Solutions de la série n˝2

Professeur J. Duparc Logique Mathématique 23 septembre 2015
Solutions de la série n˝2
Solution de l’exercice 1 : L’arbre de décomposition de ϕest le suivant.
Une branche de longueur maximale est indiquée par les doubles lignes. Les
occurrences liées des variables de ϕsont soulignées.
Ñ
@x
^
Rpx, zqDz
Rpgpz, xq, yq
Dz
_
Rpfpxq, zq
Rpc, gpy, zqq
Afin d’effectuer les substitutions demandées, nous commençons par substituer
aux occurrences liées des variables de ϕdes variables n’apparaissant pas dans
le terme u:
ϕ“´@x1`Rpx1, zq^Dz1Rpgpz1, x1q, yq˘Ñ Dz1`Rpfpxq, z1q_ Rpc, gpy, z1qq˘¯
Nous pouvons alors substituer le terme u:
ϕru{xs:´@x1`Rpx1, zq^Dz1Rpgpz1, x1q, yq˘Ñ
Dz1`Rpfpgpfpxq, gpz, cqqq, z1q_ Rpc, gpy, z1qq˘¯
ϕru{ys:´@x1`Rpx1, zq^Dz1Rpgpz1, x1q, gpfpxq, gpz, cqqq˘Ñ
Dz1`Rpfpxq, z1q_ Rpc, gpgpfpxq, gpz, cqq, z1qq˘¯
ϕru{zs:´@x1`Rpx1, gpfpxq, gpz, cqqq ^ Dz1Rpgpz1, x1q, yq˘Ñ
Dz1`Rpfpxq, z1q_ Rpc, gpy, z1qq˘¯
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Solution de l’exercice 2 : Soit Lun langage du premier ordre. On définit
pour tout terme tde Ll’arbre de décomposition Ttde tpar induction sur la
hauteur de tde sorte que la hauteur de tégale la longueur de la plus longue
branche de son arbre de décomposition.
— si test de hauteur nulle, alors test une variable ou une constante. Nous
définissons Ttpar
t
La longueur de la plus longue branche est bien nulle comme la hauteur
de t.
— si test de hauteur ną0, alors il existe un naturel k, il existe un symbole
de fonction fPLd’arité ket il existe des termes t1, . . . , tkde hauteur res-
pectivement h1, . . . , hkănde sorte que t“fpt1, . . . , tkq(par définition
d’un terme de hauteur ką0). Nous définissons alors Ttpar
f
Tt1Tt2¨ ¨ ¨ Ttk
Par hypothèse d’induction, nous avons que la hauteur de tiégale la lon-
gueur de la plus longue branche de Ttiet ceci pour chaque i“1, . . . , k. Il
s’ensuit que la hauteur de tqui égale 1`maxthi|i“1, . . . , kuest égale
à la plus longue branche de Tt.
Solution de l’exercice 3 : Soit Lun langage du premier ordre. Notons
Ple sous-ensemble de Lăωdes mots sur Lpossèdant autant de parenthèses
ouvrantes que de parenthèses fermantes.
Nous commençons par montrer par induction sur la hauteur des termes, que
l’ensemble des termes de Lest inclus dans P. Si test un terme de hauteur
nulle, alors tne contient pas de parenthèses. Si test de hauteur non nulle, alors
il existe un naturel n, un symbole de fonction fPLd’arité n, et t1, . . . , tndes
termes de hauteur strictement inférieure à la hauteur de tavec t“fpt1, . . . , tnq.
Par hypothèse d’induction, t1, . . . , tnPPet donc tPP.
Nous montrons maintenant par induction sur la hauteur d’une formule, que
l’ensemble des formules de Lest inclus dans P. Si ϕest de hauteur nulle, alors
il existe un naturel n, un symbole de relation RPLd’arité n, et t1, . . . , tndes
termes de Lavec ϕ“Rpt1, . . . , tnq. Par ce qui précède, t1, . . . , tnPX. Il en
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découle que ϕPX. Si ϕest de hauteur non nulle h, alors nous sommes dans
l’un des trois cas suivants :
—ϕ“ pψ1‹ψ2qavec ‹ P t^,_, ,Ñ,Øu et ψ1, ψ2des formules de hauteur
strictement inférieure à h. Par hypothèse d’induction, ψ1, ψ2PPet donc
ϕPP.
—ϕ“ ψavec ψde hauteur strictement inférieure à h. Alors, par hypothèse
d’induction ϕPP.
—ϕ“Qxψ avec ψde hauteur strictement inférieure à h. Alors, par hypo-
thèse d’induction ϕPP.
Solution de l’exercice 4 : Dans les notations de la Série nř1, nous avons
FĎL˚. Ainsi, par les résultats de la Série nř1 il s’ensuit qu’il existe un injection
de Fdans N. Puisque Lest un langage égalitaire, il contient le symbole d’égalité
“. Pour chaque nPNnous avons la formule suivante
ϕn“ Dx¨ ¨ ¨ Dx
looomooon
n`1fois
px“xq P F.
L’application nÞÑ ϕnest un injection de Ndans F. On conclut par le théorème
de Cantor-Schröder-Bernstein.
Solution de l’exercice 5 :
1. Notons rrsla partie entière d’un nombre réel r. L’ensemble des nombres
réels Rest en bijection avec Zˆ r0,1rvia rÞÑ prrs, r ´ rrsq. De plus, nous
avons vu dans la série nř1 que NˆZest en bijection avec Z. Ainsi,
NˆR–Nˆ pZˆ r0,1rq – pNˆZqˆr0,1r– Zˆ r0,1r– R.
2. Supposons par l’absurde que nÞÑ xnest un bijection entre Net 2N.
Définissons alors la suite diagonale yP2Npar ypnq “ 1´xnpnq. Nous
avons alors pour chaque nPNque y‰xnet donc l’application nÞÑ xn
n’est pas surjective contrairement à l’hypothèse.
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