MP1 Janson 2016/2017 Feuille d`exercices : Topologie et espaces

MP1 Janson
2016/2017
Feuille d’exercices : Topologie et espaces vectoriels norm´es
Normes ´equivalentes
Exercice 1 (CCP) Montrer que si Aest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm´e alors Aest ´egalement un
sous-espace vectoriel.
Exercice 2 (CCP/TPE) Soit pE, Nqun espace vectoriel norm´e. Soit Fun sous-espace vectoriel de Ed’int´erieur non
vide. Montrer que F“E.
Exercice 3 (CCP) On se place sur E“RrXs. Pour tout polynˆome P“
n
ÿ
k“0
akXk(o`u nědegP), on d´efinit
N1pPq “
n
ÿ
k“0
|ak|et N2pPq “ max
0ďkďn|ak|.
1. D´emontrer succintement que N1et N2sont des normes sur E.
2. D´emontrer que tout ouvert pour la norme N2est ouvert pour la norme N1.
3. D´emontrer que les normes N1et N2ne sont pas ´equivalentes.
4. Soit NPNfix´e. On consid`ere N1
1et N1 2les restrictions de N1et N2au sous-espace vectoriel F“RNrXs.
Sont-elles ´equivalentes sur F?
Exercice 4 On consid`ere l’espace l1muni de la norme N1habituelle. On se fixe une suite born´ee pαnqnPNPRN.
On consid`ere N:$
&
%
l1ÑR`
u“ punqnPNÞÑ Npuq “ ÿ
nPN
|αnun|.
1. V´erifier que Nest bien d´efinie. ` A quelle condition (CNS) sur pαnqnPNest-ce une norme sur l1?
2. Dans ce cas, cette norme est-elle ´equivalence `a N1?
Exercice 5 On note E“ tpunqnPNPRN,suite born´eeuet on consid`ere la norme d´efinie sur Epar N8pvq “ sup
nPN
|un|.
Soit α“ pαnqnPNPRNtel que ÿ|αn|converge (c’est-`a-dire αPl1).
On consid`ere N:$
&
%
EÑR`
u“ punqnPNÞÑ Npuq “ ÿ
nPN
|αnun|.
1. V´erifier que Nest bien d´efinie. ` A quelle condition (CNS) sur pαnqnPNest-ce une norme sur E?
2. Dans ce cas, cette norme est-elle ´equivalence `a N8?
Exercice 6 (Mines/Centrale) Soit E“C1pra, bsq,Rq. On d´efinit pour fPE,N1pfq“|fpaq| ` }f1}8et N2pfq “
}f}8` }f1}8
1. Justifier que N1et N2sont des normes sur E.
2. Sont-elles ´equivalentes entre elles ? Sont-elles ´equivalentes `a }.}8?
Distance `a une partie
Exercice 7 (CCP) Soit AĂE, avec Eun espace vectoriel norm´e. Montrer que pour tout xPE, on a : pxPAô
dpx, Aq “ 0.
Exercice 8 (Centrale) Soit Eun espace venctoriel norm´e. Soient Kun compact et Fun ferm´e de E.
1. Montrer que pour tout aPE, la distance dpa, Kqest atteinte.
2. * Montrer (avec un contre-exemple) que la distance dpa, F q(avec Fferm´e) n’est elle pas toujours atteinte.
3. On suppose que KXF“ H. Montrer que dpK, F q ą 0.
4. Donner l’exemple de deux ferm´es disjoints (par exemple dans R2)F1et F2tels que dpF1, F2q “ 0.
5. Si K2est compact, montrer que dpK, K2qest atteinte (Dpa, bq P KˆF, dpK, F q “ dpa, bq).
6. On suppose que Eest un espace vectoriel norm´e de dimension finie. Expliquer que dans ce cas, la distance entre
un compact et un ferm´e est atteinte.
1

7. En d´eduire que dans un espace vectoriel norm´e quelconque, la distance d’un point `a tout sous-espace de dimension
finie Fest atteinte.
Topologie sur les espaces de matrices
Exercice 9 (Mines) On note E“MnpCq. Soit pďn. Soient Sp“ tMPE, rgpMq ě pu,Ip“ tMPE, rgpMq ď pu,
et Ap“ tMPE, rgpMq “ pu.
1. Montrer que Spest ouvert, et Ipest ferm´e dans E.
2. Montrer que Apn’est ni ouvert, ni ferm´e mais que Ap“Ip(que retrouve-t-on dans le cas p“n?).
Exercice 10 (Mines/Centrale) Soit ně2.
1. Montrer qu’une norme Nsur E“MnpCqne peut pas v´erifier : p@pA, Bq P E2, NpABq “ NpBAqq.
2. Soit N:EÑR`telle que $
’
&
’
%
@pα, Aq P RˆE, N pαAq“|α|NpAq
@pA, Bq P E2, N pA`Bq ď NpAq ` NpBq
@pA, Bq P E2, N pABq “ NpBAq
.
