MP Janson Formulaire de trigonométrie 2016/2017 Formulaire de

MP Janson Formulaire de trigonom´etrie 2016/2017
Formulaire de trigonom´etrie
1. Identit´es fondamentales : D’apr`es la formule d’Euler, pour tout tPR,
eit “cosptq ` isinptqet
cosptq “ eit `e´it
2“<peitqet sinptq “ eit ´e´it 2i“=peitq
De plus,
@tPR,cos2ptq ` sin2ptq “ 1.
R´eciproquement, pour tout pa, bq P R2v´erifiant a2`b2“1, il existe un
unique r´eel tP r0,2πrtel que a“cosptqet b“sinptq.
2. Valeurs particuli`eres
t0π
6
π
4
π
3
π
2π
cosptq1?3
2
?2
2
1
20´1
sinptq01
2
?2
2
?3
21 0
tanptq0?3
31?3n.d. 0
3. P´eriodicit´e et invariance
Pour tout xPR,
cospx`πq “ ´cospxqsinpx`πq “ ´sinpxq
cospx`kπq “ p´1qkcospxqsinpx`kπq “ p´1qksinpxq, k PZ
cospπ´xq “ ´cospxqsinpπ´xq “ sinpxq
cos ´x`π
2¯“ ´sinpxqsin ´x`π 2¯“cospxq
cos ´π
2´x¯“sinpxqsin ´π 2´x¯“cospxq
Pour tout xPD“R´!π
2`kπ, k PZ),
tanpx`kπq “ tanpxq, k PZ,tanpπ´xq“´tanpxq
tan ´π
2´x¯“1 tanpxq
On peut “retrouver” ces relations sur le cercle trigonom´etrique. Elles per-
mettent de compl´eter le tableau de valeurs particuli`eres ci-dessus (avec les
valeurs en 2π
3¨¨¨).
4. D´erivabilit´e
Les fonctions sinus et cosinus sont infiniment d´erivables sur Ret elles v´eri-
fient : sin1“cos et cos1“ ´sin.
Ainsi pour tout xPR,$
’
’
&
’
’
%
cos1pxq “ cos ´x`π
2¯
sin1pxq “ sin ´x`π
2¯
.
On en d´eduit donc que pour tout kPN, pour tout xPR,
$
’
’
&
’
’
%
cospkqpxq “ cos ´x`kπ
2¯
sinpkqpxq “ sin ´x`kπ
2¯
.
La fonction tan est infiniment d´erivable sur Det tan1“1`tan2“1
cos2.
5. Formules d’addition et produit
(a) Sinus, Cosinus et Tangente d’une somme
@pa, bq P R2,cospa`bq “ cospaqcospbq ´ sinpaqsinpbq,
sinpa`bq “ sinpaqcospbq ` sinpbqcospaq,
cospa´bq “ cospaqcospbq ` sinpaqsinpbq,
sinpa´bq “ sinpaqcospbq ´ sinpbqcospaq
@pa, bq P R2{ ta, b, a `bu Ă D, tanpa`bq “ tanpaq ` tanpbq
1´tanpaqtanpbq.
@pa, bq P R2{ ta, b, a ´bu Ă D, tanpa´bq “ tanpaq ´ tanpbq
1`tanpaqtanpbq.
En particulier on en d´eduit les formules de l’angle double :

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sinp2aq “ 2 cospaqsinpaq
cosp2aq “ cos2paq ´ sin2paq
cosp2aq “ 2 cos2paq ´ 1
cosp2aq “ 1´2 sin2paq.
tanp2aq “ 2 tanpaq
1´tan2paq
On utilisera souvent les cons´equences suivantes :
cos2paq “ cosp2aq ` 1
2
sin2paq “ 1´cosp2aq
2
(b) Sommes et Produits de Sinus et Cosinus
Les formules pr´ec´edentes permettent d’´etablir, pour aet br´eels quel-
conques :
cospaqcospbq “ 1
2pcospa`bq ` cospa´bqq
sinpaqsinpbq “ 1
2pcospa´bq ´ cospa`bqq
sinpaqcospbq “ 1
2psinpa`bq ` sinpa´bqq
En cons´equence :
cospaq ` cospbq “ 2 cos ˆa`b
2˙cos ˆa´b 2˙
cospaq ´ cospbq“´2 sin ˆa`b
2˙sin ˆa´b 2˙
sinpaq ` sinpbq “ 2 sin ˆa`b
2˙cos ˆa´b 2˙
sinpaq ´ sinpbq “ 2 cos ˆa`b
2˙sin ˆa´b 2˙
6. Transformation t“tan ´x
2¯
Soit xPR, tel que x
2PD,i.e. xPR´ tπ`2kπ, k PZu. En posant
t“tan ´x
2¯, on a les expressions :
cospxq “ 1´t2
1`t2et sinpxq “ 2t 1`t2
Si de plus, xPD, alors,
tanpxq “ 2t
1´t2
7. ´ Equations trigonom´etriques
Soient xet ydes r´eels.
— sinpxq “ sinpyqsi et seulement si x”yr2πsou x”π´yr2πs
— cospxq “ cospyqsi et seulement si x”yr2πsou x” ´yr2πs
— cospxq “ sinpyqsi et seulement si x”π
2´yr2πsou x”y´π 2r2πs
— tanpxq “ tanpyqsi et seulement si x”yrπs