MP1 Janson 2016/2017 Feuille d`exercices : Topologie et espaces

MP1 Janson
2016/2017
Feuille d’exercices : Topologie et espaces vectoriels normés
Normes équivalentes
Exercice 1 (CCP) Montrer que si A est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé alors A est également un
sous-espace vectoriel.
Exercice 2 (CCP/TPE) Soit pE, N q un espace vectoriel normé. Soit F un sous-espace vectoriel de E d’intérieur non
vide. Montrer que F “ E.
Exercice 3 (CCP) On se place sur E “ RrXs. Pour tout polynôme P “
N1 pP q “
n
ÿ
k“0
n
ÿ
ak X k (où n ě degP ), on définit
k“0
|ak | et N2 pP q “ max |ak |.
0ďkďn
1. Démontrer succintement que N1 et N2 sont des normes sur E.
2. Démontrer que tout ouvert pour la norme N2 est ouvert pour la norme N1 .
3. Démontrer que les normes N1 et N2 ne sont pas équivalentes.
4. Soit N P N fixé. On considère N11 et N21 les restrictions de N1 et N2 au sous-espace vectoriel F “ RN rXs.
Sont-elles équivalentes sur F ?
Exercice 4 On considère
l’espace l1 muni de la norme N1 habituelle. On se fixe une suite bornée pαn qnPN P RN .
$
1
&l
Ñ R`
ÿ
On considère N : u “ pun q
ÞÑ N puq “
|αn un | .
nPN
%
nPN
1. Vérifier que N est bien définie. À quelle condition (CNS) sur pαn qnPN est-ce une norme sur l1 ?
2. Dans ce cas, cette norme est-elle équivalence à N1 ?
Exercice 5 On note E “ tpun qnPN P RN , suite bornéeu et on considère la norme définie sur E par N8 pvq “ sup |un |.
nPN
ÿ
|αn | converge (c’est-à-dire α P l1 ).
Soit α “ pαn qnPN P RN tel que
$
&E
Ñ R`
ÿ
On considère N : u “ pun q
|αn un | .
nPN ÞÑ N puq “
%
nPN
1. Vérifier que N est bien définie. À quelle condition (CNS) sur pαn qnPN est-ce une norme sur E ?
2. Dans ce cas, cette norme est-elle équivalence à N8 ?
Exercice 6 (Mines/Centrale) Soit E “ C 1 pra, bsq, Rq. On définit pour f P E, N1 pf q “ |f paq| ` }f 1 }8 et N2 pf q “
}f }8 ` }f 1 }8
1. Justifier que N1 et N2 sont des normes sur E.
2. Sont-elles équivalentes entre elles ? Sont-elles équivalentes à }.}8 ?
Distance à une partie
Exercice 7 (CCP) Soit A Ă E, avec E un espace vectoriel normé. Montrer que pour tout x P E, on a : px P A ô
dpx, Aq “ 0.
Exercice 8 (Centrale) Soit E un espace venctoriel normé. Soient K un compact et F un fermé de E.
1. Montrer que pour tout a P E, la distance dpa, Kq est atteinte.
2. * Montrer (avec un contre-exemple) que la distance dpa, F q (avec F fermé) n’est elle pas toujours atteinte.
3. On suppose que K X F “ H. Montrer que dpK, F q ą 0.
4. Donner l’exemple de deux fermés disjoints (par exemple dans R2 ) F1 et F2 tels que dpF1 , F2 q “ 0.
5. Si K2 est compact, montrer que dpK, K2 q est atteinte (Dpa, bq P K ˆ F, dpK, F q “ dpa, bq).
6. On suppose que E est un espace vectoriel normé de dimension finie. Expliquer que dans ce cas, la distance entre
un compact et un fermé est atteinte.
1
7. En déduire que dans un espace vectoriel normé quelconque, la distance d’un point à tout sous-espace de dimension
finie F est atteinte.
Topologie sur les espaces de matrices
Exercice 9 (Mines) On note E “ Mn pCq. Soit p ď n. Soient Sp “ tM P E, rgpM q ě pu, Ip “ tM P E, rgpM q ď pu,
et Ap “ tM P E, rgpM q “ pu.
1. Montrer que Sp est ouvert, et Ip est fermé dans E.
2. Montrer que Ap n’est ni ouvert, ni fermé mais que Ap “ Ip (que retrouve-t-on dans le cas p “ n ?).
Exercice 10 (Mines/Centrale) Soit n ě 2.
1. Montrer qu’une norme N sur E “ Mn pCq ne peut pas vérifier : p@pA, Bq P E 2 , N pABq “ N pBAqq.
$
’
&@pα, Aq P R ˆ E, N pαAq “ |α|N pAq
2. Soit N : E Ñ R` telle que @pA, Bq P E 2 , N pA ` Bq ď N pAq ` N pBq .
’
%
@pA, Bq P E 2 , N pABq “ N pBAq
(a) Montrer que A Ñ |TrpAq| vérifie ces propriétés.
