Département Informatique Quelques Notions Mathématiques Elémentaires Utilisées en Ingénierie 1. Logarithme ......................................................................................................................................................3 1.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 3 1.2 Logarithme népérien ...................................................................................................................... 3 1.3 Logarithme décimal ....................................................................................................................... 3 1.4 Dérivation du logarithme ............................................................................................................... 3 2. Exponentielle...................................................................................................................................................4 2.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 4 2.2 Dérivation ...................................................................................................................................... 4 3. Nombres complexes.........................................................................................................................................5 3.1 Somme de deux nombres complexes ............................................................................................. 5 3.2 Produit de deux nombres complexes.............................................................................................. 5 3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe............................................................... 5 3.4 Représentation en module et argument .......................................................................................... 6 3.5 Complexe conjugué (même partie réelle et partie imaginaire opposée) ........................................ 6 3.6 Inverse d’un nombre complexe...................................................................................................... 6 4 Fonctions trigonométriques, exponentielles complexes ...................................................................................7 4.1 Fonctions sinus et cosinus, périodiques de période 2π................................................................... 7 4.2 Exponentielles complexes.............................................................................................................. 9 5 Polynômes ......................................................................................................................................................10 5.1 Polynôme du premier degré ......................................................................................................... 10 5.2 Polynôme du deuxième degré ...................................................................................................... 10 5.3 Les racines de p2(x)...................................................................................................................... 11 5.4 Calcul des racines ........................................................................................................................ 12 5.5 Polynôme de degré n.................................................................................................................... 13 5.6 Factorisation de polynôme ........................................................................................................... 13 5.7 Développement de ( x + y ) , factorielle, combinaisons ............................................................ 13 5.8 Fractions rationnelles de polynômes ............................................................................................ 14 n 6 Dérivation d’une fonction ..............................................................................................................................15 6.1 Définition ..................................................................................................................................... 