Département Informatique Quelques Notions Mathématiques Elémentaires Utilisées en Ingénierie

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Quelques Notions Mathématiques Elémentaires Utilisées en Ingénierie
1. Logarithme......................................................................................................................................................3
1.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 3
1.2 Logarithme népérien ...................................................................................................................... 3
1.3 Logarithme décimal ....................................................................................................................... 3
1.4 Dérivation du logarithme ............................................................................................................... 3
2. Exponentielle...................................................................................................................................................4
2.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 4
2.2 Dérivation ...................................................................................................................................... 4
3. Nombres complexes.........................................................................................................................................5
3.1 Somme de deux nombres complexes ............................................................................................. 5
3.2 Produit de deux nombres complexes.............................................................................................. 5
3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe............................................................... 5
3.4 Représentation en module et argument .......................................................................................... 6
3.5 Complexe conjugué (même partie réelle et partie imaginaire opposée) ........................................ 6
3.6 Inverse d’un nombre complexe...................................................................................................... 6
4 Fonctions trigonométriques, exponentielles complexes...................................................................................7
4.1 Fonctions sinus et cosinus, périodiques de période 2π................................................................... 7
4.2 Exponentielles complexes.............................................................................................................. 9
5 Polynômes ......................................................................................................................................................10
5.1 Polynôme du premier degré ......................................................................................................... 10
5.2 Polynôme du deuxième degré ...................................................................................................... 10
5.3 Les racines de p2(x)...................................................................................................................... 11
5.4 Calcul des racines ........................................................................................................................ 12
5.5 Polynôme de degré n.................................................................................................................... 13
5.6 Factorisation de polynôme ........................................................................................................... 13
5.7 Développement de , factorielle, combinaisons ............................................................ 13
n
yx )( +
5.8 Fractions rationnelles de polynômes............................................................................................ 14
6 Dérivation d’une fonction ..............................................................................................................................15
6.1 Définition ..................................................................................................................................... 15
6.2 Dérivée et pente de la représentation graphique d’une fonction .................................................. 16
6.3 Dérivée d’un produit .................................................................................................................... 16
6.4 Dérivée de l’inverse ..................................................................................................................... 16
6.5 Dérivée d’une fonction composée................................................................................................ 17
6.6 Quelques dérivées ........................................................................................................................ 17
6.7 Développement limité au premier et au deuxième ordre.............................................................. 17
6.8 Série géométrique ........................................................................................................................ 18
7 intégrales et primitives...................................................................................................................................19
8 Vecteurs et Matrices.......................................................................................................................................20
8.1 Produit scalaire............................................................................................................................. 20
8.2 Produit vectoriel........................................................................................................................... 21
8.3 Produit d’une matrice par un vecteur et de matrices.................................................................... 22
8.4 Produit de matrices ...................................................................................................................... 23
8.5 Matrice représentant un changement de base............................................................................... 24
8.6 Matrice de rotation d’angle θ dans un espace à deux dimensions................................................ 25
8.7 Matrice de rotation dans un espace à trois dimensions ................................................................ 26
8.8 Résolution d’un système d’équations linéaires ............................................................................ 27
1

8.9 Inverse d’une matrice................................................................................................................... 27
8.10 Matrices singulières, vecteurs propres et valeurs propres.......................................................... 28
Les lettres grecques...........................................................................................................................................29
Références Utiles...............................................................................................................................................30
INDEX...............................................................................................................................................................31
Index HTML......................................................................................................................................................32
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2

1. Logarithme
)(log x
a(logarithme en base a : la plupart du temps en base « e » ou en base 10) ; le
logarithme est défini pour les valeurs positives de x.
1.1 Propriétés
)(log)(log).(log yxyx aaa
+
=
)(log.)(log xnx a
n
a=
1)(log
=
a
a ; 0)1(log
=
a
)(log)(log)(log yx
y
xaaa −=
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1.2 Logarithme népérien
2.71828== ea ; notation : ou )(log x
e)ln(x
01234
4
3
2
1
0
1
2
0
1
ln x()
1e
x
Représentation graphique du logarithme népérien ;
il tend vers
∞
− quand x tend vers 0 ; croissance lente quand x augmente
)ln()ln().ln( yxyx
+
=
xex=)ln(
)ln(
)ln(
)(log a
x
x
a=
1.3 Logarithme décimal
10=a ; notation usuelle : ,
)log(x)(log10 x
Décibel : )(log.20 10 AAdB =
1.4 Dérivation du logarithme :
x
dxxd 1)ln( =
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3

2. Exponentielle
(Fonction réciproque du logarithme)
6277240 957496696747093699956624977572 52360287471384590452352.71828182=e
)exp()( xxy =ou bien x
exy =)(
1
0=e
43210 1 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
e
exp x()
01
x
Représentation graphique de l’exponentielle : la fonction est positive, tend vers 0 quand x
tend vers moins l’infini et augmente indéfiniment quand x tend vers plus l’infini.
2.1 Propriétés
)exp().exp()exp( yxyx
=
+
Plus généralement, pour un nombre a>0
yxyx aaa .= +
xex=)ln(
)ln(. axx ea
=
100
=
(par convention)
2.2 Dérivation :
)exp(
)exp( x
dx xd =
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4

3. Nombres complexes
C’est une représentation d’un couple de coordonnées réelles associé à des opérations bien
définies (en particulier la multiplication)
y
i
x
z.
+
=
,
où « i » est un nombre « imaginaire » pur tel que :
1
2−=i
10123
1
0
1
2
.
y=Im(z) i
x = Re(z)
Représentation dans le plan du nombre complexe z = 2+i
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3.1 Somme de deux nombres complexes
Si ; alors :
111 .yixz += 222 .yixz +=
).()( 212121 yyixxzz
+
+
+
=
+,
).()( 212121 yyixxzz
−
+
−
=
−.
3.2 Produit de deux nombres complexes
(Lorsqu’on développe le produit, on applique la règle )
1
2−=i
)...()..(. 2211212121 yxyxiyyxxzz
+
+
−
=
3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe
xz
=
)Re( ; yz
=
)Im(
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