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Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
COMPARAISONS DE SUITES
Exercice 66. D´eterminer un ´equivalent simple de unet pr´eciser leur limite :
1. unn3 ln n e n1
2. un
ln n21
n1
3. un
n2n1
3n2n1
5. un
n3n21
ln n2n2
6. un
2n3ln n1
n21
7. un
n!en
2n3n
Exercice 67. D´eterminer un ´equivalent simple de un:
1. un
1
n1
1
n1
2. unn1n1
3. unln n1 ln n
4. unnln 1 1
n21
5. un1 sin 1
n
n
6. un
nn1
n1n
Exercice 68. Soit unune suite d´ecroissante de r´eels telle que unun1
1
n.
1. Montrer que unconverge vers 0 .
2. Donner un ´equivalent simple de un.
Exercice 69. Pour nN, on pose un0! 1! 2! . . . n!
n
k0
k!.
Montrer que unn!
Exercice 70. On ´etudie ici la suite Snde terme g´en´eral Sn
n
k0
1
k.
1. ´ Etablir que pour tout t1, ln 1 t t et en d´eduire :
ln 1 tt
1t
2. Observer que :
ln n1Snln n1
3. Montrer que la suite unSnln nest convergente.
Sa limite est appel´ee constante d’Euler et est usuellement not´ee γ.
COMPARAISONS DE FONCTIONS
Exercice 71. D´eterminer un ´equivalent simple de f x quand xpour :
1. f x x21x21
2. f x x32
3x22
3. f x x21x21
Exercice 72. D´eterminer un ´equivalent simple de f x quand x.
1. f x ln x1
ln x1(utiliser ln 1 y0yavec y`a pr´eciser)
2. f x ln x1 ln x1
3. f x x ln x1x1 ln x
Exercice 73. D´eterminer un ´equivalent simple de f x quand x0.
1. f x ln 1 sin x
2. f x ln ln 1 x
3. f x 1x21x2
4. f x exx1
Exercice 74. ´ Equivalent simple de ln cos xquand x π 2 .
Exercice 75. D´eterminer les limites suivantes `a l’aide d’un ´equivalent.
1. lim
x
xe xx2
xln x
2. lim
x
xln x x
xcos x
3. lim
x
xexx2
exex
Exercice 76. D´eterminer les limites suivantes `a l’aide d’un ´equivalent.
1. lim
x0
xsin x
xln x
2. lim
x0
ln x x2
ln x x2
3. lim
x1
ln x
x21
4. lim
x1ln xln 1 x
Exercice 77. Soit f:R R d´efinie par f x x22x
2x1.
1. Donner un ´equivalent simple de f x en que l’on notera u x .
2. Donner un ´equivalent simple de f x u x en .
3. En d´eduire la branche infinie de f(asymptote oblique).
PCSI - Lyc´ee de l’Essouriau 1 2013-2014

Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
CALCULS DE D.L.
Exercice 78. D´eterminer les D.L. au point et `a l’ordre indiqu´es des fonctions :
1. f x x
1xen x0 `a l’ordre 2.
2. g x xe xen x0, puis en x1 `a l’ordre 3.
3. h t t
cos ten t0 `a l’ordre 3.
4. j u ln u
uen u1 `a l’ordre 2.
Exercice 79 (D´eveloppements limit´es avec solutions).
D´eterminer les D.L. en 0 `a l’ordre indiqu´e des fonctions :
1. f x 1
1 2x2`a l’ordre 3
2. g x sin4x`a l’ordre 6
3. h x ex
1x`a l’ordre 3
4. j x x2
ln 1 x2`a l’ordre 4
5. k x ln 1 sin x`a l’ordre 4
6. l x 1x
1 arctan x`a l’ordre 4
7. m x x 11
c`a l’ordre 2
8. n x 1xx`a l’ordre 3
R´eponses :
1. 1 4x12x232x3o x3
2. x42
3x6o x6
3. 1 1
2x3 8x21 48 x3o x3
4. 1 1
2x21 12 x4o x4
5. x1
2x21 6x31 12 x4o x4
6. 1 1
3x31 3x4o x4
7. ee
2x11e 24 x2o x2
8. 1 1
2x21 4x37 24 x4o x4
Exercice 80 (D´eveloppements en dehors de 0).