15 6.2 Dérivée et pente de la représentation graphique d’une fonction .................................................. 16 6.3 Dérivée d’un produit .................................................................................................................... 16 6.4 Dérivée de l’inverse ..................................................................................................................... 16 6.5 Dérivée d’une fonction composée................................................................................................ 17 6.6 Quelques dérivées ........................................................................................................................ 17 6.7 Développement limité au premier et au deuxième ordre.............................................................. 17 6.8 Série géométrique ........................................................................................................................ 18 7 intégrales et primitives ...................................................................................................................................19 8 Vecteurs et Matrices.......................................................................................................................................20 8.1 Produit scalaire............................................................................................................................. 20 8.2 Produit vectoriel........................................................................................................................... 21 8.3 Produit d’une matrice par un vecteur et de matrices .................................................................... 22 8.4 Produit de matrices ...................................................................................................................... 23 8.5 Matrice représentant un changement de base............................................................................... 24 8.6 Matrice de rotation d’angle θ dans un espace à deux dimensions................................................ 25 8.7 Matrice de rotation dans un espace à trois dimensions ................................................................ 26 8.8 Résolution d’un système d’équations linéaires ............................................................................ 27 1 8.9 Inverse d’une matrice................................................................................................................... 27 8.10 Matrices singulières, vecteurs propres et valeurs propres .......................................................... 28 Les lettres grecques...........................................................................................................................................29 Références Utiles...............................................................................................................................................30 INDEX...............................................................................................................................................................31 Index HTML ......................................................................................................................................................32 Retour au début du document 2 1. Logarithme log a ( x) (logarithme en base a : la plupart du temps en base « e » ou en base 10) ; le logarithme est défini pour les valeurs positives de x. 1.1 Propriétés log a ( x. y ) = log a ( x) + log a ( y ) log a ( x n ) = n. log a ( x ) log a (a) = 1 ; log a (1) = 0 x log a ( ) = log a ( x) − log a ( y ) y Retour au début du document 1.2 Logarithme népérien a = e = 2.71828 ; notation : log e ( x) ou ln(x ) 2 1 1 1 e 0 0 ln ( x) 1 2 3 4 0 1 2 3 4 x Représentation graphique du logarithme népérien ; il tend vers − ∞ quand x tend vers 0 ; croissance lente quand x augmente ln( x. y ) = ln( x ) + ln( y ) ln(e x ) = x log a ( x) = ln( x) ln(a) 1.3 Logarithme décimal a = 10 ; notation usuelle : log(x ) , log10 ( x) Décibel : AdB = 20. log10 ( A) 1.4 Dérivation du logarithme : d ln( x ) 1 = dx x Retour au début du document 3 2. Exponentielle (Fonction réciproque du logarithme) e = 2.718281828459045235360287471352 662497757247093699959574966967 6277240 y ( x ) = exp( x ) ou bien y ( x) = e x e0 = 1 exp ( x) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 e 1 4 3 2 1 0 1 2 x Représentation graphique de l’exponentielle : la fonction est positive, tend vers 0 quand x tend vers moins l’infini et augmente indéfiniment quand x tend vers plus l’infini. 