DEVOIR LIBRE n˚11 AVERTISSEMENT

DEVOIR LIBRE n˚11 Pour le Lundi 28 Avril 2014
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
PROBL` EME 1 - Autour de la s´erie harmonique
PARTIE A : ´ Etude de la s´erie harmonique
1. Montrer que, si une suite xnnNest convergente, la suite x2nxnnNconverge vers 0.
2. On d´efinit SnnNcomme la somme partielle associ´ee `a la s´erie harmonique
n1
1
n.
C’est `a dire, pour tout nN,Sn
n
k1
1
k.
(a) Montrer que : nN, S2nSn
1
2.
(b) En d´eduire que SnnNdiverge vers .
3. A l’aide d’une comparaison avec int´egrale, donner un encadrement de Snpuis prouver que : Snln n.
4. On consid`ere les suites annNet bnnNd´efinies par : anSnln n
bnSnln n1.
(a) Montrer que : x1,ln 1 x x.
(b) Montrer que annNet bnnNsont adjacentes.
(c) En d´eduire qu’il existe un r´eel γtel que Snln n γ o 1 .
(d) Justifier : n1, bnγ an.
(e) A partir de quel rang n0est-on certain que an(ou bn) fournisse une valeur approch´ee de γ`a 10 3
pr`es ?
(f) ´ Ecrire une proc´edure Python prenant en entr´ee un entier Net renvoyant une valeur approch´ee
de γ`a 10 Npr`es.
(g) Donner une valeur approch´ee de γ`a 10 3pr`es. (avec votre calculatrice si nous n’avez pas Python
sous la main !...)
PARTIE B : ´ Etude de la s´erie harmonique altern´ee
On appelle s´erie harmonique altern´ee la s´erie
n1
1n1
n.
On d´efinit la somme partielle associ´ee TnnNpar Tn
n
k1
1k1
k.
5. D´eduire de la question 4.(c) que :
2n
k n 1
1
kln 2 o1 .
6. Montrer par r´ecurrence que : nN,
2n
k n 1
1
k
2n
k1
1k1
k.
7. En d´eduire la limite de la suite T2nnN.
8. Conclure quand `a la convergence de la s´erie harmonique altern´ee.
Lyc´ee de l’Essouriau 1 PCSI

DEVOIR LIBRE n˚11 Pour le Lundi 28 Avril 2014
Exercice 1. Soit αun r´eel positif diff´erent de 1.
1. Donner un encadrement de
n
k1
1
kα.
2. Retrouver alors le crit`ere des s´eries de Riemann.
3. Pr´eciser un ´equivalent dans le cas o`u α1.
Exercice 2. D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un.
1. un
1
n n ln n
2. un
ln n2
n3n
3. unn3n1en
3
4. un
1
nln n
5. un11
n2
n
1
6. un
n
n21nn
7. unn1
n1n(comparer `a une suite g´eom´etrique)
Lyc´ee de l’Essouriau 2 PCSI