Fonctions : Généralités

Fonctions : G´en´eralit´es
I. D´efinition
Soit D, un ensemble de nombres r´eels.
D´efinir une fonction fsur l’ensemble Df, c’est associer `a chaque r´eel xde Dfun unique r´eel y.
On note :
f:DfR
x y f x
Dfest l’ensemble de d´efinition de la fonction f
xest un ant´ec´edent de ypar la fonction f
y f x est l’image de xpar la fonction f
Remarque : xest une variable qu’on peut remplacer par une autre lettre : tf t
Attention :f x est un nombre, alors que fest une fonction (une boˆıte noire).
Exemples :
On note la temp´erature d’une ville entre 8h et 20h. A chaque instant tcompris entre [8 ; 20], on associe la
temp´erature mesur´ee f(t).
Ainsi s’il fait 10˚C `a 9h, on note : f9 10.
L’ensemble de d´efinition de fest [8 ; 20].
Soit g la fonction d´efinie sur [-4 ; 7] par : g x 3x22x1
L’ensemble de d´efinition de g est [-4 ; 7].
On associe le nombre -2 `a 3 (-2)2+ 2 (-2) - 1 = 7.
Ceci se note : g(-2) = 7.
Soit h la fonction d´efinie par : x1
x3.
h61
3.
L’image de 3 par h n’existe pas.
L’ensemble de d´efinition de h est R3 .
II. Repr´esentation graphique
D´efinition :
Dans un plan muni d’un rep`ere, la courbe repr´esentative de la fonction fest l’ensemble des points
Mx;ytel que :
L’abscisse xappartient `a l’ensemble de d´efinition de f;
L’ordonn´ee yest l’image de xpar f:y f x .
Exemple : soit fla fonction d´efinie sur Rpar f x x 225.
Table de valeurs :
x-1 0 1 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 4
f x x 225 4 -1 -4 -4,75 -4,94 -5 -4,94 -4,75 -4 -1
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R´esolution graphique (unit´e le centim`etre) :
R´esoudre : f x 1,25
R´esolution graphique :
S = -0.5 ; 4.5
R´esolution alg´ebrique :
Supposons qu’il existe un r´eel xv´erifiant fx5
4
D’o`u : x2255
4
x2225
4
x2225
40
x25
2x25 20
x9
2ou x1 2
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V´erification : f9
2
5
4et f1 2
5
4.
S = 1
2;9 2.
R´esoudre fx1,25 graphiquement revient `a :
D’o`u : S = ]-0.5 ; 4.5[
R´esoudre : fx6
R´esolution graphique :
S =
R´esolution alg´ebrique :
Supposons qu’il existe un r´eel xv´erifiant fx6
D’o`u : x225 6
x221 Un carr´e est toujours positif, ainsi il y a contradiction.
S =
III. Variation d’une fonction
1. Fonctions croissantes
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D´efinition :
On dit qu’une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b I, on a : a b f a f b .
Remarque : l’ordre est conserv´e.
Repr´esentation graphique :
Exemple :
La fonction fd´efinie par :f x x 225 est croissante sur l’intervalle [2 ; 4] (voire sur [2 ; + [).
2. Fonctions d´ecroissantes
D´efinition :
On dit qu’une fonction est d´ecroissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b I, on a : a b f a f b .
Remarque : l’ordre est invers´e.
Repr´esentation graphique :
Exemple :
La fonction fd´efinie par : f x x 225 est d´ecroissante sur l’intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]- ; 2]).
3. Tableau de variation
Le sens de variation d’une fonction fest r´esum´e par un tableau.
Exemple : Le tableau de variation de la fonction fd´efinie par : f x x 225 est :
x2
f x &5%
4. Extr´emum
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D´efinition :
Soit fune fonction d´efinie sur Dfet un r´eel aDf.
f a est le maximum M de la fonction fsur Dfsi pour tout xde Df, on a : f x f a .
faest le minimum m de la fonction fsur Dfsi pour tout xde Df, on a : f x f a .
Exemple : la fonction fd´efinie par : f x x 225 a pour minimum -5. Il est atteint en 2.
Sur l’intervalle [-6 ; -3], fa pour maximum 59 atteint en -6.
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