2.1 Propriétés exp( x + y ) = exp( x ). exp( y ) Plus généralement, pour un nombre a>0 a x + y = a x .a y ln(e x ) = x a x = e x. ln( a ) 0 0 = 1 (par convention) 2.2 Dérivation : d exp( x) = exp( x) dx Retour au début du document 4 3. Nombres complexes C’est une représentation d’un couple de coordonnées réelles associé à des opérations bien définies (en particulier la multiplication) z = x + i. y , où « i » est un nombre « imaginaire » pur tel que i 2 = −1 : y=Im(z) 2 i 1 0 1 .x 1 0 1 2 = Re(z) 3 Représentation dans le plan du nombre complexe z = 2+i Retour au début du document 3.1 Somme de deux nombres complexes Si z1 = x1 + i.y1 ; z 2 = x2 + i.y 2 alors : z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i.( y1 + y 2 ) , z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i.( y1 − y 2 ) . 3.2 Produit de deux nombres complexes (Lorsqu’on développe le produit, on applique la règle i 2 = −1 ) z1 .z 2 = ( x1 .x2 − y1 . y 2 ) + i.( x1 . y1 + x2 . y 2 ) 3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe Re( z ) = x ; Im( z ) = y Retour au début du document 5 3.4 Représentation en module et argument z = ρ . exp(i.θ ) 2 z = x2 + y2 = ρ 2 θ = arg(z ) (l’argument est défini entre − π et + π ) Attention en programmation à l’arc tangente pour calculer un argument : utiliser la fonction « atan2(y,x)» et non la fonction « arc tan(y/x)» qui donne un résultat entre − π / 2 et + π / 2 y=Im(z) = ρ.sin(θ) 2 ρ= 5 1 ρ 0 θ tan(θ ) = 1 / 2 1 1 0 1 2 . 3 x = Re(z) = ρ.cos(θ) Représentation (en module et argument) dans le plan du nombre complexe z = 2+i 3.5 Complexe conjugué (même partie réelle et partie imaginaire opposée) z = x − i. y z = ρ . exp( −i.θ ) z. z = x 2 + y 2 = ρ 2 z1 .z 2 = ρ1 .ρ 2 . exp i.(θ1 + θ 2 ) 2 z = z. z = x 2 + y 2 = ρ 2 3.6 Inverse d’un nombre complexe 1 / z = (1 / ρ ). exp( −i.θ ) = z / z 2 En programmation, il peut être opportun de remplacer une division par z par le produit par 2 z / z (division par un nombre réel positif) Retour au début du document 6 4 Fonctions trigonométriques, exponentielles complexes π : 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816 4.1 Fonctions sinus et cosinus, périodiques de période 2π. y 1.2 sin(θ) θ 0 1.2 cos(θ) 1 x . 1.2 0 1.2 Retour au début du document Cosinus 1.5 1 0.5 cos( t ) 0 0.5 1 1.5 . 6.28 3.14 0 3.14 6.28 3.14 6.28 t − sin(x) Dérivée de cos(x ) : Sinus 1.5 1 0.5 sin( t ) 0 0.5 1 1.5 . 6.28 3.14 0 t Dérivée de sin(x) : cos(x) Retour au début du document 7 Tangente (périodique de période π) tan(t ) = sin(t ) cos(t ) 3 2 1 tan( t ) 0 1 2 3 6.28 . 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 t 1 + tan 2 ( x) Dérivée de tan(x ) : Arc cosinus 3.14 2.62 2.09 arccos( t ) 1.57 1.05 0.52 0 . 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 t − Dérivée de arccos(x) : 1 1− x2 Retour au début du document Arc tangente 3.14 1.57 arctan( t ) 0 1.57 3.14 . 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 t Dérivée de arctan( x ) : 1 1+ x2 Attention en programmation à l’ « arc tangente » pour calculer un argument : utiliser la fonction « atan2(y,x)» et non la fonction « atan(y/x)» qui donne un résultat entre − π / 2 et + π / 2 . Retour au début du document 8 4.2 Exponentielles complexes Formule d'Euler exp(ix ) = cos( x) + i. sin( x ) 1 cos( x) = [exp(ix ) + exp( −ix )] 2 1 sin( x) = [exp(ix ) − exp( −ix )] 2i Un nombre réel négatif r a un module qui vaut |r| et un argument qui vaut π. L’utilisation de cette représentation permet de retrouver les formules trigonométriques comme par exemple cos 2 a + sin 2 a = 1 , sin( a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b , cos( a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b , dont on déduit : 1 (cos( a + b) + cos(a − b) ) , 2 tan a + tan b . tan( a + b) = 1 − tan a. tan b cos a. cos b = Remarque : le logarithme népérien d’un nombre complexe est ln( z ) = ln (( ρ .e iθ ) ) = ln (ρ ) + iθ + 2ikπ dont on peut déduire ... i −i = e π Retour au début du document 9 5 Polynômes 5.1 Polynôme du premier degré C’est la fonction « affine » p1 ( x ) = a1 .x + a 0 5 x+ 1 0 . 