autour de la série harmonique
PARTIE A : Étude de la série harmonique
1. Montrer que, si une suite pxn qnPN est convergente, la suite px2n xn qnPN converge vers 0.
¸ 1
2. On définit pSn qnPN comme la somme partielle associée à la série harmonique
.
n
n¥1
C’est à dire, pour tout n P N , Sn
ņ
k 1
(a) Montrer que : @n P N , S2n Sn
1
.
k
¥ 21 .
(b) En déduire que pSn qnPN diverge vers
8.
3. A l’aide d’une comparaison avec intégrale, donner un encadrement de Sn puis prouver que : Sn
4. On considère les suites pan qnPN et pbn qnPN définies par :
(a) Montrer que : @x ¡ 1, lnp1
"
xq ¤ x.
(b) Montrer que pan qnPN et pbn qnPN sont adjacentes.
(c) En déduire qu’il existe un réel γ tel que Sn
(d) Justifier : @n ¥ 1, bn
¤ γ ¤ an.
ln n
an
bn
Sn lnpnq
.
Sn lnpn 1q
8 ln n.
o p1 q.
γ
(e) A partir de quel rang n0 est-on certain que an (ou bn ) fournisse une valeur approchée de γ à 103
près ?
(f) Écrire une procédure Python prenant en entrée un entier N et renvoyant une valeur approchée
de γ à 10N près.
(g) Donner une valeur approchée de γ à 103 près. (avec votre calculatrice si nous n’avez pas Python
sous la main !...)
PARTIE B : Étude de la série harmonique alternée
On appelle série harmonique alternée la série
¸ p1qn1
.
¥
n
n 1
On définit la somme partielle associée pTn qnPN par Tn
5. Déduire de la question 4.(c) que :
2n
¸
k n
ņ
p1qk1 .
k
k 1
1
k
1
ln 2
2n
¸
6. Montrer par récurrence que : @n P N ,
k n
7. En déduire la limite de la suite pT2n qnPN .
1
k
1
o p1 q.
2n
¸
p1qk1
k 1
k
.
8. Conclure quand à la convergence de la série harmonique alternée.
Lycée de l’Essouriau
1
PCSI
DEVOIR LIBRE n˚11
Pour le Lundi 28 Avril 2014
Exercice 1. Soit α un réel positif différent de 1.
°n
1
.
α
k
k 1
2. Retrouver alors le critère des séries de Riemann.
1. Donner un encadrement de
3. Préciser un équivalent dans le cas où α 1.
Exercice 2. Déterminer la nature de la série de terme général un .
1. un
2. un
n?n1 ln n
2
pln?nq
n3n
pn3 n
1
un n ln n
1 qe 3
n
3. un
4.
1 n
1
n2
?n
p1qn?n
5. un
6. un
n2
7. un
pn 1qn (comparer à une suite géométrique)
1
1
n
Lycée de l’Essouriau
2
PCSI