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Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
COMPARAISONS DE SUITES
COMPARAISONS DE FONCTIONS
Exercice 66. Déterminer un équivalent simple de un?et préciser leur limite : Exercice 71. Déterminer un équivalent simple de f pxq quand x Ñ
?
?2
n3 n2 1
1. f pxq x2 1
x 1
1. un pn 3 ln nqepn 1q
5. un 2. un
3. un
lnpn2 1q
? n2 1
?3 n2 n 1
n n 1
Exercice
67.
Déterminer
6. un
7. un
équivalent
d
un
4. un
n 1 1 n 1 1
?
?
un n 1 n 1
a
un lnpn 1q lnpnq
ln n 2n2
2n3 ln n 1
n2 1
n! en
2n 3n
n
2.
3.
6. un
ln 1
1. un
5. un
simple
1
sin
?n
2.
3.
de
1
3. f pxq x lnpx
1. f pxq lnp1
pnn 1q?n
1!
2!
...
n!
n! Exercice 70. On étudie ici la suite pSn q de terme général Sn tq ¤ t et en déduire :
lnp1
2. Observer que :
lnpn
tq ¥
un
1
1q ¤ S n
Exercice
°n
2.
k!.
k 0
0
1q ln x
k 0
xqq
3. f pxq 1
4. f pxq ex
x2 x
1 x2
Ñ
0.
1
x
lim
Ñ
8
x
lim
Ñ
8
75. Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un équivalent.
xex x2
? x 2
xe x
x ln x
3. lim
x ln x x
xÑ 8 ex
e x
x cos x
Exercice
°n 1
76. Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un équivalent.
sin x
x ln x
ln x x2
2. lim
x2 q
xÑ0 lnpx
1. lim
k.
x
x
Ñ0
ln x
x
Ñ1 x2 1
x
Ñ1
3. lim
4. lim ln x lnp1 xq
2
t
¤ ln n
Ñ R définie par f pxq x2x 2x1 .
Donner un équivalent simple de f pxq en 8 que l’on notera upxq.
Donner un équivalent simple de f pxq upxq en 8.
Exercice 77. Soit f : R
1.
1
2.
3. Montrer que la suite un Sn ln n est convergente.
Sa limite est appelée constante d’Euler et est usuellement notée γ.
PCSI - Lycée de l’Essouriau
y q y avec y à préciser)
Exercice 74. Équivalent simple de lnpcos xq quand x Ñ pπ{2q .
n1 .
t
1
sin xq
2. f pxq lnplnp1
1.
Exercice 69. Pour n P N, on pose un 0!
1q px
8.
Exercice 73. Déterminer un équivalent simple ?de f pxq ?quand x
1. Montrer que pun q converge vers 0 .
1. Établir que pour tout t ¡ 1, lnp1
:
1
Exercice 68. Soit pun q une suite décroissante de réels telle que un
Montrer que un
un
lnpx 1q
1. f pxq 1
(utiliser lnp1
a ln x
a
2. f pxq lnpx 1q lnpx 1q
1
n
2. Donner un équivalent simple de pun q.
2
2
?
1 x2 1
3
Exercice 72. Déterminer un équivalent simple de f pxq quand x Ñ
n2
1
n
?3
x
f p xq ?
2
? x2
f p xq x
8 pour :
3. En déduire la branche infinie de f (asymptote oblique).
1
2013-2014
Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
CALCULS DE D.L.
D.L. - ÉQUIVALENTS - LIMITES
Exercice 78. Déterminer les D.L. au point et à l’ordre indiqués des fonctions :
1. f pxq ?1x x en x 0 à l’ordre 2.
2. g pxq xex en x 0, puis en x 1 à l’ordre 3.
Exercice 82. Donner un équivalent simple puis la limite au point considéré :
1. f pxq 2. g pxq t
3. hptq en t 0 à l’ordre 3.
cos t
4. j puq lnuu en u 1 à l’ordre 2.
3.
p
Réponses :
1. 1 4x 12x2 32x3
2 6
2. x4
x
o x6
3
3. 1
4. 1
1
x
2
1 2
x
2
p q
3 2
1 3
x
x
8
48
1 4
x
o
x4
12
8.
q à l’ordre 4
p q
o x3
p q
o
5. x
6. 1
p q
x3
7. e
12 x2
8. 1
1 3
x
3
e
x
2
1 2
x
2
1. x ÞÑ
2. x ÞÑ
121 x4 opx4 q
opx4 q
opx2 q
7 4
x
o p x4 q
24
3.
4.