5 4 0 4 x Exemple de polynôme du premier degré p1 ( x ) = x + 1 Il s’annule pour une valeur de x, la racine : x=− a0 a1 Retour au début du document 5.2 Polynôme du deuxième degré p 2 ( x ) = a 2 .x 2 + a1 .x + a 0 5 2 x + x− 2 0 5 4 0 4 x 2 Exemple de tracé de fonction polynôme p2 ( x ) = x + x − 2 Un polynôme de degré deux dont le coefficient du terme de plus haut degré (soit a2) est a positif présente un seul minimum obtenu pour x = − 1 (valeur pour laquelle sa dérivée 2a 2 s’annule) Retour au début du document 10 5.3 Les racines de p2(x) Ce sont les deux nombres x1 et x 2 pour lesquels p 2 ( x) s’annule ( p2 ( x) = a 2 ( x − x1 ).( x − x2 ) = a2 . x 2 − ( x1 + x2 ).x + x1.x2 ) La deuxième écriture fait apparaître la somme et le produit des racines 5 2 x + x− 2 0 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Sur cet exemple, le polynôme s’annule pour deux valeurs de x : -2 et 1 Retour au début du document 11 5.4 Calcul des racines f (x ) x1 = 1 ⎡ 2 − a1 + a1 − 4a 2 a 0 ⎤ ⎥⎦ 2a 2 ⎢⎣ 1 ⎡ 2 − a1 − a1 − 4a 2 a 0 ⎤ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 2a 2 x2 = Ces racines peuvent être réelles ou complexes, elles sont complexes conjuguées lorsque 2 les coefficients a2 , a1 et a0 sont réels et le discriminant a1 − 4a 2 a0 est négatif [ ] 5 2 x − 2 ⋅ x+ 2 0 5 4 0 4 x Polynômes du deuxième degré n’ayant pas de racines réelles ; le polynôme p 2 ( x ) = x 2 − 2 x + 2 a deux racines imaginaires conjuguées : (1+ i) et (1- i) 2 1 0 1 2 . 2 1 0 1 2 Racines dans le plan complexe du polynôme p 2 ( x ) = a 2 .x 2 + a1 .x + a 0 Retour au début du document 12 5.5 Polynôme de degré n Le polynôme p n ( x ) = a n .x n + a n −1 .x n −1 + L + a 2 .x 2 + a1 .x + a 0 a n racines : si les racines sont simples, il s’annule en exactement n points dans le plan complexe ; si les coefficients ak du polynôme sont réels, les racines complexes se présentent par pairse : le complexe conjugué d’une racine est lui aussi racine. Il existe des méthodes numériques de calcul des racines d’un polynôme Retour au début du document 5.6 Factorisation de polynôme Si r est une racine de P(x), polynôme de degré m, alors il existe un polynôme Q(x) de degré (m-1) tel que P(x)=(x-r).Q(x) 5.7 Développement de ( x + y ) n , factorielle, combinaisons n ( x + y ) n = ∑ Cnk x k . y n − k k =0 Notation : Combinaison : Factorielle : ⎛n⎞ n! pour k = 0L n : C nk = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ k!(n − k )! n!= 1.2.3.4.L.n ; 0!= 1 ; 1!= 1 2!= 2 ; 3!= 6 ; 4!= 24 ; 5!= 120 ,… Construction récurrente du « triangle de Pascal » C n0 = C nn = 1 ; pour k=1…n-1 : C nk = C nk−−11 + C nk−1 . Retour au début du document 13 5.8 Fractions rationnelles de polynômes B( z ) A( z ) (Nous supposerons que le coefficient du terme de plus haut degré p du dénominateur A(z) , soit ap,vaut 1). Si le degré du numérateur est inférieur au degré p du dénominateur, et si les p racines du dénominateurs (que nous appellerons z1, z2, …, zp) sont distinctes, il est B( z ) sous la forme d’une somme de fractions rationnelles de degré 1 possible d’écrire A( z ) cp ck c c2 B( z ) = 1 + +L+ +L+ A( z ) z − z1 z − z 2 z − zk z − zp où le coefficient ck (« résidu » des « pôles » zk de la fraction rationnelle ) est la valeur de B( z ) .( z − z k ) calculée pour z = z k (ce calcul est possible car A( z ) 1 B( zk ) 1 .