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- Concours 2017
Variables à densité : l’essentiel en une page
Fonction de répartition. X est une variable aléatoire à densité si sa fonction de répartition est continue sur R,
de classe C 1 sur R sauf peut-être en un nombre fini ou dénombrable de points.
Densité. f est une densité de probabilité
ª `8 si f est positive sur R, continue sur R sauf peut-être en un nombre fini
ou dénombrable de points, et telle que :
f ptq dt converge et vaille 1.
´8
Si F est la fonction de répartition de X, alors toute fonction f telle que F 1 “ f aux points où F est dérivable
ª est une
x
densité de X. Si f est une densité de X, alors la fonction de répartition de X est donnée par : @x P R, F pxq “
´8
f ptqdt.
La fonction F est de classe C 1 partout là où f est continue. Plus généralement, si f est continue à droite (resp. à
gauche) en x, alors F est dérivable à droite (resp. à gauche) en x.
Loi uniforme U pra, bsq.
— Support. Xp⌦q “ ra, bs.
1
si t P ra, bs et f ptq “ 0 sinon.
b´a
— Fonction de répartition. La fonction de répartition de X est la fonction F définie par : F pxq “ 0 si x † a,
x´a
.
F pxq “ 1 pour x ° b et : @x P ra, bs, F pxq “
b´a
a`b
pb ´ aq2
— Espérance, variance. EpXq “
. V pXq “
.
2
12
Loi exponentielle E p q.
— Densité. Une densité de X est la fonction f définie par : f ptq “
— Support. Xp⌦q “s0, `8r.
— Densité. Une densité de X est la fonction f définie par : f ptq “ e´ t si t ° 0 et 0 sinon.
— Fonction de répartition. La fonction de répartition de X est la fonction F définie par : F pxq “ 1 ´ e´
x ° 0 et 0 sinon.
1
1
— Espérance, variance. EpXq “ . V pXq “ 2
x
si
Loi normale N pm, q.
— Support. Xp⌦q “ R
— Densité. Une densité de X est la fonction f définie par : @t P R, f ptq “
— Espérance, variance. EpXq “ m. V pXq “
2
.
pt´mq2
1
? e´ 2 2 .
2⇡
Loi normale centrée-réduite N p0, 1q.
— Support. Xp⌦q “ R
1
t2
— Densité. Une densité de X est la fonction f définie par : @t P R, f ptq “ ? e´ 2 . EpXq “ 0.
2⇡
— Fonction de répartition. On note
la fonction de répartition d’une variable aléatoire X suivant une loi
normale centrée-réduite. On a : @x P R, p´xq “ 1 ´ pxq.
— Espérance, variance. EpXq “ 0. V pXq “ 1.
Propriétés de stabilité des lois classiques.
— Si a † b, X suit la loi U r0, 1s ô a ` pb ´ aqX suit la loi U ra, bs.
1
— Si Y suit la loi U r0, 1r, alors X “ ´ lnp1 ´ Y q suit la loi E p q.
— Si a ‰ 0, X suit la loi normale N pm, 2 q ô aX ` b suit la loi N pam ` b, a2 2 q.
— Si X et Y suivent N pm, 2 q et N pm1 , 12 q, alors X ` Y suit la loi N pm ` m1 , 2 `
12
q.
˘
Théorème de transfert. Si X admet une densité f nulle en-dehors d’un intervalle sa, br pa, bq P R̄2 , et si g est
une fonction continue sauf peut-être en un nombre fini de points sur sa, br, alors gpXq admet une espérance si et
ªb
ªb
seulement si l’intégrale gptqf ptq dt converge absolument, et on a alors : E pgpXqq “ gptqf ptq dt.
a
`
a
Moment d’ordre r. X admet un moment d’ordre r, noté mr pXq si et seulement si l’intégrale
ª `8
absolument, et on a alors : EpX r q “
tr f ptq dt.
´8
ªb
a
tr f ptq dt converge