DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2 EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUM´ EGRALE

DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2
Pour Jeudi 24 Mars 2016
EXERCICE 1 - APPROXIMATION NUMÉRIQUE D’INTÉGRALE
L’objectif de cet exercice est de programmer à l’aide du logiciel Python les méthodes approximations
numériques des intégrales vues en cours pour en déduire des valeurs approchées de nombres irrationnels.
Les fichiers Python sont à envoyer à l’adresse mail [email protected].
Les réponses écrites sont à rédiger sur cette feuille.
1. rPythons Soit f : t ÞÑ
»1
f ptq dt ln 2.
1 t
0
Écrire une procédure Python définissant la fonction f .
2. (a) rPythons Écrire une procédure Python Snpa, b, f, nq prenant en entrée un entier n, des bornes a
et b d’un intervalle et une fonction f et envoyant la somme de Riemann :
1
définie sur R et remarquons que
Sn
ba
n
(b) Rappeler la limite quand n tend vers
¸
n 1
k 0
f
a
ba
k
n
8 de Sn en donnant les hypothèses sur f .
.............................................................................................
(c) rPythons Exécuter Snpa, b, f, nq avec n 100 pour obtenir une valeur approchée de ln 2.
(d) Donner un majorant de l’erreur commise en écrivant ln 2 Sn si f est C 1 (cf démo du cours) et
vérifier que à l’aide de Python que votre erreur obtenue est inférieure à cette valeur théorique.
.............................................................................................
.............................................................................................
(e) En déduire pour quelle valeur de n, Snpa, b, f, nq fourni une valeur approchée de ln 2 à 106 près.
rPythons Calculer cette valeur.
.............................................................................................
.............................................................................................
3. Rappeler l’aire d’un trapèze.
.............................................................................................
rPythons Écrire une procédure T npa, b, f, nq prenant en entrée un entier n, des bornes a et b d’un
intervalle et une fonction f et renvoyant la somme des aires obtenues par la méthode des trapèzes.
Reprendre les questions du 2. avec cette nouvelle procédure.
(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................
(e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................
Remarque : En prouvant que
»1a
0
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
1 t2 dt π
on pourrait obtenir une valeur approchée de π...
4
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DEVOIR MAISON n˚10 - Partie 2
Pour Jeudi 24 Mars 2016
PROBLÈME - Étude d’une suite récurrente
Le but du problème est d’étudier la suite pun q définie par u0
un
g
f
f
e
1 ¡ 0 et pour tout n P N,
ņ
uk .
k 0
Partie I - Limite de la suite pun q
L’objectif de cette partie est de déterminer la limite de la suite pun q.
1. Montrer par récurrence que un ¡ 0 pour tout entier n P N.
2. Montrer que u2n 1 u2n un pour tout n P N .
?
3. Soit f : r0, 8rÑ R définie par f pxq x2 x.
(a) Montrer que f pxq x ô x 0.
(b) Montrer que f pxq ¡ x pour tout x ¡ 0.
4. En déduire le sens de variation de la suite pun q.
5. Conclure que lim un 8.
Ñ 8
n
Partie II - Une série d’équivalents
L’objectif de cette partie est de donner plusieurs équivalentes de suites définies à l’aide de la suite pun q.
Les résultats obtenus seront employées dans la dernière partie.
c
1
6. Prouver que lim
1
1.
nÑ 8
un
7. En déduire que un 1 un .
c
1
8. Prouver que 1
1 2u1 .
un
n
9. En déduire lim pun 1 un q. Au passage quel équivalent de un 1 un obtient-on ?
Ñ 8
n
Partie III - Un équivalent simple de la suite pun q
Soit pvn q la suite de terme général vn
un 1 un et pSnq de terme général Sn vk définie pour n P N .
k 0
10. Soit ε ¡ 0 fixé.
(a) A l’aide de la question 9., montrer qu’il existe nε
(b) En déduire que pour tout entier n ¥ nε :
¸
n 1
P N tel que pour tout entier k ¥ nε :
vk 1 ¤ ε
2
4
n¸1
|vk 12 | pn nεq 4ε
Sn n2 ¤
ε
k 0
Indication : Utiliser l’inégalité triangulaire.
(c) Montrer qu’il existe un entier n1ε ¥ nε tel que pour tout entier n ¥ n1ε ,
¸
nε 1
k 0
|vk 12 |
¤ 4ε
n
Indication : Remarquer qu’il s’agit d’écrire qu’une suite converge vers 0.
(d) En déduire que pour tout entier n ¥ n1ε ,
|Sn n2 | ¤ ε n2 .
11. Déterminer à l’aide de la question précédente un équivalent simple de Sn .
12. En déduire un équivalent simple de un .
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