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DEVOIR MAISON n˚16
Pour le 01/06/15
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
PROBLÈME : Dénombrement (Pour le 01/06/15)
Dans ce problème on s’intéresse aux mots écrits sur un alphabet à p
d’un mot son nombre de lettres.
1 lettres. On appelle longueur
1. Dans cette question, p 1 et on considère les mots formés avec les deux lettres a et b.
(a) Combien peut-on former de mots de longueur n ?
(b) On note αn le nombre de mots, de longueur n, ne contenant pas deux a consécutifs. i.e. aucune
séquence aa. Calculer α1 , α2 , α3 et α4 .
(c) Montrer que, pour n ¥ 2 : αn αn1 αn2 .
(On remarquera que si un mot ne contient pas deux a consécutifs, il finit soit par b, soit par ba.)
(d) Exprimer alors αn en fonction de n.
(e) Donner un équivalent de αn , de la forme Cxn quand n tend vers
8.
(f) On lance n fois une pièce équilibrée.
i. Calculer le nombre pn de séries de n lancers où on n’obtient pas deux « pile » consécutifs.
pn
ii. Donner un équivalent de n quand n tend vers 8.
2
pn
iii. En déduire la limite de n quand n tend vers 8.
2
2. Dans cette question , l’alphabet est constitué des p 1 lettres a, b1 , ..., bp où p ¥ 2.
(a) Combien peut-on former de mots de longueur n avec les lettres a, b1 , ..., bp ?
On note βn le nombre de mots de longueur n ne contenant pas deux a consécutifs.
(b) Calculer β1 , β2 , β3 . On conviendra par la suite que β0
(c) Montrer, pour tout n ¥ 2, que : βn
pβn1
1.
pβn2 .
(d) Exprimer alors βn en fonction de n.
(e) Donner un équivalent simple de βn quand n tend vers
8.
(f) Un singe tape n fois au hasard sur un clavier à p 1 touches ( et contenant la touche ).
Dénombrer les séries de n frappes où il ne tape pas deux fois consécutivement la touche .
Soit fn ce nombre. Déterminer la limite quand n tend vers 8 du rapport 2fnn .
3. On s’intéresse de nouveau aux mots constitués des deux lettres a et b.
On note γn le nombre de mots de longueur n ne contenant pas trois a consécutifs.
(a) Calculer γ1 , γ2 , γ3 et γ4 . On conviendra par la suite que γ0
1.
(b) Soit n ¥ 3. Exprimer γn en fonction de γn1 , γn2 et γn3 .
(On remarquera qu’un tel mot finit soit par ba, soit par baa ou b.)
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DEVOIR MAISON n˚16
Pour le 01/06/15
PROBLÈME : Trigonalisation d’une matrice (Pour le 05/06/15)
2
Soit a P R, on définit la matrice M paq 1
0 a1
2 a2 .
1 0
a
3
On note M0 M p0q et f l’endomorphisme de R canoniquement associé à M0 .
Dans tout le problème I3 désignera la matrice unité de M3 pRq et Id l’endomorphisme identité de R3 .
Partie A - Le cas a 0
1. On définit P pλq detpM0 λI3 q.
(a) Calculer ppλq et déterminer SppM0 q l’ensemble des racines de P pλq.
(b) Justifier que pλ P SppM0 qq ðñ pf λId est non injective).
(c) Montrer qu’il existe deux réels λ1 λ2 tels que f λId soit non injective.
Montrer que Kerpf λ1 Idq et Kerpf λ2 Idq sont des droites vectorielles.
En préciser, pour chacune d’elle, une base sous la forme b1 p, 1, q et b2 p, 1, q.
(d) Montrer qu’il existe une infinité de vecteurs b3 tels que f pb3 q b3 b1 .
Donner une description paramétrique de l’ensemble de ces vecteurs.
(e) Déterminer l’unique solution de la forme b3 p, 1, q.
2. On note la famille B pb1 , b2 , b3 q.
(a) Justifier que B est une base et préciser la matrice, notée T de f dans cette base.
(b) En décomposant T D N où D est une matrice diagonale, calculer T n pour n P N.
3. On appelle P la matrice de passage de la base canonique de R3 à la base B.
(a) Préciser l’expression de la matrice P .
(b) Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer P 1 . Vérification ?
(c) Quelle relation existe-t-il entre M0n et T n ? En déduire une expression de M0n .
Partie B - Dans cette partie, on considère le cas général où a P R et a 0
4. Soit pαn qnPN une suite réelle telle que :
@n P N, αn 1 p1
Montrer que :
@n P N, αn 1 p1
aqn α0
aqαn
bpp1
5. On se propose de montrer qu’il existe deux suites pun qnPN
@n P N,
1 u
n
M paqn un
un
b.
aqn 1q
.
a
et pvn qnPN telles que :
0
2n
0
1
2 n
@n P N,
n 1
vn
1
p1
p1
.
vn
(a) Quelles sont alors les valeurs de u0 , v0 , u1 , u1 ?
(b) Montrer l’existence des deux suites et, en utilisant M paqn
"u
vn
vn
1
M paq M paqn, établir que :
aqun 1
aqvn 1
(c) En déduire un et vn en fonction de n.
6. Désormais, on pose a 1.
(a) Donner l’expression de M p1qn .
(b) On définit Qn 21n M p1qn et on dit que la suite de matrices pQn qnPN converge si TOUS les
coefficients de Qn définissent des suites convergentes, et lim pQn q est alors, naturellement la
Ñ 8
n
matrice dont les coefficients sont les limites de chaque coefficient de Qn .
(c) Montrer que l’endomorphisme canoniquement associé à Q est une projection vectorielle sur le
sous-espace vectoriel engendré par b1 et b2 . Préciser la direction de cette projection.
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