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23 -Concours 2017
Variables à densité : l’essentiel en une page
Fonction de répartition. Xest une variable aléatoire à densité si sa fonction de répartition est continue sur R,
de classe C1sur Rsauf peut-être en un nombre fini ou dénombrable de points.
Densité. fest une densité de probabilité si fest positive sur R,continuesurRsauf peut-être en un nombre fini
ou dénombrable de points, et telle que : ª`8
´8
fptqdtconverge et vaille 1.
Si Fest la fonction de répartition de X,alorstoutefonctionftelle que F1“faux points où Fest dérivable est une
densité de X.Sifest une densité de X,alorslafonctionderépartitiondeXest donnée par : @xPR,Fpxq“ªx
´8
fptqdt.
La fonction Fest de classe C1partout là où fest continue. Plus généralement, si fest continue à droite (resp. à
gauche) en x,alorsFest dérivable à droite (resp. à gauche) en x.
Loi uniforme Upra, bsq.
—Support. Xp⌦q“ra, bs.
—Densité. Une densité de Xest la fonction fdéfinie par : fptq“ 1
b´asi tPra, bset fptq“0sinon.
—Fonction de répartition. La fonction de répartition de Xest la fonction Fdéfinie par : Fpxq“0si x†a,
Fpxq“1pour x°bet : @xPra, bs,Fpxq“x´a
b´a.
—Espérance, variance. EpXq“a`b
2.VpXq“pb´aq2 12 .
Loi exponentielle Epq.
—Support. Xp⌦q“s0,`8r.
—Densité. Une densité de Xest la fonction fdéfinie par : fptq“e´tsi t°0et 0sinon.
—Fonction de répartition. La fonction de répartition de Xest la fonction Fdéfinie par : Fpxq“1´e´xsi
x°0et 0sinon.
—Espérance, variance. EpXq“1
.VpXq“ 1 2
Loi normale Npm, q.
—Support. Xp⌦q“R
—Densité. Une densité de Xest la fonction fdéfinie par : @tPR,fptq“ 1
?2⇡e´pt´mq2
22.
—Espérance, variance. EpXq“m.VpXq“2.
Loi normale centrée-réduite Np0,1q.
—Support. Xp⌦q“R
—Densité. Une densité de Xest la fonction fdéfinie par : @tPR,fptq“ 1
?2⇡e´t2
2.EpXq“0.
—Fonction de répartition. On note la fonction de répartition d’une variable aléatoire Xsuivant une loi
normale centrée-réduite. On a : @xPR,p´xq“1´pxq.
—Espérance, variance. EpXq“0.VpXq“1.
Propriétés de stabilité des lois classiques.
—Si a†b,Xsuit la loi Ur0,1sôa`pb´aqXsuit la loi Ura, bs.
—Si Ysuit la loi Ur0,1r,alorsX“´1
lnp1´Yqsuit la loi Epq.
—Si a‰0,Xsuit la loi normale Npm, 2qôaX `bsuit la loi Npam `b, a22q.
—Si Xet Ysuivent Npm, 2qet Npm1,
12q,alorsX`Ysuit la loi Npm`m1, 2`12q.
Théorème de transfert. Si Xadmet une densité fnulle en-dehors d’un intervalle sa, br`pa, bqP¯ R2˘,etsigest
une fonction continue sauf peut-être en un nombre fini de points sur sa, br,alorsgpXqadmet une espérance si et
seulement si l’intégrale ªb
a
gptqfptqdtconverge absolument, et on a alors : EpgpXqq “ ªb
a
gptqfptqdt.
Moment d’ordre r.Xadmet un moment d’ordre r,notémrpXqsi et seulement si l’intégrale ªb
a
trfptqdtconverge
absolument, et on a alors : EpXrqһ`8
´8
trfptqdt.