Polynôme annulateur d`un endomorphisme : un

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
Polynôme annulateur d’un
endomorphisme : un exemple
Maths Sup - Concours 2015
Correction
I.
Un exemple
1) f est une application de R3 dans lui-même, et pour tout pu, vq P R3 , u “ px, y, zq, v “ px1 , y 1 , z 1 q et pour tout
PR:
f p u ` vq “ f p x ` x1 , y ` y 1 , z ` z 1 q
“ p´ y ´ y 1 , x ` x1 , z ` z 1 q
“ p´y, x, zq ` p´y 1 , x1 , z 1 q
“ f puq ` f pvq.
Ainsi, f est une application linéaire de R3 dans lui-même, et donc :
f est un endomorphisme de R3
2) Calculons f 2 et f 3 . On a :
@px, y, zq P R3 , f 2 px, y, zq “ f pp´y, x, zqq
“ p´x, ´y, zq.
On en déduit :
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : 01.40.26.78.78 - www.optimalsupspe.fr
soit :
2
- Concours 2015
@px, y, zq P R3 , f 3 px, y, zq “ f pp´x, ´y, zqq
“ py, ´x, zq.
Ainsi, on peut écrire :
`
˘
@px, y, zq P R3 , f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE px, y, zq “ py, ´x, zq ´ p´x, ´y, zq ` p´y, x, zq ´ px, y, zq
“ py ` x ´ y ´ x, ´x ` y ` x ´ y, z ´ z ` z ´ zq
“ 0.
On peut finalement conclure :
f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE “ 0
Remarque
On aurait également pu calculer la matrice A représentative de f dans la base canonique de R3 , et montrer
que A3 ´ A2 ` A ´ I “ 0.
3) Soit u “ px, y, zq P R3 . On peut écrire :
u P Kerpf ´ IdE q ô f puq ´ u “ 0
ô p´y, x, zq “ px, y, zq
ô x “ ´y “ y
ôx“y“0
ô u “ p0, 0, zq, z P R
ô u P V ectp0, 0, 1q.
On peut conclure :
F “ Kerpf ´ IdE q “ V ectpe3 q
De même, pour u “ px, y, zq P R3 , on peut écrire :
u P Kerpf 2 ` IdE q ô f 2 puq ` u “ 0
ô p´x, ´y, zq “ p´x, ´y, ´zq
ô z “ ´z
ôz“0
ô u “ px, y, 0q, px, yq P R2
ô u “ xp1, 0, 0q ` yp0, 1, 0q, px, yq P R2
ô u P V ect pp1, 0, 0q, p0, 1, 0qq .
On peut conclure :
G “ Kerpf 2 ´ IdE q “ V ectpe1 , e2 q
3
- Concours 2015
4) D’après l’expression de IdE et de f 2 :
1
ppx, y, zq ` p´x, ´y, zqq
2
1
“ p0, 0, 2zq
2
@px, y, zq P R3 , ppx, y, zq “
“ p0, 0, zq.
De même :
1
ppx, y, zq ´ p´x, ´y, zqq
2
1
“ p2x, 2y, 0q
2
@px, y, zq P R3 , qpx, y, zq “
“ px, y, 0q.
On peut conclure :
@px, y, zq P R3 , ppx, y, zq “ p0, 0, zq, et : qpx, y, zq “ px, y, 0q
5) f transforme un triplet px, y, zq du plan en le triplet p´y, x, zq. Si l’on considère un point du plan d’abscisse x,
d’ordonnée y et de quote z, la transformation laisse la quote inchangée, transforme l’abscisse en ordonnée, et
l’ordonnée en l’opposée de la nouvelle abscisse. On peut interpréter cette application comme une rotation d’angle
⇡
.
2
Démontrons ce résultat à l’aide des nombres complexes. La quote étant inchangée par f , on peut la supposer
par exemple nulle. Commençons par effectuer le rappel de cours suivant :
Rappel de cours
Multiplier deux nombres complexes revient en fait à multiplier leurs modules, et à additionner leurs
1
1
arguments. En effet, si z “ ⇢ei✓ et si z 1 “ ⇢1 ei✓ , alors : zz 1 “ ⇢⇢1 eip✓`✓ q . On se souviendra aussi de la
définition algébrique de la multiplication dans C, qui est donnée par la relation :
@px, yq P R2 , px, yq ˆ px1 , y 1 q “ pxx1 ´ yy 1 , xy 1 ` x1 yq.