3. e
px π2 q2
pp π2 q3 q ; 2. 21
1q
epx 1q 2e px
o
pp
x 1q2 q
2
o x
?3
2
?
px π3 q 14 px π3 q2 123 px π3 q2
Réponse : tan x
x
PCSI - Lycée de l’Essouriau
62 9
x
2835
1382 11
x
155925
6
q
2
x
x
1
?
n
x1
8 αxβ
?x
au voisinage
ln x et x ÞÑ sin x lorsque x Ñ 0
x
et x ÞÑ ex{2 lorsque x Ñ
ex 1
2
2
2
21844 13
x
6081075
x
ln cosh x
x2
sin2 x
q
en 0
Réponses :1 1;
2
q
1
2
;
3
q
2
x
Exercice
Calculer si elles existent, les limites suivantes :
?ch86.
t
x1
3. lim sint 1 tanh
1
1. lim
x
tÑ 8
t
t
xÑ0
2
lnpx 1q
lnpcosphqq
4. lim
2. lim sinphq
x3
xÑ0
hÑ0
pp π3 q2 q
o x
Exercice 87.
1. Posons f pxq 2. Retrouver le D.L. à l’ordre 5 de la fonction tangente en 0 à l’aide de l’équation
différentielle : y 1 1 y 2 .
17 7
x
315
;
8
t ÞÑ sin t et t ÞÑ 1 cos2 t lorsque t Ñ 0
t
t ÞÑ arctan
et t ÞÑ t1 lorsque x Ñ 8
1 t
2. x ÞÑ
1. Calculer à l’aide de la formule de Taylor un D.L. en 0 à l’ordre 5 de la fonction
tan.
2 5
x
15
q x2
Exercice 85. Donner un équivalent simple puis la limite au point considéré :
3. x ÞÑ 2 lnp1 xq en 0
1. x ÞÑ arctan x en 0
Exercice 81 (La fonction tangente).
1 3
x
3
5
q en a 0
UTILISATION DES D.L.
1. Déterminer un D.L. à l’ordre 3 de sin2 en a Réponses : 1. 1
2
;
p
2 ln 1 x
sin2 x
Exercice 84. Comparer les fonctions suivantes à l’aide des o, O ou
du point considéré.
Exercice 80 (Développements en dehors de 0).
π
.
2
π
2. Déterminer un D.L. à l’ordre 3 de cos en a .
3
3. Déterminer un D.L. à l’ordre 3 de exp en a 1.
4. j pxq lnp1 xq px 1q ln x en a 5. k pxq lnpcos xqq en a 0
6. lpxq n
xqx à l’ordre 3
1 3
x
6
1 4
x
3
11e 2
x
24
1 3
x
4
q lnpxq
8
?
Déterminer les D.L. en 0 à l’ordre indiqué des fonctions :
1. f pxq p1 12xq2 à l’ordre 3
5. k pxq lnp1 sin xq à l’ordre 4
4
1 x
2. g pxq sin pxq à l’ordre 6
6. lpxq 1 arctan
x à l’ordre 4
x
e
1
3. hpxq ?1 x à l’ordre 3
7. mpxq px 1q c à l’ordre 2
x2
ln 1 x2
a
Exercice 83. Soit n P N . Déterminer α P R et β P R pour que :
Exercice 79 (Développements limités avec solutions).
4. j pxq ?
8
π
hpxq tan1 x en a 2
Réponses : 4
?
np xq p 1
x2 ln x
en
x 1
x
ex x en a
?
x2
4x
5. Montrer que f pxq
8 x
2
1
2x
o
1
.
x
2. En déduire une asymptote oblique au graphe de f .
p q
o x13
Exercice 88. Déterminer un équivalent simple de
2
1
sin x
x1 au voisinage de 0.
2013-2014
8
Feuille d’exercices n˚16 - ANALYSE ASYMPTOTIQUE
Exercice 89.
1. Déterminer un D.L. de h ÞÑ
1
1
p1 hq2 à l’ordre 4 en h 0.
2. En déduire un D.L. en h ÞÑ arctanp1
hq à l’ordre 5 en h 0.
3. Écrire le D.L. de x ÞÑ arctan x à l’ordre 5 en x 1.
4. Étudier la nature de la branche infinie (asymptote) en t
représentative de la fonction f définie par :
f ptq t arctan 1
1
t
8
de la courbe
CLASSE D’UNE FONCTION
Exercice 90. Soit a ¡ 0.
ax 1
.
x
1. Déterminer l’unique fonction g continue sur R qui prolonge g.
On considère la fonction g définie sur R par g pxq 1
2. Montrer que g est de classe C 1 sur R et déterminer g p0q.
Exercice 91. On considère h définie pour t ¡ 1 et t 0 par hptq 1. Montrer que h se prolonge par continuité en 0 et
(on note H le prolongement obtenu).
1.
1
1.
lnp1 tq t
2. Étudier la dérivabilité de H.
DÉVELOPPEMENT LIMITE D’UNE FONCTION
RÉCIPROQUE
Exercice 92. Soit f la fonction définie sur R par f pxq x ch x.
1. Montrer que f définie une bijection de R sur R et que f 1 est de classe C 8 .
2. Donner un développement limité à l’ordre 5 de f 1 en 0.
PCSI - Lycée de l’Essouriau
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2013-2014