(b) Montrer que @B P E, pN pBq “ 0q ñ p@A P E, N pA ` Bq “ N pAqq.
(c) En déduire toutes les N possibles. (On pourra montrer que (@i ‰ j, N pEi,j q “ 0) puis que (@A P E,
TrpAq “ 0 ñ N pAq “ 0.)
3. Montrer qu’il n’existe pas de norme sur E telle que
@pA, P q P E ˆ Gln pCq, N pP AP ´1 q “ N pAq
(1)
On pourra exhiber une matrice A semblable à 2A.
4. Soit N une semi-norme (toutes les conditions d’une norme sauf la séparabilité) vérifiant (1). Montrer que N est
lipschitzienne, puis que (@pA, Bq P E 2 , N pABq “ N pBAq). En déduire toutes les semi-normes vérifiant cette
condition.
5. Soit N une norme sur E. Montrer qu’il existe un unique plusÿpetit k0 ą 0 tel que pour tout pA, Bq P E 2 ,
N pABq ď k0 N pAqN pBq. Déterminer k0 dans le cas où N pAq “
|ai,j | et dans le cas où N pAq “ max |ai,j |.
i,j
i,j
Exercice 11 (CCEM) Soit P “ ppij q une matrice carrée d’ordre n ě 2, stochastique, c’est-à-dire telle que pij ě 0 et
n
ÿ
pij “ 1, @j P rr1, nss.
i“1
¨ ˛
¨
˛
v1
|v1 |
n
ÿ
˚ ‹
˚
‹
Pour v “ ˝ ... ‚ P Rn , on pose |v| “ ˝ ... ‚ et }v}1 “
|vk |.
vn
|vn |
k“1
1. Montrer que } }1 est une norme sur Rn .
2. Montrer que 1 est valeur propre de P .
3. On note N1 la norme sur Mn pRq subordonnée à } }1 ; montrer que N1 pP q “ 1.
4. Soit λ une valeur propre de P , éventuellement complexe, telle que |λ| “ 1, soit V un vecteur propre associé ;
montrer que P |V | “ |V |.
Exercice 12 (Centrale)
1. Justifier que, si E est euclidien, pour tout x P E, pour tout r ą 0, la boule fermée Bf px, rq est compacte. Si on
fixe x P E , r ą 0 et f P LpEq que peut-on dire de f pBf px, rqq ?
2. Soient x P E et 0 ă r ă }x} ; on note K “ Bf px, rq, et on suppose que f pKq Ă K. On fixe a P K.
n
1 ÿ k
Pour tout n P N, on pose yn “
f paq ; justifier que pyn q P K N , et que f pyn q ´ yn tend vers 0.
n k“0
3. Montrer qu’il existe w P K, f pwq “ w.
4. Montrer que 1 P Sppf q et que Sppf q Ă r´1, 1s.
5. À l’aide d’un exemple choisi en dimension 3, montrer que f n’est pas nécessairement diagonalisable.
Exercice 13 (Centrale) Soit A P Mn pCq telle que pAk qkPN soit bornée. Pour tout p P N˚ , on pose Bp “
p´1
1 ÿ k
A .
p k“0
1. Montrer que la suite pBp qp admet au moins une valeur d’adhérence C. Puis montrer que AC “ C.
2
2. Montrer que C 2 “ C puis que ker C “ ImpA ´ In q et ImC “ kerpA ´ In q (en identifiant les matrices aux
endomorphismes de Cn canoniquement associés).
3. Montrer que la suite pBp qp converge.
2
Exercice 14 (Mines) On ´admet
¯ le résulat suivant : si pun qnPN est une suite positive telle que pour tout pk, lq P N ,
1
uk`l ď uk ul alors la suite unn est convergente. On munit E “ Mn pCq d’une norme d’opérateur.
´
¯
1
1. Montrer que pour tout A P E, la suite }Ak } k
converge. On notera ρpAq sa limite.
kPN˚
´
¯
1
2. Montrer que pour toute norme N de E N pAk q k
converge également vers ρpAq.
˚
kPN
2
3. Montrer que : @pA, Bq P E , ρpABq “ ρpBAq.
4. On suppose A diagonalisable. Montrer que ρpAq “ max |λ|.
λPSppAq
5. On suppose A diagonalisable. Montrer l’équivalence entre :
— lim Ak “ 0
kÑ8
— @X P Mn,1 pCq, lim Ak X “ 0
kÑ8
— ρpAq ă 1.
Exercice 15 (Centrale) Montrer que dans Mn pCq l’ensemble des matrices diagonalisables est dense. Montrer que
Mn pRq l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l’ensemble des matrices trigonalisables.