⇡
, il
2
i⇡
suffit de montrer que px, yq, multiplié par e 2 “ i vaut p´y, xq. Or, i étant le nombre p0, 1q, on a bien :
px, yq ˆ i “ px, yq ˆ p0, 1q “ p´y, xq. On peut désormais conclure :
Ainsi, pour interpréter la transformation px, yq Ñ p´y, xq comme la rotation de centre O et d’angle
f peut être interprétée comme une rotation d’angle
II.
⇡
2
Réduction de l’endomorphisme f
1) On peut écrire :
pf ´ IdE q fiÑ pf 2 ` IdE q “ f 3 ` f ´ f 2 ´ IdE “ 0LpEq ,
car f vérifie l’équation f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE “ 0LpEq . Comme les deux endomorphismes ci-dessus commutent (en
effet, toutes les puissances de f commutent), on peut conclure :
pf ´ IdE q o pf 2 ` IdE q “ pf 2 ` IdE q o pf ´ IdE q “ 0LpEq
4
- Concours 2015
2) Soit y P Im p. Il existe x P E tel que ppxq “ y, i.e. tel que :
y“
1
pid ` f 2 qpxq.
2
Montrons que y P F “ Kerpf ´ IdE q :
ˆ
˙
1
2
pf ´ Idqpyq “ pf ´ IdE q
pid ` f qpxq
2
‰
1“
“
pf ´ IdE qopf 2 ` IdE q pxq
2
soit :
“ 0.
Ainsi : @y P Im p, y P F . On peut conclure :
Im p Ä F
De même, soit y P Im q. Il existe x P E tel que qpxq “ y, i.e. tel que :
y“
1
pIdE ´ f 2 qpxq.
2
Montrons que y P F “ Kerpf 2 ` IdE q :
˙
1
2
pf ` Idqpyq “ f ` IdE
pIdE ´ f qpxq
2
‰
1“
“ ´ pf 2 ` IdE q o pf 2 ´ IdE q pxq
2
1
“ ´ pf 4 ´ IdE qpxq.
2
`
2
2
˘
ˆ
soit :
Ainsi, l’objectif est de prouver que f annule le polynôme X 4 ´ 1. Or, 1 est racine de ce polynôme, et on peut
écrire :
X 4 ´ 1 “ pX ´ 1qpX 3 ´ X 2 ` X ´ 1q.
Ainsi :
f 4 ´ IdE “ pf ´ IdE q o pf 3 ´ f 2 ` f ´ IdE q,
et donc :
`
˘
1
pf 2 ` Idqpyq “ ´ pf ´ IdE q pf 3 ´ f 2 ` f ´ IdE qpxq
2
1
“ ´ pf ´ IdE qp0q
2
soit, f ´ IdE étant linéaire :
“ 0.
Ainsi : @y P Im q, y P G. On peut conclure :
Im q Ä G
3) (a) Soit y P F X G. On a alors f pxq ´ x “ 0, soit : f pxq “ x, et on a également : f 2 pxq ` x “ 0, soit :
f pf pxqq “ ´x. Finalement, x “ ´x, et donc : x “ 0. Ainsi : F X G “ t0u. On peut conclure :
F et G sont en somme directe
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- Concours 2015
Rappel de cours
Deux ensembles F et G sont en somme directe lorsque l’une des propositions suivantes, qui sont
équivalentes, est vérifiée :
— Si un élément se décompose sous forme d’un élément de F et d’un élément de G, cette
décomposition est alors unique ;
— F X G “ t0u.
Il ne faut pas confondre cette propriété avec le fait que les espaces F et G soient supplémentaires
dans E, où l’on souhaiterait aussi que la relation F ` G “ E soit vérifiée.
Remarque
La deuxième proposition ci-dessus (F X G “ t0u montre que F et G sont en somme directe) n’est
valable que pour deux sous-espaces vectoriels. Dans le cas de n sous-espaces vectoriels (n ° 2), la
seconde proposition n’est plus vraie : il faut alors le plus souvent revenir à la définition.
