1 Espaces de Hilbert

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2013-2014
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Espaces de Hilbert. Opérateurs.
Une excellente réference pour tous les rappels mentionnés ici est le livre « Analyse Fonctionnelle »de
Francis Hirsch et Gilles Lacombes. Je l’ai d’ailleurs recopié sans vergogne pour la plupart des résultats
qui suivent.
Dans toute la suite Hdésignera un K-espace (K R ou C) de Hilbert muni d’un produit scalaire ,
et de la norme associée . LHdésignera l’ensemble des opérateurs linéaires continus de Hdans
lui-même, muni de la norme subordonnée . Si cela ne prête pas à confusion, on notera parfois la
norme des opérateurs. Enfin, le dual topologique de H(les formes linéaires continues, ou encore LH, K)
sera noté H.
1 Espaces de Hilbert
Théorème :
Soit Cune partie convexe fermée et non vide de H. Alors, pour tout point x E, il existe un unique
point y C tel que x y dx, C . Ce point, appelé projection de xsur Cet noté pCx, est
caractérisé par la propriété suivante : pour tout y C et pour tout élément z C,Re x y, z y 0.
L’application pCainsi définie sur Htout entier est de plus 1-lipschitzienne.
Le cas où Cest un sous-espace de Himplique aisément le résultat suivant :
Proposition : Pour tout sous-espace vectoriel Fde H, on a la décomposition H F F . En
particulier, Fest dense dans Hsi et seulement si F0.
Théorème : (Riesz)
L’application de Hsur Hdéfinie par uΦu:, u est une isométrie linéaire surjective. En d’autres
termes, pour toute forme linéaire continue ΦH, il existe un unique u H vérifiant
x H, Φx x, u ,
et de plus Φu.
Proposition :
Pour tout TLH, il existe un unique opérateur TLHvérifiant
x, y H, T x , y x, T y .
Test appelé l’adjoint de Tet vérifie de plus T T .
Définition : Une suite xn n Nde Hest dite faiblement convergente vers x H (xnx) si
y H, xn, y nx, y .
Théorème : De toute suite bornée de Hon peut extraire une sous-suite faiblement convergente.
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Proposition-Définition :
On dit qu’une famille ei i I d’éléments de Hest une base hilbertienne de Hsi elle est orthonormale
et si de plus Vect ei:i I H. Une telle base hilbertienne vérifie alors, pour tout x, y H
i I
x, ei2x2, x, y
i I
x, eiei, y ,
i I
x, eieix,
la dernière somme étant à comprendre au sens des familles sommables dans H.
Remarque : Dans la proposition précédente la famille ei i I peut être a priori indénombrable.
Proposition : H est séparable si et seulement si il possède une base hilbertienne dénombrable.
Corollaire : À isomorphisme isométrique près, il n’existe qu’un seule espace de Hilbert complexe sépa-
rable de dimension infinie : `2C(idem dans le cas réel).
2 Opérateurs
2.1 Spectre et valeurs propres
Soit E, un espace de Banach sur un corps K(Rou C). LEdésigne l’ensemble des opérateurs
continus de Edans Emuni de la norme subordonnée . Comme précédemment, si cela ne prête pas
à confusion, on notera parfois la norme des opérateurs.
Proposition : L’ensemble Ides éléments inversibles (opérateurs bijectifs) de LEest un ouvert.
Définition :
Soit TLE. On appelle valeur spectrale de Ttout élément λKtel que T λIdEI. L’ensemble
des valeurs spectrales (le spectre) est noté σ T . On appelle valeur propre tout élément λKtel que
T λIdEne soit pas injectif, i.e. Eλ:Ker T λIdE0et on note vp Tl’ensemble de ces valeurs
propres. Eλest appelé espace propre associé à λ.
Remarque : On a clairement vp T σ T mais l’égalité est fausse en général.
Proposition :
Soit TLE. La suite Tn1n
nNconverge vers un nombre que l’on note rT, le rayon spectral.