1. D´eterminer un D.L. `a l’ordre 3 de sin2en aπ
2.
2. D´eterminer un D.L. `a l’ordre 3 de cos en aπ
3.
3. D´eterminer un D.L. `a l’ordre 3 de exp en a1.
R´eponses : 1. 1xπ
2
2o x π
2
3;2. 1
2
3
2xπ 3
1
4xπ 3
23
12 xπ 3
2o x π
3
2
3. e e x 1e
2
x1
2o x 12
Exercice 81 (La fonction tangente).
1. Calculer `a l’aide de la formule de Taylor un D.L. en 0 `a l’ordre 5 de la fonction
tan.
2. Retrouver le D.L. `a l’ordre 5 de la fonction tangente en 0 `a l’aide de l’´equation
diff´erentielle : y1y2.
R´eponse : tan x x
1
3
x32
15
x517
315
x762
2835
x91382
155925
x11 21844
6081075
x13 o x13
D.L. - ´ EQUIVALENTS - LIMITES
Exercice 82. Donner un ´equivalent simple puis la limite au point consid´er´e :
1. f x x2ln x
x1en a
2. g x x
exxen a
3. h x 1
tan xen aπ
2
4. j x ln 1 x x 1 ln xen a
5. k x ln cos xen a0
6. l x 2 ln 1 x
sin2xen a0
R´eponses : 4 ln x; 5 x2
2; 6 2 x
Exercice 83. Soit nN. D´eterminer αRet βRpour que :
nx1nx1αxβ
Exercice 84. Comparer les fonctions suivantes `a l’aide des o,Oou au voisinage
du point consid´er´e.
1. x x ln xet xsin xlorsque x0
2. xx
ex1et x e x2lorsque x
3. tsin2tet t1 cos2tlorsque t0
4. tarctan t
1t2et t1 t2lorsque x
UTILISATION DES D.L.
Exercice 85. Donner un ´equivalent simple puis la limite au point consid´er´e :
1. xarctan x
xen 0
2. xln cosh x
x2en 0
3. x2 ln 1 x
sin2xen 0
R´eponses :1 1; 2 1
2; 3 2 x
Exercice 86. Calculer si elles existent, les limites suivantes :
1. lim
x0
ch x1
x
2. lim
h0
ln cos h
sin h
3. lim
t
t
sin 1
t
t
tanh 1
t
4. lim
x0
ln x21
x3
Exercice 87.
1. Posons f x x24x5. Montrer que f x x 21
2xo1 x.
2. En d´eduire une asymptote oblique au graphe de f.
Exercice 88. D´eterminer un ´equivalent simple de 1
sin x
1
xau voisinage de 0.
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Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
Exercice 89.
1. D´eterminer un D.L. de h1
1 1 h2`a l’ordre 4 en h0.
2. En d´eduire un D.L. en harctan 1 h`a l’ordre 5 en h0.
3. ´ Ecrire le D.L. de xarctan x`a l’ordre 5 en x1.
4. ´ Etudier la nature de la branche infinie (asymptote) en tde la courbe
repr´esentative de la fonction fd´efinie par :
f t t arctan 1 1
t
CLASSE D’UNE FONCTION
Exercice 90. Soit a0.
On consid`ere la fonction gd´efinie sur Rpar g x ax1
x.
1. D´eterminer l’unique fonction gcontinue sur Rqui prolonge g.
2. Montrer que gest de classe C1sur Ret d´eterminer g0 .
Exercice 91. On consid`ere hd´efinie pour t1 et t0 par h t 1
ln 1 t
1
t.
1. Montrer que hse prolonge par continuit´e en 0 et 1.
(on note Hle prolongement obtenu).
2. ´ Etudier la d´erivabilit´e de H.
D´ EVELOPPEMENT LIMITE D’UNE FONCTION
R´ ECIPROQUE
Exercice 92. Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f x x ch x.
1. Montrer que fd´efinie une bijection de Rsur Ret que f1est de classe C.
2. Donner un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 de f1en 0.
PCSI - Lyc´ee de l’Essouriau 3 2013-2014