(b) Soit y P Im p X Im q. Alors y P F X G, et donc : y “ 0. On peut donc conclure :
Im p et Im q sont en somme directe
4) (a) On a :
p`q “
˘
1`
IdE ` f 2 ` IdE ´ f 2 , donc :
2
p ` q “ IdE
(b) Im p et Im q sont des sous-espaces vectoriels de E. Comme p ` q “ IdE , alors pour tout x P E, x “
ppxq ` qpxq, où ppxq P Im p, et qpxq P Im q. Ainsi, tout élément de E s’écrit sous forme de somme d’un
élément de Im p et d’un élément de Im q, i.e. : Im p ` Im q “ E. Comme Im p et Im q sont en somme
directe, on peut finalement conclure :
Im p ‘ Im q “ E
Point méthode
Lorsqu’on ne sait pas si E est de dimension finie et que l’on souhaite montrer que deux sousespaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans E, on peut montrer, au choix, l’une des deux
propositions suivantes, qui sont équivalentes :
— @z P E, D!px, yq P F ˆ G, z “ x ` y ;
— F ` G “ E et F X G “ t0u.
(c) Soit z P E. Comme : Im p ‘ Im q “ E, alors il existe un unique couple px, yq P Im p ˆ Im q tel que :
z “ x ` y. Comme x P Im p Ä F et y P Im q Ä G, on en déduit :
@z P E, Dpx, yq P F ˆ G, z “ x ` y.
Ainsi : F ` G “ E. Mais comme F X G “ t0u, on en déduit que F ‘ G “ E.
Soit alors x P F . Alors x P E. x s’écrit donc de façon unique comme somme d’un élément de F et d’un
élément de G : x “ x ` 0. De plus, x s’écrit aussi, de façon unique, comme somme d’un élément de Im p et
d’un élément de Im q : x “ x1 ` y 1 . Comme Im p Ä F et que Im q Ä G, alors x1 P F et y 1 P G. L’unicité de
la décomposition sur F ` G assure finalement que : x “ x1 (et 0 “ y 1 ). Ainsi, x P Im p. On a donc établi
que :
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- Concours 2015
F Ä Im p.
Or, l’inclusion réciproque Im p Ä F a déjà été démontrée. On peut finalement conclure :
F “ Im p, et : G “ Im q
Remarque
On a cette fois-ci utilisé la première des propositions ci-dessus ! Il faut savoir jongler entre plusieurs
caractérisations d’une même propriété. La capacité des élèves à "changer de point de vue" (algébrique, analytique, géométrique...) est utile et est toujours valoriseé aux concours, à l’écrit comme
à l’oral.
(d) Soit x P E. On peut écrire :
x P Kerp ô
1
px ` f 2 pxq “ 0
2
ô px ` f 2 pxq “ 0
ô x P G.
Ainsi :
Kerp “ G “ Im q
5) (a) Commençons par effectuer le rappel de cours suivant :
Rappel de cours
S’il est exact que, lorsque p est un projecteur, on a :
Kerp ‘ Im p “ E,
la proposition précédente n’est pas, en revanche, une caractérisation de la qualité de projecteur pour
p. Dit autrement : il existe des applications linéaires p qui ne sont des pas des projecteurs, et qui
vérifient pourtant Kerp ‘ Im p “ E.
Ainsi, pour montrer que p est un projecteur ici, on ne peut pas se contenter de faire observer que
Kerp ‘ Im p “ E. On va plutôt utiliser la caractérisation des projecteurs : p est un projecteur si,
et seulement si, p est un endomorphisme de E vérifiant p o p “ p.
On a : p o p “
1
pIdE ` 2f 2 ` f 4 q. Il s’agit de "faire disparaître" f 4 . Pour cela, remarquons que :
4
pf ` idq o pf 3 ´ f 2 ` f ´ IdE q “ f 4 ´ IdE “ 0,
et donc : f 4 “ IdE . Il vient finalement :
pop “
1
pIdE ` 2f 2 q “ p.
2
qoq “
1
pIdE ´ 2f 2 q “ q.
2
Un calcul analogue prouve que :
On peut conclure :
p et q sont des projecteurs
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- Concours 2015
(b) On a : p o q “ q o p “
1
pIdE ´ f 4 q, et comme f 4 “ IdE , alors :
4
p o q “ q o p “ 0LpEq
(c) On remarque que : p´q “ f 2 . Comme p et ´q commutent, alors, d’après la forumle du binôme de Newton,
on peut écrire :
n ˆ ˙
ÿ
n
@n P N, pp ´ qqn “
p´qqk o pn´k
soit, puisque p o p “ p et q o q “ q :
k
k“0
n´1
ÿ ˆn˙
“ p`
p´1qk q o p ` p´1qn q
soit, puisque q o p “ 0 :
k
k“1
“ p ` p´1qn q,
(la somme de 1 à pn ´ 1q étant par convention nulle si n § 1).