(a) Montrer que AÑ |TrpAq| v´erifie ces propri´et´es.
(b) Montrer que @BPE, pNpBq “ 0q ñ p@APE, NpA`Bq “ NpAqq.
(c) En d´eduire toutes les Npossibles. (On pourra montrer que (@i‰j,NpEi,j q “ 0) puis que (@APE,
TrpAq “ 0ñNpAq “ 0.)
3. Montrer qu’il n’existe pas de norme sur Etelle que
@pA, P q P EˆGlnpCq, NpP AP ´1q “ NpAq(1)
On pourra exhiber une matrice Asemblable `a 2A.
4. Soit Nune semi-norme (toutes les conditions d’une norme sauf la s´eparabilit´e) v´erifiant (1). Montrer que Nest
lipschitzienne, puis que (@pA, Bq P E2, NpABq “ NpBAq). En d´eduire toutes les semi-normes v´erifiant cette
condition.
5. Soit Nune norme sur E. Montrer qu’il existe un unique plus petit k0ą0 tel que pour tout pA, Bq P E2,
NpABq ď k0NpAqNpBq. D´eterminer k0dans le cas o`u NpAq “ ÿ
i,j
|ai,j |et dans le cas o`u NpAq “ max
i,j |ai,j |.
Exercice 11 (CCEM) Soit P“ ppij qune matrice carr´ee d’ordre ně2, stochastique, c’est-`a-dire telle que pij ě0 et
n
ÿ
i“1
pij “1,@jP rr1, nss.
Pour vҬ
˚
˝
v1
.
.
.
vn
˛
‹
‚PRn, on pose |v| “ ¨
˚
˝
|v1|
.
.
.
|vn|
˛
‹
‚et }v}1“
n
ÿ
k“1
|vk|.
1. Montrer que } }1est une norme sur Rn.
2. Montrer que 1 est valeur propre de P.
3. On note N1la norme sur MnpRqsubordonn´ee `a } }1; montrer que N1pPq “ 1.
4. Soit λune valeur propre de P, ´eventuellement complexe, telle que |λ| “ 1, soit Vun vecteur propre associ´e ;
montrer que P|V|“|V|.
Exercice 12 (Centrale)
1. Justifier que, si Eest euclidien, pour tout xPE, pour tout rą0, la boule ferm´ee Bfpx, rqest compacte. Si on
fixe xPE,rą0 et fPLpEqque peut-on dire de fpBfpx, rqq ?
2. Soient xPEet 0 ără }x}; on note K“Bfpx, rq, et on suppose que fpKq Ă K. On fixe aPK.
Pour tout nPN, on pose yn“1
n
n
ÿ
k“0
fkpaq; justifier que pynq P KN, et que fpynq ´ yntend vers 0.
3. Montrer qu’il existe wPK, fpwq “ w.
4. Montrer que 1 PSppfqet que Sppfq Ă r´1,1s.
5. ` A l’aide d’un exemple choisi en dimension 3, montrer que fn’est pas n´ecessairement diagonalisable.
Exercice 13 (Centrale) Soit APMnpCqtelle que pAkqkPNsoit born´ee. Pour tout pPN˚, on pose Bp“1
p
p´1
ÿ
k“0
Ak.
1. Montrer que la suite pBpqpadmet au moins une valeur d’adh´erence C. Puis montrer que AC “C.
2

2. Montrer que C2“Cpuis que ker C“ImpA´Inqet ImC“kerpA´Inq(en identifiant les matrices aux
endomorphismes de Cncanoniquement associ´es).
3. Montrer que la suite pBpqpconverge.
Exercice 14 (Mines) On admet le r´esulat suivant : si punqnPNest une suite positive telle que pour tout pk, lq P N2,
uk`lďukulalors la suite ´u
1
n
n¯est convergente. On munit E“MnpCqd’une norme d’op´erateur.
1. Montrer que pour tout APE, la suite ´}Ak}1
k¯kPN˚converge. On notera ρpAqsa limite.
2. Montrer que pour toute norme Nde E´NpAkq1
k¯kPN˚converge ´egalement vers ρpAq.
3. Montrer que : @pA, Bq P E2, ρpABq “ ρpBAq.
4. On suppose Adiagonalisable. Montrer que ρpAq “ max
λPSppAq|λ|.
5. On suppose Adiagonalisable. Montrer l’´equivalence entre :
— lim
kÑ8 Ak“0
—@XPMn,1pCq, lim
kÑ8 AkX“0
—ρpAq ă 1.
Exercice 15 (Centrale) Montrer que dans MnpCql’ensemble des matrices diagonalisables est dense. Montrer que
MnpRql’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l’ensemble des matrices trigonalisables.
