Irrationalité de ζp2q

Optimal Sup-Spé. Problème de synthèse n°1
Irrationalité de ⇣p2q
Maths Sup - Concours 2014
Notations, définitions et rappels
—Pour toute fonction fet pour tout entier naturel n,fpnqdésignera, lorsqu’elle existe, la dérivée n-ème de f.
Par convention, fp0q“f.
—On rappelle que l’ensemble des nombres rationnels est noté Qet que les rationnels sont de la forme p
qavec
pPZ,qPN˚et où la fraction p
qest irréductible (ce qui s’écrit aussi pgcd pp, qq“1). RrQest l’ensemble des
nombres irrationnels.
Objectif du problème, dépendance des parties
—Le but du problème est d’établir une formule permettant de calculer les nombres ⇣p2pq,définispourtoutentier
naturel psupérieur ou égal à 2par :
⇣ppq“ lim
nÑ`8
n
ÿ
k“1
1
kp.
Le problème propose également une preuve de l’irrationalité du nombre ⇣p2q.
—La partie Iprouve l’existence de la limite définissant ⇣ppqpour tout entier naturel psupérieur ou égal à 2.La
partie II propose l’étude de la suite des polynômes de Bernoulli,intervenantdansl’expressiondesnombres
⇣p2pq(pPN˚). Au cours de la partie III,ondétermineuneexpressionde⇣p2pqpour tout pPN˚. Enfin, en
partie IV,onprouvel’irrationalitéde⇣p2q.
—Les parties II,III et IV sont indépendantes entre elles.
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : [phone] - www.optimalsupspe.fr

-Concours 2014 2
I. Étude de la convergence de la suite ˜n
ÿ
k“1
1
kp¸nPN˚
Dans cette partie, on considère un entier naturel psupérieur ou égal à 2et on définit la suite pSnppqqnPNpar :
@nPN˚,S
nppq“
n
ÿ
k“1
1
kp¨
1) Étudier la monotonie de la suite pSnppqqnPN˚.
2) (a) Montrer que pour tout entier naturel ksupérieur ou égal à 1,1
pk`1qp§ªk`1
k
1
tpdt §1 kp.
(b) En déduire que pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2,Snppq´1§ªn
1
1
tpdt §1 p´1.
(c) Conclure que la suite pSnppqqnPN˚converge. On notera ⇣ppqsa limite.
II. Polynômes de Bernoulli et nombres de Bernoulli
Dans cette partie, on note pRrXs,`,¨q l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On identifie un polynôme
de RrXsà sa fonction polynomiale associée définie sur R.
1) Soit fune fonction définie et continue sur r0,1s,àvaleursréelles.Montrerqu’ilexisteuneuniquefonction
F:r0,1sÑRde classe C1sur r0,1stelle que :
F1“fet : ª1
0
Fptqdt “0.
On appelle suite de polynômes de Bernoulli une suite pBnqnPNde polynômes de RrXsdéfinie par :
i) B0“1,
ii) @nPN˚,B
1
n“nBn´1,
iii) @nPN˚,ª1
0
Bnptqdt “0.
2) Montrer que les conditions i), ii) et iii) définissent une unique suite pBnqnPNde polynômes de RrXs.Onl’appel-
lera alors la suite des polynômes de Bernoulli.
Pour tout nPN,onnote:bn“Bnp0q.Onditquebnest le n-ème nombre de Bernoulli.
3) Calculer B1et B2.Endéduireb1et b2.
4) (a) Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2,calculerBnp1q´Bnp0q.
(b) Montrer que : @nPN,BnpXq“p´1qnBnp1´Xq.
(c) Montrer alors que pour tout pPN˚,b2p`1“0.

