Polynôme annulateur d`un endomorphisme : un

Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Polynôme annulateur d’un
endomorphisme : un exemple
Maths Sup - Concours 2015
Correction
I. Un exemple
1) fest une application de R3dans lui-même, et pour tout pu, vqPR3,u “px, y, zq,v “px1,y
1,z 1qet pour tout
PR:
fpu`vq“fpx`x1,y`y1,z`z1q
“p´y´y1,x`x1,z`z1q
“p´y, x, zq`p´y1,x
1,z 1qsoit :
“fpuq`fpvq.
Ainsi, fest une application linéaire de R3dans lui-même, et donc :
fest un endomorphisme de R3
2) Calculons f2et f3.Ona:
@px, y, zqPR3,f
2px, y, zq“fpp´y, x, zqq
“p´x, ´y, zq.
On en déduit :
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : [phone] - www.optimalsupspe.fr

-Concours 2015 2
@px, y, zqPR3,f
3px, y, zq“fpp´x, ´y, zqq
“py, ´x, zq.
Ainsi, on peut écrire :
@px, y, zqPR3,`f3´f2`f´IdE˘px, y, zq“py, ´x, zq´p´x, ´y, zq`p´y, x, zq´px, y, zq
“py`x´y´x, ´x`y`x´y, z ´z`z´zq
“0.
On peut finalement conclure :
f3´f2`f´IdE“0
Remarque
On aurait également pu calculer la matrice Areprésentative de fdans la base canonique de R3,etmontrer
que A3´A2`A´I“0.
3) Soit u“px, y, zqPR3.Onpeutécrire:
uPKerpf´IdEqôfpuq´u“0
ôp´y, x, zq“px, y, zq
ôx“´y“y
ôx“y“0
ôu“p0,0,zq,z PR
ôuPVectp0,0,1q.
On peut conclure :
F“Kerpf´IdEq“Vectpe3q
De même, pour u“px, y, zqPR3,onpeutécrire:
uPKerpf2`IdEqôf2puq`u“0
ôp´x, ´y, zq“p´x, ´y, ´zq
ôz“´z
ôz“0
ôu“px, y, 0q,px, yqPR2
ôu“xp1,0,0q`yp0,1,0q,px, yqPR2
ôuPVectpp1,0,0q,p0,1,0qq .
On peut conclure :
G“Kerpf2´IdEq“Vectpe1,e
2q

3-Concours 2015
4) D’après l’expression de IdEet de f2:
@px, y, zqPR3,ppx, y, zq“1
2ppx, y, zq`p´x, ´y, zqq
“1
2p0,0,2zq
“p0,0,zq.
De même :
@px, y, zqPR3,qpx, y, zq“1
2ppx, y, zq´p´x, ´y, zqq
“1
2p2x, 2y, 0q
“px, y, 0q.
On peut conclure :
@px, y, zqPR3,ppx, y, zq“p0,0,zq,et:qpx, y, zq“px, y, 0q
5) ftransforme un triplet px, y, zqdu plan en le triplet p´y, x, zq.Sil’onconsidèreunpointdupland’abscissex,
d’ordonnée yet de quote z,latransformationlaisselaquoteinchangée,transformel’abscisseenordonnée,et
l’ordonnée en l’opposée de la nouvelle abscisse. On peut interpréter cette application comme une rotation d’angle
⇡
2.
Démontrons ce résultat à l’aide des nombres complexes. La quote étant inchangée par f,onpeutlasupposer
par exemple nulle. Commençons par effectuer le rappel de cours suivant :
Rappel de cours
Multiplier deux nombres complexes revient en fait à multiplier leurs modules, et à additionner leurs
arguments. En effet, si z“⇢ei✓et si z1“⇢1ei✓1,alors:zz1“⇢⇢1eip✓`✓1q.Onsesouviendraaussidela
définition algébrique de la multiplication dans C,quiestdonnéeparlarelation:
@px, yqPR2,px, yqˆpx1,y
1q“pxx1´yy1,xy 1`x1yq.
Ainsi, pour interpréter la transformation px, yqÑp´y, xqcomme la rotation de centre Oet d’angle ⇡
2,il
suffitdemontrerquepx, yq,multipliéparei⇡
2“ivaut p´y, xq.Or,iétant le nombre p0,1q,onabien:
px, yqˆi“px, yqˆp0,1q“p´y, xq.Onpeutdésormaisconclure:
fpeut être interprétée comme une rotation d’angle ⇡
2
II. Réduction de l’endomorphisme f
1) On peut écrire :
pf´IdEqfiÑpf2`IdEq“f3`f´f2´IdE“0LpEq,
car fvérifie l’équation f3´f2`f´IdE“0LpEq. Comme les deux endomorphismes ci-dessus commutent (en
effet, toutes les puissances de fcommutent), on peut conclure :
pf´IdEqopf2`IdEq“pf2`IdEqopf´IdEq“0LpEq

