I Définition et Propriétés - Page d`accueil du site de Vincent obaton

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2013 ´ 2014
Variables aléatoires discrètes. Exemples
Pré-requis : Séries à termes réels, Dénombrement, Tribus, Espaces probabilisés et généralité sur les v.a.r. Notations :
pΩ, A, pq une espace probabilisé.
I
Définition et Propriétés
Définition : Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète X est une application de Ω dans R où XpΩq est fini ou dénombrable.
On note : XpΩq “ txi {i P Iu
Définition : Loi de probabilité
On nomme loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X, l’ensemble des couples pxi , pi qiPI tels que :
"
xi P XpΩq
pi “ P pX “ xi q
Propriété : Loi de probabilité
1.
ÿ
P pX “ xi q “ 1
iPI
2. @i P I, P pX “ xi q ě 0
Exemples :
Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppq et Poisson P pλq.
Propriété : Loi d’une fonction de v.a.r.d
Si g est une fonction numérique définie sur XpΩq alors Y “ gpXq est une v.a.r.d et :
Y pΩq “ ty P R{Di P I tq
ÿy “ gpxi qu
@y P Y pΩq, P pY “ yq “
P pX “ xi q
i{gpxi q“y
Définition : Fonction de répartition
On nomme fonction de répartition de X, la fonction F de R dans R : x ÞÑ F pxq “ P pX ď xq “
ÿ
P pX “ xi q
xi ďx
Propriétés de la fonction de répartition
1. @x P R, F pxq P r0; 1s
2. F est croissante sur R et continue à droite.
3.
lim F pxq “ 0 et lim F pxq “ 1
xÑ´8
xÑ`8
2
4. @pa, bq P R , P pa ă x ď bq “ F pbq ´ F paq
Théorème
Si XpΩq “ pxi qiPN˚ dans l’ordre croissant alors P pX “ x1 q “ F px1 q et @i ą 1 , P pX “ xi q “ F pxi q ´ F pxi´1 q
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II
Variables aléatoires discrètes. Exemples
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Espérance, variance et écart-type
Définition : Espérance
Si I est fini ou
ÿ
xi P pX “ xi q converge absolument, alors on nomme espérance de X la valeur de :
iPI
EpXq “
ÿ
xi P pX “ xi q
iPI
Exemples :
Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppq et Poisson P pλq.
2
Contre-exemple : P pX “ 3k q “ k`1 avec k P N (N’admet pas d’espérance)
3
Théorème de transfert
Si I est fini ou si
ÿ
gpxi qP pX “ xi q converge absolument alors la v.a.r.d gpXq admet une espérance et :
iPI
EpgpXqq “
ÿ
gpxi qP pX “ xi q
iPI
Ex : Si X 2 admet une espérance, alors EpX 2 q “
ÿ
x2i P pX “ xi q
iPI
Définition : Fonction génératrice
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
ÿ
On définit sa fonction génératrice GX par : GX psq “ Epsk q “
sk P pX “ kq pour s dans le disque ouvert de convergence
kPI
de la série entière.
Exemples : Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Géométrique Gppq et Poisson P pλq.
Propriétés de la fonction génératrice
pkq
GX
k!
‚ Si le rayon de convergence est >1 alors EpXq “ G1X p1q
‚ @k P N, P pX “ kq “
Définition : Variance et écart-type
Si I est fini ou si
ÿ
pxi ´ Epxqq2 P pX “ xi q converge absolument alors on nomme variance de X la valeur de :
iPI
V pXq “
ÿ
pxi ´ Epxqq2 P pX “ xi q
iPI
a
et écart-type de X : σpXq “ V pXq
Exemples : Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppq et Poisson P pλq.
Théorème
Si X 2 admet une espérance alors V pXq “ EpX 2 q ´ pEpXqq2
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Variables aléatoires discrètes. Exemples
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Propriétés
‚ Si X admet une espérance et une variance alors pour tout pa, bq P R2 , aX ` b admet une espérance et une variance et
EpaX ` bq “ aEpXq ` b
V paX ` bq “ a2 V pXq
‚ Si X et Y admettent une espérance alors EpX ` Y q “ EpXq ` EpY q
‚ Si X et Y admettent une variance et sont indépendantes alors V pX ` Y q “ V pXq ` V pY q
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Exemples
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1 1 ´ sn`1
n`1 1´s
1 ´ p ` ps
a
pp1 ´ pq
p1 ´ p ` psqn
a
npp1 ´ pq
npp1 ´ pq
np
Ckn pk p1 ´ pqn´k
r|0; n|s
Bpn, pq
Binomiale
c
N ´m
npp1 ´ pq
N ´1
N ´m
npp1 ´ pq
N ´1
np
CkN p Cn´k
CnN
N p1´pq
r|M axp0; n ´ N p1 ´ pqq; minpn; N pq|s
HpN, n, pq
Hypergéométrique
1
p1 ´ pq
p2
ps
1 ´ p1 ´ pqs
c
1
p1 ´ pq
p2
1
p
λk
k!
λ
e´λp1´sq
?
λ
λ
e´λ
N
N˚
pp1 ´ pqk´1
P pλq, λ ą 0
Poisson
Gppq
Géométrique
Variables aléatoires discrètes. Exemples
Bibliographie : Escoffier / Bréal ECS 1ère année / Ouvrard / Ellipse ISTAS / Probabilités pour scientifiques et ingénieurs Bogaert
Définition : Soient pXn qnPN une suite de v.a.r.d. et X une v.a.r.d sur un même espace probabilisé. On note Fn la fonction de répartition de Xn et F la fonction de
répartition de X.On dit que pXn q converge en loi vers pXq si : lim Fn pxq “ F pxq en tout point de continuité de F .
nÑ`8
˙
ˆ
´
λ
Théorème 1 : B n,
ÝÑ P pλq
Théorème 2 : H N, n, pq ÝÑ Bpn, pq
Loi
n Loi
Théorème
GX psq
σpXq
n2 ´ 1
2
pp1 ´ pq
n2 ´ 1
2
V pXq
c
p
P pX “ 1q “ p et P pX “ 0 “ 1 ´ pq
n`1
2
1
n
EpXq
P pX “ iq “
r|1; n|s
XpΩq
Loi
Bppq
U pr|1; n|sq
Notation
t0; 1u
Bernouilli
Uniforme
Définition : Convergence en loi
III
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