3-Concours 2014
5) (a) Montrer que pour tout nPN,BnpXq“
n
ÿ
k“0ˆn
k˙bn´kXk.
(b) En déduire que la suite des nombres de Bernoulli vérifie : @pPN,p•2,
p
ÿ
k“1ˆp
k˙bp´k“0.
(c) Montrer que pour tout pPN,b2p“
2p
ÿ
k“0ˆ2p
k˙bk.
(d) En déduire que pour tout pPN,p•2,ona:
b2p“´ 1
p2p`2qp2p`1q
2p´2
ÿ
k“0ˆ2p`2
k˙bk.
Ces dernières relations permettent de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence. Elles permettent égale-
ment de prouver que les nombres de Bernoulli sont rationnels.
III. Calcul de ⇣p2pq
1) Pour tout tPs0,⇡s,calculer
n
ÿ
k“1
cosp2ktq,puisdétermineruneconstanteréelletelle que :
@tPs0,⇡s,sinpp2n`1qtq
2 sinptq“
n
ÿ
k“1
cosp2ktq`.
2) Montrer que pour toute fonction f:r0,⇡sÑRde classe C1sur r0,⇡son a :
lim
nÑ`8 ª⇡
0
fptqsinpp2n`1qtqdt “0.
Pour tout couple pp, kqd’entiers naturels, on définit Jp,k “ª⇡
0
B2pˆt
⇡˙cosp2ktqdt.
3) (a) Al’aidededeuxintégrationsparparties,calculerJ1,k pour tout kPN.
(b) Pour pPN,p•2,trouverunerelationentreJp,k et Jp´1,k.
(c) En déduire l’expression de Jp,k en fonction de pet de kpour tout pp, kqPN2.
Dans la suite, on considère un entier pPN˚fixé et on définit la fonction 'p:r0,⇡sÑRpar :
'pp0q“0,'pp⇡q“0et : @tPs0,⇡r,'pptq“B2ppt
⇡q´b2p
sinptq¨
Il est admis dans la suite du problème que la fonction 'pest de classe C1sur r0,⇡s.
4) (a) Donner une expression de ª⇡
0
'pptqsinpp2n`1qtqdt en fonction de n,pet de b2p.
(b) En déduire la valeur de ⇣p2pqen fonction de pet de b2p.
(c) Donner les valeurs de ⇣p2qet ⇣p4q.

-Concours 2014 4
En 1882,Lindemann démontra que ⇡est transcendant. C’est-à-dire que ⇡n’est racine d’aucun polynôme (non
nul) à coefficients rationnels. Ce résultat a permis de prouver que tous les nombres ⇣p2nqsont irrationnels. Le premier
résultat concernant les ⇣p2n`1qn’est arrivé qu’en 1978,lorsqueApéry démontra que ⇣p3qest irrationnel. Il aura
fallu plus d’un siècle pour obtenir un résultat concernant l’irrationalité des ⇣p2n`1q. Ces nombres restent encore très
mystérieux à l’heure actuelle. En 2001,Zuidilin amontréqu’aumoinsunnombreparmi⇣p5q,⇣p7q,⇣p9qet ⇣p11qest
irrationnel.
IV. Irrationalité de ⇣p2q
Dans cette partie, ndésigne un entier naturel non nul et pour tout xréel, on pose fnpxq“ xnp1´xqn
n!.
1) Soit nPN˚.
(a) Montrer qu’il existe n`1entiers en,e
n`1,¨¨¨ ,e 2ntels que, pour tout xPR,fnpxq“ 1
n!
2n
ÿ
i“n
eixi.
(b) Montrer que pour tout kPN,fpkq
np0qest entier.
(c) En remarquant que pour tout xPR,fnpxq“fnp1´xq,montrerquefpkq
np1qest entier.
On veut prouver que ⇡2est irrationnel. On va raisonner par l’absurde : supposons qu’il existe deux entiers uet
vtels que la fraction u
vsoit irréductible (c’est-à-dire tels que pgcd pu, vq“1)telsque⇡2“u v.
2) Pour tout nPN˚,ondéfinitlafonctionFnsur Rpar :
@xPR,F
npxq“vn´⇡2nfnpxq´⇡2n´2fp2q
npxq`⇡2n´4fp4q npxq`¨¨¨`p´1qnfp2nq npxq¯.
(a) Montrer que pour tout nPN˚,Fnp0qet Fnp1qsont des entiers.
(b) Pour tout nPN˚,onnotegnla fonction définie sur Rpar :
@xPR,g
npxq“F1
npxqsinp⇡xq´⇡Fnpxqcosp⇡xq.
Montrer que : @xPR,g
1
npxq“⇡2unfnpxqsinp⇡xq.
(c) Établir que pour tout nPN˚,An“⇡unª1
0
fnpxqsinp⇡xqdx est un entier.
Dans la suite, on note pwnqnPNla suite définie par : @nPN,wn“un
n!.
3) (a) Montrer qu’il existe un entier naturel n0tel que pour tout nPN,n•n0,wn†1
2.
(b) Montrer que pour tout xPr0,1s,0§fnpxq§1
n!.
(c) En déduire que pour tout nPN,n•n0,AnPs0,1r,puisque⇡2est irrationnel. Conclure quant à l’irratio-
nalité de ⇣p2q.
(d) Peut-on déduire de ce qui précède l’irrationalité de ⇡?