( z − z k ) s’écrit ∏ , soit ck = A( z ) ∏ ( zk − zm ) m≠ k z − z m lim z → zk m≠k Retour au début du document 14 6 Dérivation d’une fonction 6.1 Définition La dérivée de la fonction f(x) f ' ( x) = f ( x + Δx) − f ( x) d f ( x) = lim Δx → 0 Δx dx ( lim Δx →0 : limite lorsque Δx tend vers zéro de …) La fonction f (x) est dérivable si cette limite existe et est finie. f (x) f ( x + Δx) f (x) Δx → 0 f (x) x x. . x x + Δx Représentation graphique d’un calcul de dérivée : lorsque Δx tend vers 0, la droite passant f ( x + Δx ) − f ( x ) tend vers la par le point de coordonnées x et f(x) et dont la pente est Δx tangente à la courbe représentant f(x). La dérivée donne la pente de la tangente de la représentation graphique de la fonction. La dérivée d’une somme de fonctions est la somme des dérivées des fonctions La dérivée seconde notée f " ( x) ou d 2 f ( x) dx 2 est la dérivée de la dérivée f ' ( x) Retour au début du document 15 6.2 Dérivée et pente de la représentation graphique d’une fonction 1.5 dérivée négative 1 maximum 0.5 sin ( t ) 0 0.5 1 1.5 dérivée positive . minimum 6.28 3.14 0 3.14 6.28 t Si f ' ( x0 ) > 0 , f (x) est croissante au voisinage de x0 (pente positive) Si f ' ( x0 ) < 0 , f (x) est décroissante au voisinage de x0 (pente négative) Si f ' ( x0 ) = 0 et f " ( x0 ) < 0 , f (x) est maximum en x0 (pente nulle) Si f ' ( x0 ) = 0 et f " ( x0 ) > 0 , f (x) est minimum en x0 (pente nulle) 6.3 Dérivée d’un produit d [u ( x).v( x)] = v( x) d [u ( x)] + u ( x). d [v( x)] dx dx dx 6.4 Dérivée de l’inverse d ⎡ 1 ⎤ 1 d =− [u ( x)] ⎢ ⎥ dx ⎣ u ( x) ⎦ u ( x) 2 dx Retour au début du document 16 6.5 Dérivée d’une fonction composée ⎡d ⎤ d d f ( g ( x)) = ⎢ f ( y )⎥ . g ( x) dx ⎣ dy ⎦ calculée pour y = g ( x ) dx Exemple d sin( x 2 ) = cos( x 2 ).(2 x) dx 6.6 Quelques dérivées Monôme de degré n positif x n : 1 Fraction n = x − n (n positif): x exponentielle e x : logarithme ln(x ) : cosinus cos(x) : sinus sin( x ) : tangente tan(x ) : n.x n −1 −n ou − n.x − n −1 n +1 x ex 1 x − sin( x ) cos(x) 1 + tan 2 ( x) Retour au début du document 6.7 Développement limité au premier et au deuxième ordre df ( x) 1 d 2 f ( x) 2 f ( x + Δx) = f ( x) + Δx + Δx + L dx 2 dx 2 On a ainsi (mais les convergences peuvent être très lentes …) Notation factorielle: n!= 1.2.3.4.L.n ; 2!= 2 ; 3!= 6 ; 4!= 24 ; 5!= 120 ,… x2 x3 x4 ln(1 + x) = x − − + +L 2 3 4 x3 x5 x7 sin( x) = x − − + +L 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos( x) = 1 − + + +L 2! 4! 6! ex = 1+ x + x2 x3 x4 + + +L 2! 3! 4! Retour au début du document 17 6.8 Série géométrique Pour x ≠ 1 Si x < 1 , 1 + x + x 2 + x 3 + L + x n − 2 + x n −1 = ∞ ∑x m=0 m = 1− xn 1− x 1 1− x Retour au début du document 18 7 intégrales et primitives 2 f(x) 0.75 a 0.5 b . x 0 125 250 375 500 Intégrale : calcul de la surface comprise entre l’axe des abscisses et la fonction b I = ∫ a f ( x)dx Primitive F(x) : la fonction qui a pour dérivée f(x) ; F ( x ) = ∫ f ( x) dx + C Elle est définie à une constante près ; l’intégrale I est la différence entre les valeurs prises par la primitive I = F (b) − F (a ) Retour au début du document Primitive de x n ; pour n > 0 : Primitive de 1 ; pour n > 1 : xn Primitive de 1 : x Primitive de e x : 1 n +1 x +C n +1 − 1 1 +C n − 1 x n −1 ln( x) + C ex + C Primitive de cos(x) : sin( x) + C Primitive de sin( x ) : − cos( x) + C Retour au début du document 19 8 Vecteurs et Matrices Un vecteur représente les coordonnées d’un point dans un espace ; ici, nous considérons surtout les espaces à deux et trois dimensions (le plan et l’espace usuel) : les vecteurs ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ colonnes de type v = ⎜⎜ ⎟⎟ et du type w = ⎜ y ⎟ ; le transposé d’un vecteur colonne est un ⎝ y⎠ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ T ⎛ x⎞ vecteur ligne v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ( x, y ) ⎝ y⎠ T la norme euclidienne d’un vecteur est sa longueur, par exemple dans les espaces à 2 ou 3 dimensions v = x2 + y2 , w = x2 + y 2 + z 2 8.1 Produit scalaire de deux vecteurs de même dimension ⎛a⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = ⎜b⎟ ; v = ⎜ y⎟ : ⎜c⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ (u , v ) = u T .v = ( a b c ) ⎜ y ⎟ = a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z ⎝z⎠ v θ u Le résultat est un scalaire parfois noté < u , v >= u . v . cos(θ ) Si les deux vecteurs sont orthogonaux, l’angle θ vaut π/2 et le produit scalaire est nul. Retour