-Concours 2015 4
2) Soit yPIm p. Il existe xPEtel que ppxq“y,i.e.telque:
y“1
2pid `f2qpxq.
Montrons que yPF“Kerpf´IdEq:
pf´Idqpyq“pf´IdEqˆ1
2pid `f2qpxq˙
“1
2“pf´IdEqopf2`IdEq‰pxqsoit :
“0.
Ainsi : @yPIm p, y PF.Onpeutconclure:
Im pÄF
De même, soit yPIm q. Il existe xPEtel que qpxq“y,i.e.telque:
y“1
2pIdE´f2qpxq.
Montrons que yPF“Kerpf2`IdEq:
pf2`Idqpyq“`f2`IdE˘ˆ1
2pIdE´f2qpxq˙
“´
1
2“pf2`IdEqopf2´IdEq‰pxqsoit :
“´
1
2pf4´IdEqpxq.
Ainsi, l’objectif est de prouver que fannule le polynôme X4´1.Or,1est racine de ce polynôme, et on peut
écrire :
X4´1“pX´1qpX3´X2`X´1q.
Ainsi :
f4´IdE“pf´IdEqopf3´f2`f´IdEq,
et donc :
pf2`Idqpyq“´
1
2pf´IdEq`pf3´f2`f´IdEqpxq˘
“´
1
2pf´IdEqp0qsoit, f´IdEétant linéaire :
“0.
Ainsi : @yPIm q, y PG.Onpeutconclure:
Im qÄG
3) (a) Soit yPFXG.Onaalorsfpxq´x“0,soit:fpxq“x,etonaégalement:f2pxq`x“0,soit:
fpfpxqq “ ´x.Finalement,x“´x,etdonc:x“0.Ainsi:FXG“t0u.Onpeutconclure:
Fet Gsont en somme directe

5-Concours 2015
Rappel de cours
Deux ensembles Fet Gsont en somme directe lorsque l’une des propositions suivantes, qui sont
équivalentes, est vérifiée :
—Si un élément se décompose sous forme d’un élément de Fet d’un élément de G,cette
décomposition est alors unique ;
—FXG“t0u.
Il ne faut pas confondre cette propriété avec le fait que les espaces Fet Gsoient supplémentaires
dans E,oùl’onsouhaiteraitaussiquelarelationF`G“Esoit vérifiée.
Remarque
La deuxième proposition ci-dessus (FXG“t0umontre que Fet Gsont en somme directe) n’est
valable que pour deux sous-espaces vectoriels. Dans le cas de nsous-espaces vectoriels (n°2), la
seconde proposition n’est plus vraie : il faut alors le plus souvent revenir à la définition.
(b) Soit yPIm pXIm q.AlorsyPFXG,etdonc:y“0.Onpeutdoncconclure:
Im pet Im qsont en somme directe
4) (a) On a :
p`q“1
2`IdE`f2`IdE´f2˘,donc:
p`q“IdE
(b) Im pet Im qsont des sous-espaces vectoriels de E.Commep`q“IdE,alorspourtoutxPE,x“
ppxq`qpxq,oùppxqPIm p,etqpxqPIm q.Ainsi,toutélémentdeEs’écrit sous forme de somme d’un
élément de Im pet d’un élément de Im q, i.e. : Im p`Im q“E. Comme Im pet Im qsont en somme
directe, on peut finalement conclure :
Im p‘Im q“E
Point méthode
Lorsqu’on ne sait pas si Eest de dimension finie et que l’on souhaite montrer que deux sous-
espaces vectoriels Fet Gsont supplémentaires dans E,onpeutmontrer,auchoix,l’unedesdeux
propositions suivantes, qui sont équivalentes :
—@zPE,D!px, yqPFˆG, z “x`y;
—F`G“Eet FXG“t0u.
(c) Soit zPE. Comme : Im p‘Im q“E,alorsilexisteununiquecouplepx, yqPIm pˆIm qtel que :
z“x`y. Comme xPIm pÄFet yPIm qÄG,onendéduit:
@zPE,Dpx, yqPFˆG, z “x`y.
Ainsi : F`G“E.MaiscommeFXG“t0u,onendéduitqueF‘G“E.
Soit alors xPF.AlorsxPE.xs’écrit donc de façon unique comme somme d’un élément de Fet d’un
élément de G:x“x`0.Deplus,xs’écrit aussi, de façon unique, comme somme d’un élément de Im pet
d’un élément de Im q:x“x1`y1. Comme Im pÄFet que Im qÄG,alorsx1PFet y1PG.L’unicitéde
la décomposition sur F`Gassure finalement que : x“x1(et 0“y1). Ainsi, xPIm p.Onadoncétabli
que :