En composant la relation précédente par f , on obtient :
@n P N, f 2n`1 “ f o p ` p´1qn f o q.
Or :
f op “
1
f o pIdE ` f 2 q
2
“
1
pf ` f 3 q
2
“
1
pIdE ` f 2 q
2
soit avec la relation vérifiée par f :
“p
On peut finalement conclure :
@n P N, f 2n “ p ` p´1qn q, et : f 2n`1 “ p ` p´1qn f o q
III.
Application à des suites récurrentes linéaires d’ordre 3
1) (a) F est inclus dans RN , non vide car la suite nulle est solution de l’équation définissant F , et des opérations
élémentaires prouvent que si pun qnPN et `pvn qnPN ˘sont des éléments de F et que P R, alors p u ` vq P F .
Ainsi, E est un sous-espace vectoriel de RN , `, . , et donc :
F est un R-espace vectoriel
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- Concours 2015
Remarque
Une démonstration plus élégante consiste à interpréter E comme le noyau d’une application linéaire.
Plus précisément, F est l’ensemble des éléments dont l’image par est nulle, où est l’application
qui, à toute suite pun qnPN de E, associe la suite pun`3 ´un`2 `un`1 ´un qnPN . Des calculs élémentaires
prouvent que est linéaire, et E n’est autre que le noyau de cette application.
Cette méthode mérite d’être examinée dans de nombreuses situations. Il est fréquent que des espaces,
dont on souhaite montrer qu’ils sont des espaces vectoriels, puissent être interprétés comme les
noyaux de certaines applications linéaires. On rappelle que dans le cas où ces applications linéaires
sont à valeurs dans R (ce sont des formes linéaires, non nulles), leur noyau est un hyperplan de E.
Ce théorème du cours permet de trouver immédiatement la dimension de l’espace vectoriel E.
(b) L’application f est clairement à valeurs dans E puisque si pun qnPN vérifie la relation : @n P N, un`3 ´un`2 `
un`1 ´ un , il en est de même pour la suite pun`1 qnPN . La linéarité de f étant immédiate, il vient :
f est un endomorphisme de E
`
˘
(c) Soit u P E. Notons v “ f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE puq, c’est-à-dire pvn qnPN la suite définie par :
@n P N, vn “ un`3 ´ un`2 ` un`1 ´ un .
Comme u P E, alors : @n P N, vn “ 0, i.e. :
``
˘
˘
@n P N, f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE puq n “ 0,
soit :
`
˘
f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE puq “ 0E .
Ce résultat étant valable pour tout u P E, on peut désormais conclure :
f 3 ´ f 2 ` f ´ IdE “ 0LpEq
2) Idée : Il est temps d’utiliser les résultats généraux démontrés lors de la partie II, puisque f est un endomorphisme
de E satisfaisant à la relation précédente. La présence des termes d’indices pair et impair renvoie à la question
donnant la forme de f 2n et f 2n`1 dans le cas général.
Soit u P E. En conservant les notations définissant les projecteurs p et q, on peut écrire :
ppuq “
soit :
˘
1`
u ` f 2 puq ,
2
@n P N, pppuqqn “
1
pun ` un`2 q.
2
D’après la définition de f , on peut écrire :
` ˘
@p P N, f 2p n “ pun`2p qnPN .
Le résultat de la question II)5)c) nous permet alors d’en déduire que :
pun`2p qnPN “
1
rpun qnPN ` pun`2 qnPN ` p´1qp pun qnPN ` p´1qp pun`2 qnPN s.
2
On peut alors conclure, en identifiant le terme en n “ 0 de ces suites :
@p P N, u2p “
De même, on peut écrire :
1
ru0 ` u2 ` p´1qp pu0 ` u2 qs
2
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- Concours 2015
qpuq “
soit :
˘
1`
u ´ f 2 puq ,
2
@n P N, pqpuqqn “
1
pun ´ un`2 q,
2
et donc, en composant par f :
@n P N, ppf o qq puqqn “
1
pun`1 ´ un`3 q.
2
D’après la définition de f , on peut écrire :
`
˘
@p P N, f 2p`1 n “ pun`2p`1 qnPN ,
Le résultat de la question II)5)c) nous permet alors d’en déduire que :
pun`2p`1 qnPN “
1
rpun qnPN ´ pun`2 qnPN ` p´1qp pun`1 qnPN ` p´1qp pun`3 qnPN s,
2
et donc, en identifiant le terme en n “ 0 de ces suites :
@p P N, u2p`1 “
1
ru0 ` u2 ` p´1qp pu1 ´ u3 qs.
