Fonctions

Fonctions
Exercice 1
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Calculer la d´eriv´ee des fonctions fsuivantes d´efinies sur R:
fx2x12
fx3x13
fx x222
1. En d´eveloppant f x .
2. En utilisant le th´eor`eme de la d´eriv´ee des fonctions compos´ees.
Exercice 2
Calculs de d´eriv´ees
Calculer la d´eriv´ee de la fonction fen pr´ecisant son ensemble de d´efinition et celui de sa d´eriv´ee.
fx2x2x13
fx5x22x23x12
fx x x 1x2x3
f x 1
x2
fx1
x
3
x3
f x 2x3x4
x2
Exercice 3
D´eriv´ees successives
Calculer les d´eriv´ees d’ordre 1 `a n , n N, de fsur l’intervalle I en utilisant ´eventuellement un raisonnement
par r´ecurrence.
f x x46x25 I = R
f x 1
x2I = ]2 ; + [
f x cos 3xI = R
Exercice 4
Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire une ´equation de la tangente au point A d’abscisse a de la
repr´esentation graphique de la fonction f.
f x 3x25x1 pour a = -1, a = 2 et a = 3
f x x 11
x2pour a = -4, a = 1 et a = 2
f x tan xpour a = 0, a = π
6et a = π 4
Exercice 5
Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, ´ecrire des ´equations des asymptotes parall`eles aux axes.
fx2x1
x
fx5x22x1
x24
fx3x1
x2
fx2x1
x23x2
f x x2x3
x2x1
f x 2x33x
x3x2
1
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Exercice 6
Limites
Calculer les limites suivantes en justifiant les r´esultats.
lim
x2x2x3
lim
x2x2x3
lim
xπ
2
tan x2
lim
x0cos x
lim
xx x31
Exercice 7
P´eriodicit´e
Trouver la p´eriode de chacune des fonctions suivantes :
f x cos xπ
6
f x sin x
3
fxsin x
2cos x
f x tan 2πx
Exercice 8
Sym´etries
Un rep`ere orthogonal du plan est donn´e.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite Dest axe de sym´etrie de la repr´esentation graphique de
f.
f x x22x5D:x1
f x x22x2
2x24x3D:x1
f x cos4x2 cos2xD:xπ
2
Exercice 9
Equations trigonom´etriques
Dans chaque ´equation, l’inconnue xest une mesure d’angle en radians.
R´esoudre ces ´equations dans Ret repr´esenter leurs solutions par des points du cercle trigonom´etrique.
cos x1
2
2 cos xπ
61
sin x2
2
2 sin 3xπ
43
cos 2xcos 3x
cos xsin 2x
Exercice 10
In´equations trigonom´etriques
R´esoudre chacune des in´equations suivantes dans l’intervalle 0; 2π.
La r´esolution sera fond´ee sur l’observation du cercle trigonom´etrique.
sin x1
2
2 cos x2 0
cos x3
2
sin xcos x0
2
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Correction
Exercice 1
f x 2x121. Pour tout xr´eel, on a :
f x 2x24x1
fx4x24x1
fest d´erivable sur R, et pour tout xr´eel, on a : fx8x4
2. fest la compos´ee de la fonction g d´efinie sur Rpar g x 2x1 et de la fonction carr´ee h d´efinie sur
Rpar hx x2.
On a alors pour tout xr´eel : fx h g x .
Or, f x g x h g x .
Pour tout xr´eel, gx2 et h x 2x
Donc : pour tout xr´eel, f x 2 2 2x1 4 2x1 8x4
f x 3x131. Pour tout xr´eel, on a : f x 27x327x29x1
fest d´erivable sur R, et pour tout xr´eel, on a :
fx27 3x227 2x9
fx81x254x9
2. fest la compos´ee de la fonction g d´efinie sur Rpar g(x) = 3x- 1 et de la fonction cube h d´efinie sur R
par h(x) = x3.
On a alors pour tout xr´eel : fx h g x .
Or, fx g x h g x .
Pour tout xr´eel, gx3 et h x 3x2
Donc : pour tout xr´eel, fx3 3 3x129 3x12
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))
f x x2221. Pour tout xr´eel, on a : f x x44x24
fest d´erivable sur R, et pour tout xr´eel, on a :
fx4x34 2x
fx4x38x
2. fest la compos´ee de la fonction g d´efinie sur Rpar g(x) = -x2+ 2 et de la fonction carr´e h d´efinie Rpar
h(x) = x2.
On a alors pour tout xr´eel : f x h g x .
Or, fx g x h g x .
Pour tout xr´eel, g x 2xet h x 2x
Donc : pour tout xr´eel, f x 2x2x22 4x x22
(en d´eveloppant on retrouve l’expression obtenue au (1))
Exercice 2
Remarque : il est pr´ef´erable d’´ecrire l’expression de la d´eriv´ee de f sous forme factoris´ee (il est alors plus
simple d’´etudier son signe par la suite).
f x 2x2x13fest d´efinie sur Ret d´erivable sur R.
Pour tout r´eel x, on a : fx3 4x1 2x2x12.
f x 5x22x23x12fest d´efinie sur Ret d´erivable sur R.
fest le produit de deux fonctions u et v d´efinies sur Rpar u(x) = (5x- 2)2et v(x) = (x2+ 3x - 1)2.
Or, f’ = u’v + uv’ avec, pour tout r´eel x, u’(x) = 10(5x- 2) et v’(x) = 2(2x+ 3)(x2+ 3x- 1).