Exercice 16 (Centrale) Soit A P Mn pCq. Montrer que la suite pAp qpPN est bornée si et seulement si toutes les valeurs
propres de A sont de module inférieur ou égal à 1, et pour les valeurs propres de module 1 la dimension du sous-espace
propre associé est égale à la mltiplicité de la valeur propre.
Topologie sur les espaces de suites
Exercice 17 ENTPE-EIVP On note E le R-espace vectoriel des suites réelles bornées ; l’ensemble F des suites nulles
à partir d’un certain rang est-il un ouvert de E ? Un fermé ?
Exercice 18
*
k
n
,
n
P
N,
k
P
rr0,
2
ss
est dense dans r0, 1s.
2n
2. Soit f une fonction
ˆ
˙continue sur un intervalle I. Prouver que f est convexe sur I si et seulement si pour tout
x`y
1
px, yq P I , f
ď pf pxq ` f pyqq .
2
2
"
1. Montrer que l’ensemble D “
Exercice 19 (Mines) On considère l1 muni de la norme N1 . Soit F “ tx P l1 , @n P N, xn ě 0u. Montrer que F est un
fermé d’intérieur vide.
Exercice 20 (Mines) Soit E “ C 0 pr0, 1s, Rq, et soit F “ tf P E, f p0q “ f p1q “ 0u. Déterminer l’adhérence et
l’intérieur de F pour la norme }}8 puis pour la norme }}1 .
Exercice 21 (Centrale) On note E “ tpun qnPN P RN , suite bornéeu et on considère la norme définie sur E par
N8 pvq “ sup |un |. On note E0 “ tpun qnPN P RN , lim un “ 0u et G0 “ tu “ pun qnPN P RN , u stationne en 0u.
nPN
nÑ8
1. Montrer que E0 est un sous-espace vectoriel de E et que pour tout p P N, ep “ pδp,n qnPN appartient à E0 .
2. On note G “ V ecttep , p P Nu. Montrer que G “ G0 .
3. G est-il fermé ? Déterminer son adhérence.
Applications linéaires continues
Exercice 22 (CCP) Soit E “ C 0 pr0, 1s, Rq munie de la norme usuelle N8 . On considère l’application φ :
$
&E
%f
ÑR
ż1
.
Þ
Ñ
f ptq dt
0
Montrer que φ est une application linéaire continue.
#
RrXs Ñ R
Exercice 23 (CCP/TPE) Soit φ :
. Trouver une norme sur RrXs pour laquelle φ est continue, puis
P
ÞÑ P p0q
trouver une autre norme pour laquelle φ n’est pas continue.
3
Exercice 24 (CCP) Soit pE, }}q un espace vectoriel normé. On note B le sous-espace vectoriel de E N formé de suites
bornées d’éléments de E. On munit B de la norme suivante :
@u “ pun qnPN , ~u~ “ sup }un }.
nPN
#
On considère φ :
B
x “ pxn qnPN
ÑB
. Montrer que φ est un endormorphisme continu de E.
ÞÑ pxn`1 ´ xn qnPN
Connexité par arcs
Exercice 25 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n ě 2. Si H est un hyperplan EzH est-il connexe
par arcs ? Si F est un sous-espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à n ´ 2, EzF est-il connexe par arcs ?
Exercice 26 Montrer que l’ensemble des matrices de Mn pRq diagonalisables est connexe par arcs.
Divers
Exercice 27 (notamment Centrale)
1. Montrer que si pKn qnPN est une suite décroissante de compacts non vides alors
č
Fn est un compact non vide.
nPN
0
2. E “ C"
pr0, 1s, Rq muni de la norme infinie. Soit D “ prn qnPN une partie
* dénombrable dense de r0, 1s. On considère
ż1
f ptq dt “ 1 . Montrer que les Fn sont des fermés bornés
Fn “ f P E, }f }8 ď 2, @k P rr0, nss, f prk q “ 0, et
0
č
Fn .
convexes emboı̂tés non vides. Déterminer
nPN
Exercice 28 Centrale-Supélec
1. Montrer que toute fonction g continue sur une boule B fermée d’un espace vectoriel normé de dimension finie, à
valeurs dans R, atteint un minimum.
2. Soit f de B dans B, telle que @px, yq P B 2 , }f pxq ´ f pyq} ă }x ´ y} ; montrer que f admet un unique point fixe.
3. Que peut-on dire si l’on suppose f 1-lipschitzienne ?
Exercice 29 Soit pK, dq un compact. On considère f P C 0 pK, Kq tel que :
@px, yq P K 2 , x ‰ y ñ dpf pxq, f pyqq ă dpx, yq.
Montrer que f admet un unique point fixe dans K.
Exercice 30 (Mines-Centrale) Soit K un compact d’un espace vectoriel normé. Soit f une application continue de K
dans K telle que pour tout px, yq P K 2 , }f pxq ´ f pyq} ě }x ´ y}. Montrer que f est un homéomorphisme. Puis montrer
que f est une isométrie.
4