au début du document 20 8.2 Produit vectoriel dans un espace à trois dimensions ⎛a ⎞ ⎜b⎟ × ⎜ ⎟ ⎝c ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ b ⋅ z − c⋅ y ⎞ ⎜y⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ c ⋅ x − a ⋅ z ⎟. ⎝ z ⎠ ⎝ a⋅ y − b ⋅ x ⎠ Le résultat est un vecteur orthogonal aux deux vecteurs dont on calcule le produit vectoriel et dont l’amplitude vaut (v × w) = v . w . sin(θ ) . Si les deux vecteurs sont colinéaires l’angle θ est nul et le produit vectoriel est nul. Retour au début du document 21 8.3 Produit d’une matrice par un vecteur et de matrices Une matrice est un tableau de nombres qui est associée aux opérations linéaires sur les vecteurs : le produit d’une matrice par un vecteur est la transformation linéaire des coordonnées du vecteur ; La matrice M a autant de colonnes que le vecteur v a de composantes ⎛a b c ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ M.v = ⎜ d f g ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎝ h k m⎠ ⎝ z ⎠ ⎛ a⋅ x + b ⋅ y + c⋅ z ⎞ ⎜ d⋅ x + f ⋅ y + g⋅ z ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ h⋅ x + k⋅ y + m⋅ z ⎠. Matrice identité (souvent nommée I ) : composée de « uns » sur la « diagonale principale » et des zéros ailleurs, par exemple la matrice identité de dimension 3x3 est ⎛1 0 0⎞ I = ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝0 0 1⎠ Le produit de la matrice I par un vecteur v donne comme résultat le vecteur v Matrice transposée : on l’obtient en échangeant les numéros d’indice de ligne et de colonne ⎛a b c ⎞ ⎛a d h⎞ T ⎜ ⎟ M= d f g , M = ⎜ b f k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ h k m⎠ ⎝ c g m⎠ Retour au début du document 22 8.4 Produit de matrices ⎛a b c ⎞ ⎛A B C⎞ ⎜ d f g ⎟ ⋅⎜ D F G ⎟ ⎛⎜ a⋅ A + b⋅ D + c⋅ H ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ d⋅ A + f ⋅ D + g⋅ H ⎝ h k m⎠ ⎝ H K M ⎠ ⎝ h⋅ A + k⋅ D + m⋅ H ⎞ ⎟ ⎟ h ⋅ B + k⋅ F + m⋅ K h ⋅ C + k⋅ G + m⋅ M ⎠. a⋅ B + b ⋅ F + c⋅ K a⋅ C + b ⋅ G + c⋅ M d⋅ B + f ⋅ F + g⋅ K d⋅ C + f ⋅ G + g⋅ M Si A est une matrice de P lignes et Q colonnes, et B une patrice de Q lignes et R colonnes, les éléments C p ,r de la matrice produit C = A.B qui a P lignes et R colonnes s’obtiennent à partir d’un ligne de A et d’une colonne de B en calculant le produit scalaire Q C p ,r = ∑ A p ,q .Bq ,r . q =1 (L’indice p est le numéro de ligne et l’indice r est le numéro de colonne de l’élément C p ,r ) Attention : le produit de matrices n’est pas commutatif sauf dans des cas particuliers ! transposée d’un produit ( A.B )T = B T AT Retour au début du document 23 8.5 Matrice représentant un changement de base ⎛ x⎞ Soit un vecteur w représenté par ses coordonnées ⎜⎜ ⎟⎟ ; pour le représenter dans une autre y ⎝ ⎠ ⎛a⎞ ⎛c⎞ base constituée de deux vecteurs u et v de composantes u = ⎜⎜ ⎟⎟ , v = ⎜⎜ ⎟⎟ , on écrit ⎝b⎠ ⎝d ⎠ ⎛c⎞ ⎛a⎞ ⎛ x⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = α .u + β .v = α .⎜⎜ ⎟⎟ + β .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝d ⎠ ⎝b⎠ ⎝ y⎠ la représentation dans la nouvelle base (u, v) est −1 ⎛α ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎟ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝β ⎠ ⎝b d ⎠ ⎝ y⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛α ⎞ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ y⎠ ⎝b d ⎠ ⎝β ⎠ y v d y b w β α u x x a c représentation d’un changement de base si dans la base initiale, une opération est représentée par une matrice M et si on appelle P la ⎛a c ⎞ ⎟⎟ de base, dans le repère (u,v) l’opération sera représentée b d ⎠ ⎝ matrice de changement ⎜⎜ par la matrice R R = P −1.M .P Retour au début du document 24 8.6 Matrice de rotation d’angle θ dans un espace à deux dimensions Pour exprimer une rotation d’un angle θ autour de l’origine d’un point de coordonnées (x, y) on effectue le produit matrice x vecteur Représentation matricielle y ⎛ cos( θ) sin( θ) ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝ −sin( θ) cos( θ) ⎠ ⎝ y ⎠ θ x La matrice inverse ( représentant la rotation inverse) est donnée par sa transposée. Retour au début du document 25 8.7 Matrice de rotation dans un espace