Par ailleurs, le spectre de Test un compact de K(éventuellement vide) et inclus dans le disque (ou le
segment) λK:λrT.
Proposition : Supposons K C. Alors tout élément TLEpossède un spectre non vide. De plus
rTmax λ:λ σ T .
2.2 Le cas hilbertien
On reprend les notations de la section 1 concernant l’espace de hilbert H.
Proposition :
Soit TLH, alors
(i) Ker TIm T,
(ii) Im TKer T,
(iii) Test inversible si et seulement si Test l’est et l’inversion commute alors avec l’adjonction.
Corollaire : σ T σ T (conjugaison complexe).
Remarque : Dans le cas réel les spectres sont donc égaux. Par contre il n’y a en général pas de rapport
entre les valeurs propres de Tet celles de T.
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Définition : On dit qu’un opérateur TLHest auto-adjoint lorsque T T . De manière plus
générale, Test dit normal lorsqu’il commute avec son adjoint : T T T T .
Théorème :
Soit TLHun opérateur auto-adjoint. Alors
(i) le spectre de Test réel : σ T R,
(ii) les espaces propres de Tassociés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux.
2.3 Opérateurs compacts
Soient E, F des espaces de Banach et Hun espace de Hilbert.
Définition : On appelle opérateur compact de Edans Ftout élément TLE, F pour lequel
l’image de toute partie bornée de Eest relativement compacte dans F. On note K E, F l’ensemble des
opérateurs compacts de Edans Fou simplement K Esi E F .
Proposition : KE, F est un idéal bilatère pour le produit de composition et également un sous-
espace fermé de LE, F contenant tous les opérateurs de rang fini. Dans le cas particulier où Fest
un espace de Hilbert, on a précisément KE, F u :E F :dim u E .
Proposition :
Soit TKE. Alors
(i) le sous-espace Ker TIdEest de dimension finie,
(ii) le sous-espace Im TIdEest fermé,
(iii) l’opérateur TIdEest inversible si et seulement si il est injectif.
Remarque : On sait qu’en dimension finie l’injectivité d’un opérateur linéaire est équivalente à sa
surjectivité. Cette propriété tombe bien sûr en défaut en dimension infinie. Le point iii de la proposition
précédente précise le cadre de validité de ce critère : si Test la somme d’un opérateur inversible et d’un
opérateur compact alors injectivité et surjectivité de Tse valent.
Théorème :
Soit TKE. On a que
(i) si Eest de dimension infinie, 0est une valeur spectrale de T,i.e. Tne peut pas être inversible,
(ii) toute valeure spectrale non nulle de T est une valeur propre et le sous-espace propre associé est
de dimension finie,
(iii) le spectre de Test au plus dénombrable. Si il est infini, on peut ranger ses éléments non nuls en
une suite λn n Ndécroissante en module et tendant vers 0.
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On termine par un résultat de « diagonalisation » valable pour les opérateurs normaux compacts sur
un espace de Hilbert :
Théorème : (dit « spectral »)
Soit Hun espace de Hilbert complexe de dimension infinie et Tun opérateur normal et compact de
LH. Alors
(i) l’ensemble vp T0des valeurs propres de Tnon nulles est une partie au plus dénombrable
de C(et même de Rsi Test auto-adjoint) admettant éventuellement 0comme unique point
d’accumulation. On peut l’indexer comme dans le théorème précédent en une suite λn n Nqui est
donc soit stationnaire (vp Tfini) soit convergente vers 0,
(ii) les sous-espaces propres de Tsont orthogonaux deux à deux,
(iii) si on note, pour λvp T,Pλle projecteur orthogonal sur l’espace propre Eλ, on a
T
nN
λnPλn,
au sens de la convergence dans LH,
(iv) on a la décomposition
H
λvp T
Eλ
nN
EλnKer T ,
toutes les sommes directes étant orthogonales,
(v) si Hest séparable, Hadmet une base hilbertienne formée de vecteurs propres de T.
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