Distributions: Notes de cours d'analyse réelle

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
[email protected]r
Rappels de Cours – Distributions.
Dans toute la suite Ω désigne un ouvert de Rd. Pour α α1,...,αdNd, on note α α1αd
et αl’opérateur différentiel α1
x1... αd
xd.
1 Fonctions tests
Definition : L’ensemble des fonctions CΩ à support compact dans Ω est noté DΩ , c’est l’ensemble
des fonctions tests.
Remarque : On a déjà vu précédemment que DΩ, bien que tout petit (au sens où il est inclus dans la
plupart des espaces fonctionnels rencontrés jusqu’à présent), n’est pas réduit à la fonction nulle.
Quelle topologie pour les fonctions tests ? On rappelle que l’espace CΩEΩ (sans condition sur le
support) muni de la topologie de la convergence compacte de toutes les dérivées et un espace de Fréchet.
De même si on fixe un compact Kde Ω, l’espace DKΩ des fonctions tests à support inclus dans K,
muni de la même topologie, est toujours un espace de Fréchet. Par contre si l’on considère cette même
topologie sur DΩ , celle-ci est toujours métrisable (c’est un sous-espace de EΩ ), mais l’espace métrique
considéré n’est alors plus complet : le complété est en fait EΩ ! Ceci motive l’introduction d’une nouvelle
topologie, restreignant la convergence dans DΩ .
Definition : On fixe KppNune suite exhaustive de compact de Ω. Dans toute la suite l’espace
DΩ
pN
DKnΩsera muni de la topologie limite inductive des DKnΩ, telle que définie précédem-
ment dans le cours.
Proposition-Rappel : Les suites convergentes de DΩsont les suites dont les supports restent dans
un compact fixe de Ωet telles que les dérivées convergent toutes uniformément sur ce compact.
DΩ a la proriété de Montel :
Proposition : Les compacts de DΩsont les fermés bornés.
Théorème : Soit ϕnnNDΩN. On suppose l’existence d’un compact Kcontenant tous les supports
des ϕn. Si la suite ϕnnNconverge simplement vers une fonction ϕet si sup
αNd
sup
xΩ
sup
nN
αϕnx,
alors ϕDΩet ϕnnNconverge vers ϕdans cet espace.
2 Distributions
2.1 Définitions et premières propriétés
Définition : On note DΩ le dual topologique (formes linéaires continues) de DΩ . C’est l’espace
des distributions sur Ω.
Remarque : Si Test une distribution et ϕune fonction test, on notera T ϕ Rou T, ϕ Rl’image de
ϕpar T.
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Proposition : Soit Tune forme linéaire sur DΩ.
Se valent :
(i) Test une distribution.
(ii) Pour toute suite ϕnnNDΩNconvergeant dans DΩvers ϕ,T ϕnnNconverge vers Tϕ.
(iii) Pour tout compact KΩ, il existe un entier mKNet une constante CK, telles que pour tout
élément ϕDKΩ,
T ϕ CKsup
xK
sup
α mK
αϕ x . (1)
Dans le cas où l’entier mKde la dernière propriété peut être choisi indépendamment de K, on dit que
Test d’ordre fini. L’ordre de Test alors le plus petit entier vérifiant cette propriété.
Remarque : iii revient exactement à dire que Test continue sur tous les espaces de Fréchet DKΩ, où
Kparcoure les compacts de Ω. Il est intéressant de noter que malgré la non-métrisabilité de la topologie
limite inductive sur DΩ, il suffit de vérifier la continuité séquentielle d’une forme linéaire pour en
assurer la continuité.
2.2 Exemples
C’est au sens du résultat suivant que l’on dit que les distributions généralisent le concept de fonction :
Théorème-Définition :
Soit fune fonction localement intégrable sur Ω. L’application
Tf:DΩR
ϕ
Ω
fxϕxdx,
définit une distribution sur Ω. L’application de L1
loc ΩDΩdéfinie par f Tfest injective. On
dira par la suite qu’une distribution Test une fonction, si il existe une fonction de L1
loc Ωtelle que
T Tf.