à trois dimensions On peut la décomposer en une rotation d’un angle ϕ autour de l’axe y (ordonnées) suivie d’une rotation d’angle q autour de l’axe z (axe vertical) Représentation matricielle z ϕ y ⎛x ⎞ ⎛ cos ( ϕ ) 0 sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ y0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −sin ( ϕ ) 0 cos ( ϕ ) ⎠ ⎜ z0 ⎟ ⎝ ⎠ x Première rotation autour de l’axe y z ⎛x ⎞ ⎛ cos ( θ ) sin ( θ ) 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − sin ( θ ) cos ( θ ) 0 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ 0 1 ⎠⎜ z ⎟ ⎝ 0 ⎝ 1⎠ θ y x Deuxième rotation autour de l’axe z Retour au début du document Représentation matricielle de la combinaison de des deux opérations : la deuxième rotation se traduit par une multiplication sur le résultat de la première ce qui correspond à une multiplication à gauche de la première matrice par la deuxième : ⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ cos ( θ) sin ( θ) 0 ⎞ ⎢⎛ cos ( ϕ ) 0 sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟⎥ ⎜ −sin ( θ) cos ( θ) 0 ⎟ ⎢⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ y 0 ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 1 ⎠ ⎢⎝ −sin ( ϕ ) 0 cos ( ϕ ) ⎠ ⎜ z ⎟⎥ 0 ⎝ 0 ⎣ ⎝ 0 ⎠⎦ ce qui correspond au produit ⎛x ⎞ ⎛ cos ( θ) ⋅ cos ( ϕ ) sin ( θ) cos ( θ) ⋅ sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −sin ( θ) ⋅ cos ( ϕ ) cos ( θ) −sin ( θ) ⋅ sin ( ϕ ) ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟ ( ) ( ) − sin ϕ 0 cos ϕ ⎝ ⎠ ⎜ z0 ⎟ ⎝ ⎠ Retour au début du document 26 8.8 Résolution d’un système d’équations linéaires Cas d’une matrice 2x2 Résolution de ⎛ a b ⎞⎛ x ⎞ = ⎛ z ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠⎝ y ⎠ ⎝ t ⎠ La solution est ⎛a b⎞ ⎜ ⎟ ⎝c d⎠ ⎡ ( d⋅ z − b ⋅ t) ⎤ ⎛ z ⎞ ⎢ ( a⋅ d − b ⋅ c) ⎥⎥ ⋅⎜ ⎟ = ⎢ ⎝ t ⎠ ⎢ ( −c⋅ z + a⋅ t) ⎥ ⎣ ( a⋅ d − b ⋅ c) ⎦ −1 Retour au début du document 8.9 Inverse d’une matrice L’inverse de la matrice M est la matrice M -1 telle que : où I est la matrice identité. M .M −1 = M −1.M = I Inverse d’un produit de matrices : le produit des inverses mais calculé dans l’ordre inverse ( A.B )−1 = B −1. A −1 Cas d’une matrice 2x2 : −1 1 ⎛a b⎞ = ⎛ d −b ⎞ ⋅⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ( a⋅ d − b ⋅ c) ⎝ −c a ⎠ ⎝c d⎠ a Le dénominateur ( a⋅ d − b⋅ c) est le déterminant de la matrice. Si les deux vecteurs ⎛⎜ ⎞⎟ et ⎝c⎠ b ⎛ ⎞ sont colinéaires, ce déterminant est nul et la la matrice n’est pas inversible. ⎜ ⎟ ⎝d⎠ Cas d’une matrice 3x3 : ⎛⎛ a b c ⎞⎞ Le déterminant de la matrice det ⎜ ⎜ d f g ⎟ ⎟ ou encore ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝⎝ h k m⎠⎠ ⎛a b c ⎞ ⎜ d f g ⎟ est égal à ⎜ ⎟ ⎝ h k m⎠ a⋅ f ⋅ m − a⋅ g ⋅ k − d ⋅ b ⋅ m + d ⋅ c⋅ k + h ⋅ b ⋅ g − h ⋅ c⋅ f Si un vecteur ligne (ou un vecteur colonne) de la matrice est une combinaison linéaire d’autres vecteurs lignes (d’autres vecteurs colonnes), le déterminant de la matrice est nul. Retour au début du document 27 8.10 Matrices singulières, vecteurs propres et valeurs propres Une matrice est singulière si son déterminant est nul : dans ce cas il n’est pas possible de trouver la solution du système d’équations associé Vecteur propres et valeurs propres Si une matrice M est carrée de dimension nxn, il existe en général n vecteurs à n composantes (nommés vecteurs propres v1 , v2 , L , vn ) et n scalaires (réels cou complexes) nommés valeurs propres λ1 , λ 2 ,L, λn tels que M .vk = vk .λk Les valeurs propres sont les racines du déterminant de la matrice ( M − I .λ ) qui vérifient ainsi M − I .