1 Espaces de Hilbert 2 Opérateurs, spectre et compacité

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2013-2014
Ayman Moussa
TD no3 – Espaces de Hilbert. Opérateurs.
1 Espaces de Hilbert
Exercice 1.1:
Soit Hun espace de Hilbert.
1. Soit KHun compact. Démontrer qu’une suite de Kfaiblement convergente (dans H) est
fortement convergente.
2. Vérifier que toute suite faiblement convergente de Hest bornée. Montrer que si xnnx, alors
xlimnxn.
3. Que dire de la suite xn, ynnNsi xnnNconverge faiblement vers xHet ynnNconverge
fortement vers yH? Et si les deux suites convergent faiblement ?
4. Vérifier que pour TLH, et toute suite xnnNde H, on a
xnnx T xnnT x .
Exercice 1.2:
Soit Hun espace de Hilbert et xnnNune suite bornée de H. Le but de cet exercice est de montrer
que l’on peut extraire une sous-suite faiblement convergente de xnnN.
1. Supposons que Hsoit séparable. Soit Dune partie totale dénombrable de H. Montrer qu’on peut
extraire de xnnNune sous-suite xnkkNtelle que pour tout zVect D, la suite z, xnkkN
converge vers un élément ℓzK.
Indication : Un seul mot : « diagonale ».
2. Montrer que la convergence du crochet a en fait lieu pour tout zH.
3. Montrer que l’application ℓainsi définie est une forme linéaire continue et conclure.
4. Comment faire dans le cas non séparable ?
Exercice 1.3:
Montrer que si TLHest normal, alors T2T2.
Indication : Penser à se ramener au cas auto-adjoint qui se traite plus facilement.
2 Opérateurs, spectre et compacité
1

Exercice 2.1: Opérateurs compacts
Soient Eun espace de Banach de dimension infinie et Fun espace normé quelconque.
1. Soit TLE, F inversible et bicontinu. Montrer que Tn’est pas compact.
2. On suppose cette fois-ci que pour tout xE,T x FC x Epour une certaine constante positive
C0. Montrer que Tn’est pas compact.
Exercice 2.2: Spectre continu, pas de valeurs propres
On considère l’opérateur fonctionnel
T:C00,1,RC00,1,R
f xf.
Déterminer σTet vp T.Test-il compact ?
Exercice 2.3: Opérateurs diagonaux et shifts
Soit p1,. Soit annNℓC, on définit
T:ℓpCℓpC
unnNanunnN.
1. Vérifier que Test bien un endomorphisme continu de ℓpC.
2. Montrer que Test compact si et seulement si lim
nan0.
3. Les shifts à droite et à gauche sur ℓpCsont-ils compacts ?
Exercice 2.4: Shifts sur ℓ2C
Soit Sle shift à droite sur ℓ2C,i.e. l’unique opérateur linéaire continu vérifiant Senen1,
où ennNest la base hilbertienne canonique de ℓ2C:en: 0,...0,
n
1,0,0, . . . .
1. Déterminer l’adjoint de S.
2. Expliquer pourquoi Sn’est pas compact.
3. Déterminer les valeurs propres de Set S.
4. Montrer que le spectre de Set de Sest inclus dans le disque unité fermé.
Indication : On pourra vérifier que la série n
Sn
λnconverge dès lors que λ1et en déduire que
S λIdℓ2Cest inversible (ou tout simplement invoquer la formule du rayon spectral !).
5. Vérifier que le spectre de Scontient le disque unité ouvert puis finalement que σ S σ S D
(disque unité fermé).
Exercice 2.5:
Soit Hun espace de Hilbert. Montrer que TLHest compact si et seulement si l’image par T
de toute suite de Econvergeant faiblement vers 0 est une suite convergeant fortement vers 0.
Indication : On pourra utiliser certains résultats obtenus dans les deux premiers exercices de la section 1.
2