2
Enfin, comme u P E, alors u3 “ u2 ´ u1 ` u0 , et on peut donc conclure :
@p P N, u2p`1 “
1
ru0 ` u2 ` p´1qp p´u0 ` 2u1 ´ u2 qs.
2
3) F “ Kerpf ´ IdE q est l’ensemble des éléments invariants par f . C’est donc l’ensemble des suites u P E telles
que : @n P N, un`1 “ un , et ainsi, F est l’ensemble des suites réelles constantes. On peut donc conclure :
pp1qnPN q est une base de F
De même, G “ Kerpf 2 ´ IdE q est l’ensemble des suites telles que :
@n P N, un ` 2 “ un .
Il s’agit des suites réelles de période 2. Pour en trouver une base, deux méthodes sont possibles. On pourrait se
ramener aux cours sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Préférons ici une méthode purement algébrique.
Pour définir une suite périodique de période 2, il suffit de connaître ses deux premiers termes (choisis librement
dans R). L’espace vectoriel G est
ˆ donc de dimension
˙ 2 (voir l’encadré ci-dessous pour plus de
ˆ précisions). Or,
˙ la
˘
1`
1
p1 ` p´1qn q
suite pun qnPN “ p0, 1, 0, 1, ...q “
1 ` p´1qn`1
et la suite pvn qnPN “ p1, 0, 1, 0, ...q “
2
2
nPN
nPN
sont deux suites périodiques, clairement non colinéaires, donc formant une famille libre et maximale dans G. On
peut conclure :
ˆˆ
˘
1`
1 ` p´1qn`1
2
˙
nPN
,
ˆ
˙ ˙
1
n
p1 ` p´1q q
est une base de G
2
nPN
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- Concours 2015
Point méthode
Pour trouver la dimension d’un espace vectoriel, on peut raisonner en termes de "degrés de liberté". Il
s’agit de savoir combien de scalaires il suffit de choisir, de façon entièrement libre (c’est-à-dire indépendamment les uns des autres, sans aucune contrainte) pour définir complètement un élément de l’espace
vectoriel en question. Ici, on a établi que pour définir entièrement une suite périodique de période 2, il
était suffisant de choisir, et ce de façon libre, ses deux premiers termes.
Pour une démonstration plus formelle, on pourra considérer l’application qui, à tout élément x de E,
associe les p éléments à définir de façon libre pour caractériser cet élément, et montrer que cette application
est bijective de E dans Rp . En l’espèce, on pourrait ainsi considérer l’application , définie par :
#
E ݄ R2
:
u fi݄ pu0 , u1 q
et montrer, ce qui se fait sans difficulté à l’aide de la définition d’une application bijective, que
isomorphisme (application linéaire bijective) de E dans R2 .
est un
Cette méthode permet de trouver la dimension d’un espace vectoriel sans nécessairement en exhiber une
base.
4) Commençons par effectuer le rappel de cours suivant :
Rappel de cours
Si E est de dimension finie, alors F et G sont supplémentaires dans E si, et seulement si, l’une des deux
propositions ci-dessous, qui sont équivalentes, est vérifiée :
— dim F ` dim G “ dim E et : F X G “ t0u ;
— la concaténation (ou juxtaposition) d’une base de F et d’une base de G forme une base de E.
N.B. : d’autres méthodes qui n’utilisent pas la notion de dimension, valables même si E n’est pas de
dimension finie, sont présentées dans un encadré du présent corrigé.
D’après la question II)4)b), F ‘ G “ E. On peut donc concaténer une base de F et une base de G pour former
une base de E et conclure :
ˆ
ˆ
˙
ˆ
˙ ˙
˘
1`
1
n`1
n
p1 ` p´1q qq
p1qnPN ,
1 ` p´1q
,
est une base de E
2
2
nPN
nPN
On trouve ainsi :
dim E “ 3
Pour les mêmes raisons expliquées dans l’encadré ci-dessus, on peut construire un isomorphisme de E sur R3 ,
qui à toute suite pun qnPN de E associe le triplet formé de ses trois premiers termes qui suffisent à la caractériser
entièrement. On peut donc achever ce problème en répondant que, naturellement :
Ce résultat était prévisible