DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2 EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUM´ EGRALE

DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2 Pour Jeudi 24 Mars 2016
EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUM´ ERIQUE D’INT´ EGRALE
L’objectif de cet exercice est de programmer `a l’aide du logiciel Python les m´ethodes approximations
num´eriques des int´egrales vues en cours pour en d´eduire des valeurs approch´ees de nombres irrationnels.
Les fichiers Python sont `a envoyer `a l’adresse mail [email protected].
Les r´eponses ´ecrites sont `a r´ediger sur cette feuille.
1. Python Soit f:t1
1td´efinie sur Ret remarquons que
1
0
f t dtln 2.
´
Ecrire une proc´edure Python d´efinissant la fonction f.
2. (a) Python ´ Ecrire une proc´edure Python Sn a, b, f, n prenant en entr´ee un entier n, des bornes a
et bd’un intervalle et une fonction fet envoyant la somme de Riemann :
Sn
b a
n
n1
k0
f a k b a
n
(b) Rappeler la limite quand ntend vers de Snen donnant les hypoth`eses sur f.
.............................................................................................
(c) Python Ex´ecuter Sn a, b, f, n avec n100 pour obtenir une valeur approch´ee de ln 2.
(d) Donner un majorant de l’erreur commise en ´ecrivant ln 2 Snsi fest C1(cf d´emo du cours) et
v´erifier que `a l’aide de Python que votre erreur obtenue est inf´erieure `a cette valeur th´eorique.
.............................................................................................
.............................................................................................
(e) En d´eduire pour quelle valeur de n,Sn a, b, f, n fourni une valeur approch´ee de ln 2 `a 10 6pr`es.
Python Calculer cette valeur.
.............................................................................................
.............................................................................................
3. Rappeler l’aire d’un trap`eze.
.............................................................................................
Python ´ Ecrire une proc´edure T n a, b, f, n prenant en entr´ee un entier n, des bornes aet bd’un
intervalle et une fonction fet renvoyant la somme des aires obtenues par la m´ethode des trap`ezes.
Reprendre les questions du 2. avec cette nouvelle proc´edure.
(b) .............................................................................................
(d) .............................................................................................
.............................................................................................
(e) .............................................................................................
.............................................................................................
Remarque : En prouvant que
1
0
1t2dtπ
4on pourrait obtenir une valeur approch´ee de π...
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DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2 Pour Jeudi 24 Mars 2016
PROBL` EME - ´ Etude d’une suite r´ecurrente
Le but du probl`eme est d’´etudier la suite und´efinie par u00 et pour tout nN,
un1
n
k0
uk.
Partie I - Limite de la suite un
L’objectif de cette partie est de d´eterminer la limite de la suite un.
1. Montrer par r´ecurrence que un0 pour tout entier nN.
2. Montrer que u2
n1u2
nunpour tout nN.
3. Soit f: 0,Rd´efinie par f x x2x.
(a) Montrer que f x x x 0.
(b) Montrer que f x x pour tout x0.
4. En d´eduire le sens de variation de la suite un.
5. Conclure que lim
nun.
Partie II - Une s´erie d’´equivalents
L’objectif de cette partie est de donner plusieurs ´equivalentes de suites d´efinies `a l’aide de la suite un.
Les r´esultats obtenus seront employ´ees dans la derni`ere partie.
6. Prouver que lim
n11
un
1.
7. En d´eduire que un1un.
8. Prouver que 1 1
un
11
2un
.
9. En d´eduire lim
nun1un. Au passage quel ´equivalent de un1unobtient-on ?
Partie III - Un ´equivalent simple de la suite un
Soit vnla suite de terme g´en´eral vnun1unet Snde terme g´en´eral Sn
n1
k0
vkd´efinie pour nN.
10. Soit ε0 fix´e.
(a) A l’aide de la question 9., montrer qu’il existe nεNtel que pour tout entier k nε:
vk
1
2
ε
4
(b) En d´eduire que pour tout entier n nε:
Sn
n
2
nε1
k0
vk
1
2n nε
ε
4
Indication : Utiliser l’in´egalit´e triangulaire.
(c) Montrer qu’il existe un entier nεnεtel que pour tout entier n nε,
nε1
k0
vk
1
2
n
ε
4
Indication : Remarquer qu’il s’agit d’´ecrire qu’une suite converge vers 0.
(d) En d´eduire que pour tout entier n nε,
Sn
n
2εn 2.
11. D´eterminer `a l’aide de la question pr´ec´edente un ´equivalent simple de Sn.
12. En d´eduire un ´equivalent simple de un.
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