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DEVOIR MAISON n˚16 Pour le 01/06/15
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
PROBL` EME : D´enombrement (Pour le 01/06/15)
Dans ce probl`eme on s’int´eresse aux mots ´ecrits sur un alphabet `a p1 lettres. On appelle longueur
d’un mot son nombre de lettres.
1. Dans cette question, p1 et on consid`ere les mots form´es avec les deux lettres aet b.
(a) Combien peut-on former de mots de longueur n?
(b) On note αnle nombre de mots, de longueur n, ne contenant pas deux acons´ecutifs. i.e. aucune
s´equence aa. Calculer α1, α2, α3et α4.
(c) Montrer que, pour n2 : αnαn1αn2.
(On remarquera que si un mot ne contient pas deux acons´ecutifs, il finit soit par b, soit par ba.)
(d) Exprimer alors αnen fonction de n.
(e) Donner un ´equivalent de αn, de la forme Cxnquand ntend vers .
(f) On lance nfois une pi`ece ´equilibr´ee.
i. Calculer le nombre pnde s´eries de nlancers o`u on n’obtient pas deux «pile »cons´ecutifs.
ii. Donner un ´equivalent de pn
2nquand ntend vers .
iii. En d´eduire la limite de pn
2nquand ntend vers .
2. Dans cette question , l’alphabet est constitu´e des p1 lettres a, b1, ..., bpo`u p2.
(a) Combien peut-on former de mots de longueur navec les lettres a, b1, ..., bp?
On note βnle nombre de mots de longueur nne contenant pas deux acons´ecutifs.
(b) Calculer β1, β2, β3. On conviendra par la suite que β01.
(c) Montrer, pour tout n2, que : βnpβn1pβn2.
(d) Exprimer alors βnen fonction de n.
(e) Donner un ´equivalent simple de βnquand ntend vers .
(f) Un singe tape nfois au hasard sur un clavier `a p1 touches ( et contenant la touche ).
D´enombrer les s´eries de nfrappes o`u il ne tape pas deux fois cons´ecutivement la touche .
Soit fnce nombre. D´eterminer la limite quand ntend vers du rapport fn
2n.
3. On s’int´eresse de nouveau aux mots constitu´es des deux lettres aet b.
On note γnle nombre de mots de longueur nne contenant pas trois acons´ecutifs.
(a) Calculer γ1, γ2, γ3et γ4. On conviendra par la suite que γ01.
(b) Soit n3.Exprimer γnen fonction de γn1, γn2et γn3.
(On remarquera qu’un tel mot finit soit par ba, soit par baa ou b.)
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI

DEVOIR MAISON n˚16 Pour le 01/06/15
PROBL` EME : Trigonalisation d’une matrice (Pour le 05/06/15)
Soit aR, on d´efinit la matrice M a
2 0 a1
1 2 a2
1 0 a
.
On note M0M0 et fl’endomorphisme de R3canoniquement associ´e `a M0.
Dans tout le probl`eme I3d´esignera la matrice unit´e de M3Ret Id l’endomorphisme identit´e de R3.
Partie A - Le cas a0
1. On d´efinit P λ det M0λI3.
(a) Calculer p λ et d´eterminer Sp M0l’ensemble des racines de P λ .
(b) Justifier que λ Sp M0f λId est non injective).
(c) Montrer qu’il existe deux r´eels λ1λ2tels que f λId soit non injective.
Montrer que Ker f λ1Id et Ker f λ2Id sont des droites vectorielles.
En pr´eciser, pour chacune d’elle, une base sous la forme b1,1,et b2,1,.
(d) Montrer qu’il existe une infinit´e de vecteurs b3tels que f b3b3b1.
Donner une description param´etrique de l’ensemble de ces vecteurs.
(e) D´eterminer l’unique solution de la forme b3,1,.
2. On note la famille Bb1, b2, b3.
(a) Justifier que Best une base et pr´eciser la matrice, not´ee Tde fdans cette base.
(b) En d´ecomposant T D N o`u Dest une matrice diagonale, calculer Tnpour nN.
3. On appelle Pla matrice de passage de la base canonique de R3`a la base B.
(a) Pr´eciser l’expression de la matrice P.
(b) Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer P1. V´erification ?
(c) Quelle relation existe-t-il entre Mn
0et Tn? En d´eduire une expression de Mn 0.
Partie B - Dans cette partie, on consid`ere le cas g´en´eral o`u aRet a0
4. Soit αnnNune suite r´eelle telle que :
nN, αn11a αnb.
Montrer que :
nN, αn11anα0
b1an1
a.
5. On se propose de montrer qu’il existe deux suites unnNet vnnNtelles que :
nN, M a n
1un0 1 vn
un2n2nvn
un0vn
.
(a) Quelles sont alors les valeurs de u0,v0,u1,u1?
(b) Montrer l’existence des deux suites et, en utilisant M a n1M a M a n, ´etablir que :
nN,un11a un1
vn11a vn1
(c) En d´eduire unet vnen fonction de n.
6. D´esormais, on pose a1.
(a) Donner l’expression de M1n.
(b) On d´efinit Qn
1
2nM1net on dit que la suite de matrices QnnNconverge si TOUS les
coefficients de Qnd´efinissent des suites convergentes, et lim
nQnest alors, naturellement la
matrice dont les coefficients sont les limites de chaque coefficient de Qn.
(c) Montrer que l’endomorphisme canoniquement associ´e `a Qest une projection vectorielle sur le
sous-espace vectoriel engendr´e par b1et b2. Pr´eciser la direction de cette projection.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI