Optimal Sup-Spé. Problème de synthèse n° 1 Irrationalité de ⇣p2q Maths Sup - Concours 2014 Notations, définitions et rappels — Pour toute fonction f et pour tout entier naturel n, f pnq désignera, lorsqu’elle existe, la dérivée n-ème de f . Par convention, f p0q “ f . p — On rappelle que l’ensemble des nombres rationnels est noté Q et que les rationnels sont de la forme avec q p p P Z, q P N˚ et où la fraction est irréductible (ce qui s’écrit aussi pgcd pp, qq “ 1). R r Q est l’ensemble des q nombres irrationnels. Objectif du problème, dépendance des parties — Le but du problème est d’établir une formule permettant de calculer les nombres ⇣p2pq, définis pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2 par : ⇣ppq “ lim nÑ`8 n ÿ 1 . p k k“1 Le problème propose également une preuve de l’irrationalité du nombre ⇣p2q. — La partie I prouve l’existence de la limite définissant ⇣ppq pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2. La partie II propose l’étude de la suite des polynômes de Bernoulli, intervenant dans l’expression des nombres ⇣p2pq (p P N˚ ). Au cours de la partie III, on détermine une expression de ⇣p2pq pour tout p P N˚ . Enfin, en partie IV, on prouve l’irrationalité de ⇣p2q. — Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles. Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : 01.40.26.78.78 - www.optimalsupspe.fr 2 - Concours 2014 I. Étude de la convergence de la suite ˜ n ÿ 1 kp k“1 ¸ nPN˚ Dans cette partie, on considère un entier naturel p supérieur ou égal à 2 et on définit la suite pSn ppqqnPN par : @n P N˚ , Sn ppq “ n ÿ 1 ¨ p k k“1 1) Étudier la monotonie de la suite pSn ppqqnPN˚ . 1 2) (a) Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, § pk ` 1qp ª k`1 k (b) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Sn ppq ´ 1 § 1 1 dt § p . tp k ªn 1 1 1 dt § . p t p´1 (c) Conclure que la suite pSn ppqqnPN˚ converge. On notera ⇣ppq sa limite. II. Polynômes de Bernoulli et nombres de Bernoulli Dans cette partie, on note pRrXs, `, ¨q l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On identifie un polynôme de RrXs à sa fonction polynomiale associée définie sur R. 1) Soit f une fonction définie et continue sur r0, 1s, à valeurs réelles. Montrer qu’il existe une unique fonction F : r0, 1s Ñ R de classe C 1 sur r0, 1s telle que : F1 “ f et : ª1 0 F ptq dt “ 0. On appelle suite de polynômes de Bernoulli une suite pBn qnPN de polynômes de RrXs définie par : i) B0 “ 1, ii) @n P N˚ , Bn1 “ nBn´1 , iii) @n P N˚ , ª1 0 Bn ptq dt “ 0. 2) Montrer que les conditions i), ii) et iii) définissent une unique suite pBn qnPN de polynômes de RrXs. On l’appellera alors la suite des polynômes de Bernoulli. Pour tout n P N, on note : bn “ Bn p0q. On dit que bn est le n-ème nombre de Bernoulli. 3) Calculer B1 et B2 . En déduire b1 et b2 . 4) (a) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, calculer Bn p1q ´ Bn p0q. (b) Montrer que : @n P N, Bn pXq “ p´1qn Bn p1 ´ Xq. (c) Montrer alors que pour tout p P N˚ , b2p`1 “ 0. 3 - Concours 2014 n ˆ ˙ ÿ n 5) (a) Montrer que pour tout n P N, Bn pXq “ b Xk. k n´k k“0 (b) En déduire que la suite des nombres de Bernoulli vérifie : @p P N, p • 2, (c) Montrer que pour tout p P N, b2p “ 2p ÿ k“0 ˆ ˙ 2p bk . k p ˆ ˙ ÿ p b “ 0. k p´k k“1 (d) En déduire que pour tout p P N, p • 2, on a : b2p “ ´ 2p´2 ÿ ˆ2p ` 2˙ 1 bk . k p2p ` 2qp2p ` 1q k“0 Ces dernières relations permettent de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence. Elles permettent également de prouver que les nombres de Bernoulli sont rationnels. III. 1) Pour tout t Ps0, ⇡s, calculer n ÿ Calcul de ⇣p2pq cosp2ktq, puis déterminer une constante réelle telle que : k“1 @t Ps0, ⇡s, n ÿ sinpp2n ` 1qtq “ cosp2ktq ` . 2 sinptq k“1 2) Montrer que pour toute fonction f : r0, ⇡s Ñ R de classe C 1 sur r0, ⇡s on a : lim ª⇡ nÑ`8 0 f ptq sinpp2n ` 1qtq dt “ 0. Pour tout couple pp, kq d’entiers naturels, on définit Jp,k “ ª⇡ 0 ˆ ˙ t B2p cosp2ktq dt. ⇡ 3) (a) A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J1,k pour tout k P N. (b) Pour p P N, p • 2, trouver une relation entre Jp,k et Jp´1,k . (c) En déduire l’expression de Jp,k en fonction de p et de k pour tout pp, kq P N2 . Dans la suite, on considère un entier p P N˚ fixé et on définit la fonction 'p : r0, ⇡s Ñ R par : 'p p0q “ 0, 'p p⇡q “ 0 et : @t Ps0, ⇡r, 'p ptq “ B2p p ⇡t q ´ b2p ¨ sinptq Il est admis dans la suite du problème que la fonction 'p est de classe C 1 sur r0, ⇡s. 4) (a) Donner une expression de ª⇡ 0 'p ptq sinpp2n ` 1qtq dt en fonction de n, p et de b2p . (b) En déduire la valeur de ⇣p2pq en fonction de p et de b2p . (c) Donner les valeurs de ⇣p2q et ⇣p4q. 4 - Concours 2014 En 1882, Lindemann démontra que ⇡ est transcendant. C’est-à-dire que ⇡ n’est racine d’aucun polynôme (non nul) à coefficients rationnels. Ce résultat a permis de prouver que tous les nombres ⇣p2nq sont irrationnels. Le premier résultat concernant les ⇣p2n ` 1q n’est arrivé qu’en 1978, lorsque Apéry démontra que ⇣p3q est irrationnel. Il aura fallu plus d’un siècle pour obtenir un résultat concernant l’irrationalité des ⇣p2n ` 1q. Ces nombres restent encore très mystérieux à l’heure actuelle. En 2001, Zuidilin a montré qu’au moins un nombre parmi ⇣p5q, ⇣p7q, ⇣p9q et ⇣p11q est irrationnel. IV. Irrationalité de ⇣p2q Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et pour tout x réel, on pose fn pxq “ xn p1 ´ xqn . n! 1) Soit n P N˚ . (a) Montrer qu’il existe n ` 1 entiers en , en`1 , ¨ ¨ ¨ , e2n tels que, pour tout x P R, fn pxq “ pkq (b) Montrer que pour tout k P N, fn p0q est entier. 2n 1 ÿ ei xi . n! i“n pkq (c) En remarquant que pour tout x P R, fn pxq “ fn p1 ´ xq, montrer que fn p1q est entier. On veut prouver que ⇡ 2 est irrationnel. On va raisonner par l’absurde : supposons qu’il existe deux entiers u et u u v tels que la fraction soit irréductible (c’est-à-dire tels que pgcd pu, vq “ 1) tels que ⇡ 2 “ . v v 2) Pour tout n P N˚ , on définit la fonction Fn sur R par : ´ ¯ @x P R, Fn pxq “ v n ⇡ 2n fn pxq ´ ⇡ 2n´2 fnp2q pxq ` ⇡ 2n´4 fnp4q pxq ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn fnp2nq pxq . (a) Montrer que pour tout n P N˚ , Fn p0q et Fn p1q sont des entiers. (b) Pour tout n P N˚ , on note gn la fonction définie sur R par : @x P R, gn pxq “ Fn1 pxq sinp⇡xq ´ ⇡Fn pxq cosp⇡xq. Montrer que : @x P R, gn1 pxq “ ⇡ 2 un fn pxq sinp⇡xq. (c) Établir que pour tout n P N˚ , An “ ⇡un ª1 0 fn pxq sinp⇡xq dx est un entier. Dans la suite, on note pwn qnPN la suite définie par : @n P N, wn “ 3) (a) Montrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n P N, n • n0 , wn † (b) Montrer que pour tout x P r0, 1s, 0 § fn pxq § un . n! 1 . 2 1 . n! (c) En déduire que pour tout n P N, n • n0 , An Ps0, 1r, puis que ⇡ 2 est irrationnel. Conclure quant à l’irrationalité de ⇣p2q. (d) Peut-on déduire de ce qui précède l’irrationalité de ⇡ ?