Par la suite, on va tenter de traduire systématiquement le calcul fonctionnel en terme « distributionnel » ,
le but étant que les deux points de vues se confondent totalement dans le cas des fonctions.
Un exemple important de distribution est le suivant
Définition-Proposition : Soit aΩ. L’évaluation ϕ ϕ a définit bien une distribution. On l’appelle
masse de Dirac en aet on la note δa.
De manière plus générale, toute mesure borélienne est une distribution :
Proposition :
Soit µune mesure de Radon ( i.e. finie sur les compacts) sur la tribu des boréliens de Ω. L’application
Tµ:DΩR
ϕ
Ω
ϕxdµ x ,
définit une distribution et l’application de MrΩ(mesures de Radon sur Ω) dans DΩdéfinie par
µ Tµest injective.
2.3 Topologie de DΩ
Définition : (Topologie des distributions)
On munit DΩ de la topologie faible . On dira donc qu’une suite de distributions TnnNvers
TDΩ lorsque TnϕnNconverge vers Tϕ, pour toute fonction test ϕ.
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Théorème :
Soit TnnNune suite de DΩN. On suppose que pour tout élément ϕDΩ, la suite T ϕ nN
converge vers une valeur que l’on note S ϕ . Alors la forme linéaire Sest continue : c’est une distribu-
tion.
2.4 Multiplication, dérivation
Théorème :
Soit ψEΩet TDΩ. Il existe une distribution S, notée ψ T , appelée le produit de Tpar ψ
telle que, pour tout ϕDΩ,S ϕ T ψϕ . L’application T ψ T définit un opérateur linéaire
continu de DΩ.
Remarque : Le théorème précédent généralise la multiplication usuelle des fonctions en ce sens que pour
ψEΩet fL1
loc Ω,Tψg ψTg
Définition :(dérivation des distributions)
Soit TDΩ et αNd. L’opérateur de dérivation d’ordre αest défini sur DΩ de la manière
suivante : αTest une distribution, définie par
ϕDΩ,αT, ϕ : 1 αT, αϕ.
Remarque : Dans le cas de la dimension 1, cette formule devient donc : Tf, ϕ Tf, ϕ .
Proposition : Soit pN,αNdtel que α p et fCpΩ. Alors Tαfαf.
Remarque : La dérivée d’une fonction au sens classique correspond donc, via l’injection f Tf, à la
dérivation au sens des distributions.
Proposition : Soit αNd.αest un opérateur linéaire continu de DΩdans lui-même. En particulier,
si TnnNTest une suite convergente de distributions, alors αTnαT.
Proposition : (formule des sauts)
Soit fune fonction C1Rpar morceaux. Cela veut dire qu’il existe un nombre fini de réels a1a2
antels que fsoit C1ai, ai1pour tout iJ1, n 1Ket admette une limite finie à droite et à
gauche en chacun de ces points. Alors, la dérivée de fau sens des distributions ( i.e. la dérivée de Tf)
est donnée par la formule
Tf
m
i1
f aif aiδaj.
2.5 Ordre fini, support compact
Théorème : L’ensemble des distributions d’ordre inférieur ou égal à pNs’identifie au dual topologique
de Cp
cΩ, l’espace des fonctions de classe Cpà support compact.
Proposition-Définition :
Soit TDΩ. Un ouvert de nullité de Test un ouvert OΩpour lequel T ϕ 0dès lors que
ϕDO. Il existe un plus grand ouvert de nullité. Le complémentaire de cet ouvert, un fermé de Ω,
est appelé le support de Tet noté supp T.
Théorème : L’ensemble des distributions à support compact s’identifie avec EΩ, le dual topologique
de EΩ. Une distribution à support compact est nécessairement d’ordre fini.
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