Exercice 2.6: Théorème spectral dans le cas compact auto-adjoint
Dans tout ce qui suit, on fixe un espace de Hilbert séparable Het un opérateur compact TLH
auto-adjoint : T T . Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une base hilbertienne xnnN
de Het d’une suite αnnRNtendant (éventuellement) vers 0 telle que T xnαnxnpour tout n.
1. Montrer que vp TRen utilisant l’auto-adjonction de T.
2. Vérifier que si λ1λ2sont deux valeurs propres associés à deux vecteurs propres e1et e2de T,
alors e1et e2sont orthogonaux.
3. Soit ε0. Montrer que Iε:λvp T:λ ε est fini.
Indication : Dans le cas contraire exhiber une suite de vecteurs propres infinie et orthonormée puis
utiliser la compacité prétendue de T.
4. En déduire que vp Test au plus dénombrable et que le seul point d’accumulation possible est 0.
On notera donc vp T0 : λ1,...,λn,... de sorte que la suite λppNest soit stationnaire soit
convergente vers 0.
5. On pose FVect Eλ:λvp T, où Eλ: Ker T λIdHdésigne l’espace propre associé à
λvp T.
(a) Vérifier que si λ0, Eλest de dimension finie.
(b) Montrer que Fest stable par l’opérateur T.
(c) Montrer que l’opérateur induit TFest diagonalisable au sens suivant : il existe une suite xnn
de vecteurs propres de cet opérateur formant une base hilbertienne de F, la suite des valeurs
propres associées αnntendant (éventuellement) vers 0.
(d) Vérifier que Tstabilise aussi F.
6. Montrons maintenant que pour tout opérateur compact auto-adjoint TLH, vp T(si
H0 ).
(a) Vérifier que pour tout xH,T x , x R. On pose M: sup x1T x , x .
(b) Montrer que si Mest nul, Taussi (et donc vp T), on suppose par la suite Tnon nul.
(c) Soit xnnNtelle que xn1 et lim
nT xn, xnM. Montrer que l’on peut extraire de
xnnNune sous-suite xnkkNconvergeant faiblement vers un élément xde la boule unité
fermée de Het telle que T xnkkNconverge fortement vers Tx H.
(d) En déduire que T x , x M et x1. Quitte à considérer Ton suppose par la suite
que T x , x M.
(e) Soit zHunitaire, orthogonal à x. Vérifier que la courbe γ:π, π t x cos t z sin test
à valeurs dans la sphère unité de H.
(f) On pose Φ : Hy T y , y R. Montrer que Φ γ:R R est dérivable en 0, et calculer
cette dérivée.
Indication : On écrira pour t0
Φγ t Φγ0
tTγt γ0 t, γ t T γ 0,γt γ 0 t
(g) En notant que γest maximale en 0, en déduire finalement que x T x , puis que T x
et xsont proportionnels.
7. Conclure.
Exercice 2.7:
3

Soit KC00,12,R. Dans la suite on note EC00,1,Ret HL20,1 . On considère
l’opérateur à noyau (Kest le noyau de l’opérateur)
TK:EE
f
1
0
Kx, y f y dy
1. Montrer en utilisant le théorème d’Ascoli que TKest un endomorphisme compact de E.
2. Nous allons prouver la compacité de TKpar une autre méthode qui s’appliquera dans le cadre
L20,1 .
(a) En utilisant le théorème de Stone-Weirestrass montrer qu’il existe une suite de noyaux de la
forme
Kpx, y :
p
k1
akx bky ,
où ak, bkC00,1 , tels que lim
pKpK, la convergence étant uniforme sur le carré 0,12.
(b) Montrer que pour tout pN, l’opérateur TKpest de rang fini et que la suite TKppNconverge
vers TKdans LE.
(c) Vérifier que TKs’étend naturellement en un opérateur de LH. Montrer qu’il est également
compact dans cet espace et calculer son adjoint.
3. Étudions maintenant le cas particulier où Kx, y e x y . On considère dans toute la suite TK
comme opérateur de LH,i.e.
TK:HH
f
1
0
Kx, y f y dy.
(a) Vérifier que TKest auto-adjoint et montrer que TK1.
(b) Soit fEet g TKf. Montrer que gC20,1 et que
x0,1, g x g x 2f x , g 0g0, g 1g1.
(c) Montrer que TKE g C20,1 : g0g0, g 1g1 et TKH E.
Indication : Pour la première partie, poser f g g 2et raisonner sur h g TKf
pour aboutir à TKf g.
(d) Montrer que Im TKest dense dans Het en déduire que 0 n’est pas valeur propre de TK.
Est-ce que 0 appartient au spectre de TK?
Rappel : On rappelle que C00,1(fonctions plateaux) est dense dans H.
(e) Montrer que si f E et g TKf,
g, f H
1
2g2
2g2 2g12g02,
et en déduire que pour tout fH,
TKf , f H
1
2TKf2
2.
(f) Démontrer que σTK0,1 . L’égalité est-elle possible ?
(g) Pour λ0,1 on pose aλ:2λ
λ. Démontrer que
λσ TK1a2
λsin aλ2aλcos aλ0,
et en déduire que σ TK0λnnNavec
2
1π2nπ 2λn
2
1nπ 2.
4