Exercice 16 (Centrale) Soit APMnpCq. Montrer que la suite pApqpPNest born´ee si et seulement si toutes les valeurs
propres de Asont de module inf´erieur ou ´egal `a 1, et pour les valeurs propres de module 1 la dimension du sous-espace
propre associ´e est ´egale `a la mltiplicit´e de la valeur propre.
Topologie sur les espaces de suites
Exercice 17 ENTPE-EIVP On note Ele R-espace vectoriel des suites r´eelles born´ees ; l’ensemble Fdes suites nulles
`a partir d’un certain rang est-il un ouvert de E? Un ferm´e ?
Exercice 18
1. Montrer que l’ensemble D“"k
2n, n PN, k P rr0,2nss*est dense dans r0,1s.
2. Soit fune fonction continue sur un intervalle I. Prouver que fest convexe sur Isi et seulement si pour tout
px, yq P I,fˆx`y
2˙ď1 2pfpxq ` fpyqq .
Exercice 19 (Mines) On consid`ere l1muni de la norme N1. Soit F“ txPl1,@nPN, xně0u.Montrer que Fest un
ferm´e d’int´erieur vide.
Exercice 20 (Mines) Soit E“C0pr0,1s,Rq, et soit F“ tfPE, f p0q “ fp1q “ 0u. D´eterminer l’adh´erence et
l’int´erieur de Fpour la norme }}8puis pour la norme }}1.
Exercice 21 (Centrale) On note E“ tpunqnPNPRN,suite born´eeuet on consid`ere la norme d´efinie sur Epar
N8pvq “ sup
nPN
|un|. On note E0“ tpunqnPNPRN,lim
nÑ8 un“0uet G0“ tu“ punqnPNPRN, u stationne en 0u.
1. Montrer que E0est un sous-espace vectoriel de Eet que pour tout pPN,ep“ pδp,nqnPNappartient `a E0.
2. On note G“V ecttep, p PNu. Montrer que G“G0.
3. Gest-il ferm´e ? D´eterminer son adh´erence.
Applications lin´eaires continues
Exercice 22 (CCP) Soit E“C0pr0,1s,Rqmunie de la norme usuelle N8. On consid`ere l’application φ:$
&
%
EÑR
fÞÑ ż1
0
fptqdt.
Montrer que φest une application lin´eaire continue.
Exercice 23 (CCP/TPE) Soit φ:#RrXs Ñ R
PÞÑ Pp0q. Trouver une norme sur RrXspour laquelle φest continue, puis
trouver une autre norme pour laquelle φn’est pas continue.
3

Exercice 24 (CCP) Soit pE, }}q un espace vectoriel norm´e. On note Ble sous-espace vectoriel de ENform´e de suites
born´ees d’´el´ements de E. On munit Bde la norme suivante :
@u“ punqnPN,~u~ “ sup
nPN
}un}.
On consid`ere φ:#BÑB
x“ pxnqnPNÞÑ pxn`1´xnqnPN
. Montrer que φest un endormorphisme continu de E.
Connexit´e par arcs
Exercice 25 Soit Eun espace vectoriel norm´e de dimension finie ně2. Si Hest un hyperplan EzHest-il connexe
par arcs ? Si Fest un sous-espace vectoriel de dimension inf´erieure ou ´egale `a n´2, EzFest-il connexe par arcs ?
Exercice 26 Montrer que l’ensemble des matrices de MnpRqdiagonalisables est connexe par arcs.
Divers
Exercice 27 (notamment Centrale)
1. Montrer que si pKnqnPNest une suite d´ecroissante de compacts non vides alors č
nPN
Fnest un compact non vide.
2. E“C0pr0,1s,Rqmuni de la norme infinie. Soit D“ prnqnPNune partie d´enombrable dense de r0,1s. On consid`ere
Fn“"fPE, }f}8ď2,@kP rr0, nss, fprkq “ 0,et ż1
0
fptqdt“1*. Montrer que les Fnsont des ferm´es born´es
convexes emboˆıt´es non vides. D´eterminer č
nPN
Fn.
Exercice 28 Centrale-Sup´elec
1. Montrer que toute fonction gcontinue sur une boule Bferm´ee d’un espace vectoriel norm´e de dimension finie, `a
valeurs dans R, atteint un minimum.
2. Soit fde Bdans B, telle que @px, yq P B2,}fpxq ´ fpyq} ă }x´y}; montrer que fadmet un unique point fixe.
3. Que peut-on dire si l’on suppose f1-lipschitzienne ?
Exercice 29 Soit pK, dqun compact. On consid`ere fPC0pK, Kqtel que :
@px, yq P K2, x ‰yñdpfpxq, f pyqq ă dpx, yq.
Montrer que fadmet un unique point fixe dans K.
Exercice 30 (Mines-Centrale) Soit Kun compact d’un espace vectoriel norm´e. Soit fune application continue de K
dans Ktelle que pour tout px, yq P K2,}fpxq ´ fpyq} ě }x´y}. Montrer que fest un hom´eomorphisme. Puis montrer
que fest une isom´etrie.
4