Fonctions : Généralités

Fonctions : Généralités
I. Définition
Soit D, un ensemble de nombres réels.
Définir une fonction f sur l’ensemble Df , c’est associer à chaque réel x de Df un unique réel y.
On note :
R
f : Df Ñ
x ÞÑ y f pxq
Df est l’ensemble de définition de la fonction f
x est un antécédent de y par la fonction f
y f pxq est l’image de x par la fonction f
Remarque : x est une variable qu’on peut remplacer par une autre lettre : t ÞÑ f ptq
Attention : f pxq est un nombre, alors que f est une fonction (une boı̂te noire).
Exemples :
On note la température d’une ville entre 8h et 20h. A chaque instant t compris entre [8 ; 20], on associe la
température mesurée f(t).
Ainsi s’il fait 10˚C à 9h, on note : f p9q 10.
L’ensemble de définition de f est [8 ; 20].
Soit g la fonction définie sur [-4 ; 7] par : gpxq 3x2 2x 1
L’ensemble de définition de g est [-4 ; 7].
On associe le nombre -2 à 3 (-2)2 + 2 (-2) - 1 = 7.
Ceci se note : g(-2) = 7.
Soit h la fonction définie par : x ÞÑ x 1 3 .
1
hp6q .
3
L’image de 3 par h n’existe pas.
L’ensemble de définition de h est Rzt3u.
II. Représentation graphique
Définition :
Dans un plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points
Mpx ; y q tel que :
L’abscisse x appartient à l’ensemble de définition de f ;
L’ordonnée y est l’image de x par f : y f pxq.
Exemple : soit f la fonction définie sur R par f pxq px 2q2 5.
Table de valeurs :
x
-1 0 1 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 4
f pxq px 2q2 5 4 -1 -4 -4,75 -4,94 -5 -4,94 -4,75 -4 -1
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Résolution graphique (unité le centimètre) :
Résoudre : f pxq 1, 25
Résolution graphique :
S = -0.5 ; 4.5
Résolution algébrique :
5
Supposons qu’il existe un réel x vérifiant f pxq 4
5
2
D’où : px 2q 5 4
ñ px 2q2 254
ñ px 2q2 254 0
5
5
ñ x2 2 x2 2 0
ñ x 92 ou x 12
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2
Vérification : f
S=
t 12 ; 92 u.
9
2
5
et f
4
12
54 .
Résoudre f pxq 1, 25 graphiquement revient à :
D’où : S = ]-0.5 ; 4.5[
Résoudre : f pxq 6
Résolution graphique :
S=H
Résolution algébrique :
Supposons qu’il existe un réel x vérifiant f pxq 6
D’où : px 2q2 5 6
ñ px 2q2 1 Un carré est toujours positif, ainsi il y a contradiction.
S=H
III. Variation d’une fonction
1. Fonctions croissantes
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3
Définition :
On dit qu’une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b P I, on a : a ¤ b ñ f paq ¤ f pbq.
Remarque : l’ordre est conservé.
Représentation graphique :
Exemple :
La fonction f définie par :f pxq px 2q2 5 est croissante sur l’intervalle [2 ; 4] (voire sur [2 ; +8[).
2. Fonctions décroissantes
Définition :
On dit qu’une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b P I, on a : a ¤ b ñ f paq ¥ f pbq.
Remarque : l’ordre est inversé.
Représentation graphique :
Exemple :
La fonction f définie par : f pxq px 2q2 5 est décroissante sur l’intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]-8 ; 2]).
3. Tableau de variation
Le sens de variation d’une fonction f est résumé par un tableau.
Exemple : Le tableau de variation de la fonction f définie par : f pxq px 2q2 5 est :
x
f pxq
8
2
8
& 5 %
4. Extrémum
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Définition :
Soit f une fonction définie sur Df et un réel a P Df .
f paq est le maximum M de la fonction f sur Df si pour tout x de Df , on a : f pxq ¤ f paq.
f paq est le minimum m de la fonction f sur Df si pour tout x de Df , on a : f pxq ¥ f paq.
Exemple : la fonction f définie par : fpxq px 2q2 5 a pour minimum -5. Il est atteint en 2.
Sur l’intervalle [-6 ; -3], f a pour maximum 59 atteint en -6.
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