Pour tout r´eel x, on a alors :
f’(x) = 10(5x- 2)(x2+ 3x- 1)2+ (5x- 2)22(2x+3)(x2+ 3x- 1)
f’(x) = 2(5x- 2)(x2+ 3x- 1)[5(x2+ 3x- 1) + (2x+ 3)(5x- 2)]
f’(x) = 2(5x- 2)(x2+ 3x- 1)(5x2+ 15x- 5 + 10x2- 4x+ 15x- 6)
f’(x) = 2(5x- 2)(x2+ 3x- 1)(15x2+ 26x- 11)
f x x x 1x2x3fest d´efinie sur Ret d´erivable sur R.
D´eveloppons f: pour tout r´eel x, on a fx x46x311x26x.
On a alors pout tout r´eel x,fx4x318x222x6.
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f x 1
x2fest d´efinie sur R{0 et d´erivable sur R*.
fest la compos´ee de la fonction carr´ee et de la fonction inverse. Donc, pour tout r´eel x, on a :
fx2x1
x4
fx2
x3
f x 1
x
3
x3fest d´efinie et d´erivable sur R*, et pour tout r´eel x, on a :
fx1
x23 3x21 x6
fx1
x2
9
x4
fxx29
x4
fxx3x3
x4
(Cette derni`ere expression sera utilis´ee pour ´etudier le sens de variations de la fonction f).
f x 2x3x4
x2fest d´efinie et d´erivable sur *et pour tout r´eel x, on a :
fx2 3x214 2x
x4
fx6x218
x3
Exercice 3
f(x) = x4- 6x2+ 5fest d´efinie et d´erivable sur Ret on a pour tout r´eel x:f’(x) = 4x3- 12x.
f’ est d´erivable sur Ret pour tout r´eel x, on a : f”(x) = 12x2- 12.
f” est d´erivable sur Ret pour tout r´eel x, on a : f”’(x) = 24x.
f”’ est d´erivable sur Ret pour tout r´eel x, on a : f(4)(x) = 24.
Pour tout n 5, f(n)(x) = 0.
f x 1
x2I = ]2 ; + [. fest d´erivable sur I et pour tout r´eel x, on a :
f x 1
x22, d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
fx1 2 x2
x24.
Montrons par r´ecurrence que pour tout entier naturel n, on a ”fnx1nn!
x2n1”.
La proposition est initialis´ee (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
Suppsons la proposition vraie au rang k : fkx1kk!
x2k1.
La fonction f(k) est d´erivable sur I, et pour tout r´eel x, on a :
fkx f k1x1kk!1k1
x2k2.
Soit fk1x1k1k1 !
x2k2.
La proposition est donc h´er´editaire. On a donc :
pour tout entier naturel n, fnx1nn!
x2n1.
f x cos 3x
fest d´erivable sur R, comme compos´ee des fonctions get hd´efinies sur Rpar g x 3xet h x cos x.
Pour tout r´eel x, on a :
fx3 sin 3x3 cos 3xπ
2
f x 3 3 sin 3xπ
232cos 3x2π 2
f x 323 sin 3x2π
233cos 3x3π 2
On montrera par r´ecurrence que : fnx3ncos 3xnπ
2
4
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Exercice 4
Rappel :
La tangente en x a de la fonction fa pour ´equation : y f a x a f a .
f(x) = 3x2- 5x+ 1fest d´efinie et d´erivable sur R, et pour tout r´eel x, on a : f’(x) = 6x- 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f’(-1) = 6 (-1) - 5 = -11 et f(-1) = 3 (-1)2- 5 (-1) + 1 = 9
Une ´equation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2
Equation de la tangente en a = 2 :
f’(2) = 6 2 - 5 = 7 et f(2) = 3 22- 5 2 + 1 = 3
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11
Equation de la tangente en a = 3 :
f’(3) = 6 3 - 5 = 13 et f(3) = 3 32- 5 3 + 1 = 13
Une ´equation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
f x x 11
x2fest d´efinie et d´erivable sur R{2, et pour tout r´eel xde R{2, on a : fx11
x22.
Equation de la tangente en a = -4 :
f’(-4) = 1 1
4 2 2
3
4et f(-4) = 4 1 1
4 2
11
2
Une ´equation de la tangente en a = -4 est y = 3
4x411
2
3
4x5
2
Equation de la tangente en a = 1 :
f’(1) = 1 1
1 2 2
8
9et f(1) = 1 11
1 2
1
3
Une ´equation de la tangente en a = 1 est y = 8
9x11
3
8
9x5
9
Equation de la tangente en a = 2 :
f’(2) = 1 1
2 2 2
15
16 et f(2) = 2 11
2 2
5
4
Une ´equation de la tangente en a = 2 est y = 15
16 x25
4
15
16 x5
8
f x tan x f est d´efinie et d´erivable sur 0; π
2et pour tout r´eel xde cet intervalle, on a : f x
1 tan2x
Equation de la tangente en a = 0 :
f0 = 1 + tan20 = 1 et f0 = tan 0 = 0
Une ´equation de la tangente en a = 0 est y = 1 (x- 0) + 0 = x
Equation de la tangente en a = π
6:
fπ
61 tan2π
613
3
2
4
3et fπ
6tan π
6
3
3
Une ´equation de la tangente en a = π
6est y = 4
3xπ
6
3
3
4
3x3 3 2π
9
Equation de la tangente en a = π
4:
fπ
41 tan2π
42 et fπ
4tan π
41
Une ´equation de la tangente en a = π
4est y = 2 xπ
41 2x2π
2
Exercice 5
5
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