λ = 0 a b⎞ Par exemple dans le cas d’une matrice de dimensions 2x2 ⎛⎜ ⎟, les deux valeurs propres ⎝c d⎠ a−λ b ⎞ sont les racines de ⎛⎜ ⎟ =0, c'est-à-dire de l’équation du deuxième degré ⎝ c d−λ⎠ 2 λ − ( a + d )λ + ad − bc =0 ⎛a b c ⎞ Et dans le cas d’une matrice de dimension 3x3, ⎜ d f g ⎟, les valeurs propres sont les trois ⎜ ⎟ ⎝ h k m⎠ racines de c ⎞ ⎛a − λ b ⎜ d f − λ g ⎟ =0 ⎜ ⎟ k m− λ⎠ ⎝ h C'est-à-dire de l’équation polynômiale du troisième degré 2 a⋅ f ⋅ m − a⋅ g ⋅ k − d ⋅ b ⋅ m + d⋅ c⋅ k + h ⋅ b ⋅ g − h ⋅ c⋅ f + ( g ⋅ k + d ⋅ b − a⋅ f − a⋅ m − f ⋅ m + h ⋅ c) ⋅ λ + ( a + f + m) ⋅ λ − λ 3 Les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative près ; quand une valeur propre λ de la matrice M est connue, on calcule le vecteur propre associé en résolvant un système linéaire d’équations. Par exemple dans le cas d’une matrice de dimension 2x2 ⎛a b ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ le vecteur propre associée à la valeur propre λ (déjà calculée) est proportionnel ⎝c d ⎠ ⎛ b ⎞ ⎟⎟ au vecteur ⎜⎜ ⎝λ − a⎠ Retour au début du document 28 =0 Les lettres grecques Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alphabet_grec Lettre Lettre capitale minuscule Français Α α alpha β (var. ϐ) Β bêta Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ (var. ς) τ υ φ χ ψ ω gamma delta epsilon dzêta êta thêta iota kappa lambda mu nu xi omicron pi rhô sigma tau upsilon phi chi psi oméga Retour au début du document 29 Références Utiles On trouve une multitude de sites où ces notions sont détaillées et développées ; par exemple, vous trouverez des informations intéressantes sur les sites suivants (octobre 2009) Un site bien fait et plus complet que le présent résumé : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/index.html Site sur les notations mathématiques http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_(mathematiques) « Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences physiques et dans la Technique ».(extraits de la norme internationale iso 31-11 :1992) http://aalem.free.fr/maths/mathematiques.pdf Pour le vocabulaire anglais on pourra consulter le site http://www.mathwords.com/ et, à ce sujet, plusieurs références sur la page http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/writing/writing.html Les commentaires sont bienvenus ; contacts : [email protected] [email protected] [email protected] Retour au début du document 30 INDEX Arc cosinus, 8 Arc tangente, 8 argument, 6 base, 24 changement de base, 24 combinaisons, 13 complexes, 5 composantes, 24 conjugué, 6 Cosinus, 7 croissante, 16 décroissante, 16 dérivable, 15 Dérivation, 15 dérivée, 15 dérivée seconde, 15 deuxième degré, 10 Développement limité, 17 Euler, 9 Exponentielle, 4 exponentielles complexes, 7 Exponentielles complexes, 9 factorielle, 13 Factorisation, 13 formules trigonométriques, 9 Fractions rationnelles, 14 grecques, 29 imaginaire, 5 Intégrale, 19 intégrales, 19 Inverse, 27 Inverse d’un nombre complexe, 6 inverse d’un produit de matrices, 27 logarithme, 3 Logarithme décimal, 3 Logarithme népérien, 3 Matrice identité, 22 Matrices singulières, 28 maximum, 16 minimum, 16 module, 6 Nombres complexes, 5 norme, 20 norme euclidienne, 20 partie imaginaire, 5 Partie réelle, 5 Pascal, 13 pôles, 14 Polynômes, 10 premier degré, 10 Primitive, 19 primitives, 19 Produit de matrices, 23 Produit scalaire, 20 Produit vectoriel, 21 racines, 11 Références, 30 résidu, 14 Résolution, 27 rotation, 25, 26 Série géométrique, 18 Sinus, 7 Tangente, 8 transposé, 20 transposée d’un produit, 23 trigonométriques, 7 valeurs propres, 28 vecteur, 20 Vecteur propres, 28 Retour au début du document 31 Index HTML Arc cosinus Arc tangente argument base changement de base combinaisons complexes composantes conjugué Cosinus croissante décroissante dérivable Dérivation dérivée dérivée seconde deuxième degré Développement limité Euler Exponentielle exponentielles complexes Exponentielles complexes factorielle factorisation formules trigonométriques Fractions rationnelles grecques imaginaire Intégrale Inverse d’une matrice Inverse d’un nombre complexe inverse d’un produit de matrices logarithme Logarithme décimal Logarithme népérien Matrice identité Matrices singulières module maximum minimum Nombres complexes norme norme euclidienne partie imaginaire Partie réelle Pascal pôles Polynômes premier degré Primitive primitives Produit de matrices Produit scalaire Produit vectoriel racines Références résidu Résolution rotation rotation Série géométrique Sinus Tangente transposé (vecteur) transposée (matrice) transposée d’un produit trigonométriques valeurs propres vecteur Vecteur propres Retour au début du document 32