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201 Variables aléatoires discrètes. Exemples 2013 ´2014
Pré-requis : Séries à termes réels, Dénombrement, Tribus, Espaces probabilisés et généralité sur les v.a.r. Notations :
pΩ, A, pqune espace probabilisé.
I Définition et Propriétés
Une variable aléatoire discrète Xest une application de Ωdans Roù XpΩqest fini ou dénombrable.
On note : XpΩq“txi{iPIu
Définition : Variable aléatoire discrète
On nomme loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X, l’ensemble des couples pxi, piqiPItels que :
"xiPXpΩq
pi“PpX“xiq
Définition : Loi de probabilité
1. ÿ
iPI
PpX“xiq “ 1
2. @iPI,PpX“xiq ě 0
Propriété : Loi de probabilité
Exemples :
Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppqet Poisson Ppλq.
Si gest une fonction numérique définie sur XpΩqalors Y“gpXqest une v.a.r.d et :
YpΩq“tyPR{DiPItq y“gpxiqu
@yPYpΩq,PpY“yq “ ÿ
i{gpxiq“y
PpX“xiq
Propriété : Loi d’une fonction de v.a.r.d
On nomme fonction de répartition de X, la fonction Fde Rdans R:xÞÑ Fpxq “ PpXďxq “ ÿ
xiďx
PpX“xiq
Définition : Fonction de répartition
1. @xPR,FpxqPr0; 1s
2. Fest croissante sur Ret continue à droite.
3. lim
xÑ´8 Fpxq “ 0et lim xÑ`8 Fpxq “ 1
4. @pa, bq P R2,Ppaăxďbq “ Fpbq ´ Fpaq
Propriétés de la fonction de répartition
Si XpΩq“pxiqiPN˚dans l’ordre croissant alors PpX“x1q “ Fpx1qet @ią1,PpX“xiq “ Fpxiq ´ Fpxi´1q
Théorème
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II Espérance, variance et écart-type
Si Iest fini ou ÿ
iPI
xiPpX“xiqconverge absolument, alors on nomme espérance de X la valeur de :
EpXq “ ÿ
iPI
xiPpX“xiq
Définition : Espérance
Exemples :
Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppqet Poisson Ppλq.
Contre-exemple : PpX“3kq “ 2
3k`1avec kPN(N’admet pas d’espérance)
Si Iest fini ou si ÿ
iPI
gpxiqPpX“xiqconverge absolument alors la v.a.r.d gpXqadmet une espérance et :
EpgpXqq “ ÿ
iPI
gpxiqPpX“xiq
Théorème de transfert
Ex : Si X2admet une espérance, alors EpX2q “ ÿ
iPI
x2
iPpX“xiq
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N.
On définit sa fonction génératrice GXpar : GXpsq “ Epskq “ ÿ
kPI
skPpX“kqpour sdans le disque ouvert de convergence
de la série entière.
Définition : Fonction génératrice
Exemples : Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Géométrique Gppqet Poisson Ppλq.
‚ @kPN,PpX“kq “ Gpkq
X
k!
‚Si le rayon de convergence est >1 alors EpXq “ G1
Xp1q
Propriétés de la fonction génératrice
Si Iest fini ou si ÿ
iPIpxi´Epxqq2PpX“xiqconverge absolument alors on nomme variance de X la valeur de :
VpXq “ ÿ
iPIpxi´Epxqq2PpX“xiq
et écart-type de X:σpXq “ aVpXq
Définition : Variance et écart-type
Exemples : Loi Bernoulli Bppq, Binomiale Bpn, pq, Hypergéométrique HpN, n, pq, Géométrique Gppqet Poisson Ppλq.
Si X2admet une espérance alors VpXq “ EpX2q´pEpXqq2
Théorème
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‚Si Xadmet une espérance et une variance alors pour tout pa, bq P R2,aX `badmet une espérance et une variance et
EpaX `bq “ aEpXq ` b V paX `bq “ a2VpXq
‚Si Xet Yadmettent une espérance alors EpX`Yq “ EpXq ` EpYq
‚Si Xet Yadmettent une variance et sont indépendantes alors VpX`Yq “ VpXq ` VpYq
Propriétés
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201 Variables aléatoires discrètes. Exemples 2013 ´2014
III Exemples
Uniforme Bernouilli Binomiale Hypergéométrique Géométrique Poisson
Notation Upr|1; n|sq BppqBpn, pqHpN, n, pqGppqPpλq,λą0
XpΩq r|1; n|s t0; 1u r|0; n|s r|Maxp0; n´Np1´pqq;minpn;Npq|s N˚N
Loi PpX“iq “ 1
nPpX“1q “ pet PpX“0“1´pqCn
kpkp1´pqn´kCNp
kCNp1´pq
n´k
CN
n
pp1´pqk´1e´λλk
k!
EpXqn`1
2p np np 1
pλ
VpXqn2´1
2pp1´pqnpp1´pqN´m
N´1npp1´pq1
p2p1´pqλ
σpXqcn2´1
2app1´pqanpp1´pqcN´m
N´1npp1´pqc1
p2p1´pq?λ
GXpsq1
n`1
1´sn`1
1´s1´p`ps p1´p`psqnps
1´ p1´pqse´λp1´sq
Définition : Convergence en loi
Définition : Soient pXnqnPNune suite de v.a.r.d. et Xune v.a.r.d sur un même espace probabilisé. On note Fnla fonction de répartition de Xnet Fla fonction de répartition de X.On dit que pXnqconverge en loi vers pXqsi : lim
nÑ`8 Fnpxq “ Fpxqen tout point de continuité de F.
Théorème 1 : Bˆn, λ
n˙ÝÑ
Loi PpλqThéorème 2 : H´N, n, pq ÝÑ
Loi Bpn, pq
Théorème
Bibliographie : Escoffier / Bréal ECS 1ère année / Ouvrard / Ellipse ISTAS / Probabilités pour scientifiques et ingénieurs Bogaert
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