corrigé

Algèbre linéaire I & II
Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Rafael Guglielmetti, Muriel Galley
http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html
Série de révision
Pour les révisions, vous pouvez vous baser sur cette série, toutes ( !) les séries d'exercice (en particulier
pour des exercices plus théoriques), les tests, les complément et, bien sûr, le cours
Ce corrigé est une version brouillon ; les réponses remplaceront au fur et à mesure
les énoncés. Merci de m'indiquer tout élément bizarre et/ou incorrect.
Les réponses sont données de manière courte ; ils est évident que vous devez être capables de
donner les détails.
Parfois, il s'agit simplement d'un hint.
Remarque :
Exercice 1
1, 3, 5 et 7.
(Structures algébriques)
(Produit d'espaces vectoriels)
dim V × W = dim V · dim W .
Exercice 2
(Sous-espaces et sommes directes)
Pensez aux fonctions suivantes :
Exercice 3
f (x) + f (−x)
,
2
f (x) − f (−x)
.
2
(Sous-espaces, sommes directes et bases)
Pensez aux matrices suivantes :
A + AT
A − AT
,
.
2
2
Exercice 4
(Indépendance linéaire et polynômes)
Calcul direct.
Exercice 5
(Transformations linéaires et orthogonales du plan)
b = 0 ; orthogonale.
Exercice 6
1. linéaire si et seulement si
2. linéaire, orthogonale.
3. linéaire, orthogonale.
4. linéaire, pas orthogonale si λ 6= ±1.
(Noyau et image)
On considère l'applicationf : R3 −→ R4 dénie de la manière suivante :
Exercice 7
f (x, y, z) = (2x − 2y + 4z, 5x − 4y + 7z, 3x − 2y + 3z, x − y + 2z).
1. ;
2.

2
5

3
1
−2
−4
−2
−1

4
7

3
2
3. 2
4. Base du noyau, apr exemple : {(1, 3, 1)}.
Base de l'image, par exemple : {(2, 5, 3, 1), (−2, −4, −2, −1)}.
(Noyau, injectivité)
Soient V et W deux K -espaces vectoriels et f : V −→ W une application linéaire.
Exercice 8
1. ;
2. ;
3. On ne peut rien dire.
4. ;
(Gauss-Jordan)
Soit b = (−16, 23, 0, 0, 0) et soit
W = span (1, −2, 1, 0, 0), (1, −2, 0, 1, 0), (5, −6, 0, 0, 1) .
Exercice 9
Les solutions du système sont exactement b + w, avec w ∈ W .
(Système d'équation à paramètres et nombre de solutions)
On a :
Si a = 0 et b 6= −1 : 0 solutions.
Si a = 0 et b = −1 : une innité de solutions.
Autrement : exactement une solution.
Exercice 10
(Un espace de fonctions)
Soient f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x deux éléments de l'espace vectoriel C 0 (R, R). Soit V l'espace
engendré par f1 et f2 .
Exercice 11
1. ;
2. ;
0 1
3.
.
−1 0
4. Le noyau est trivial donc sa base est Bker = ∅ (ne mettez pas le vecteur 0 dans la base !).
Par le théorème du rang, on peut prendre Bim = {f1 , f2 }.
Exercice 12
On a :

A−1
Exercice 13
On a det A = (c − a)(b − a)(c − b).

3 −5 3
= −1 3 −2 .
0 −1 1
Exercice 14
On considère la matrice


1
1−b 0
b
0 ,
A= 0
1+b 1+b b
avec b ∈ R.
On trouve pA (t) = (b − t)2 (1 − t). On a donc les valeurs propres 1 et b.
On va distinguer deux cas.
b = 1 Dans ce cas, on remarque que la multiplicité géométrique de l'unique valeur propre 1
est 2. Une base de le'space propre est {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}. La matrice n'est donc pas
diagonalisable.
b 6= 1 La multiplicité géométrique de la valeur propre 1 est 1 et un vecteur propre pour la valeur
propre 1 est donné par (1 − b, 0, 1 + b).
La multiplicité géométrique de la valeur propre b est 2. Une base pour l'espace propre
est, par exemple, {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}. La matrice est donc diagonalisable.
Exercice 15
Le polynôme caractéristique est pA (t) = (t − 2)2 · (6 − t) est la matrice est diagonalisable.
Exercice 16
On considère la matrice


1
0
0
A =  0 cos α − sin α  ,
0 sin α cos α
avec α 6= kπ , pour k ∈ Z.
1. Non. Puisqu'il s'agit d'une rotation non-triviale, on s'y attendait. Formellement, le polynôme
caractéristique n'est pas scindé.
2. Oui, On a trois valeurs propres distictes : λ = 1, λ = cos α + i sin α et λ = cos α − i sin α.
Exercice 17
Utilisez le binôme de Newton (pourquoi peut-on le faire ?).
Exercice 18
Quel peut être le polynôme minimal de F ?
(Polynômes et diagonalisation)
Soit V un R-espace vectoriel de dimension nie et soit T : V −→ V un endomorphisme tel que
Exercice 19
(T − idV )2 ◦ (T + 2 · idV ) 6= 0,
(T − idV )3 ◦ (T + 2 · idV ) = 0.
1. Non.
2. (t − 2)2 ou (t − 2)2 · (t + 2).
(Un polynôme annulateur)
Le polynôme caractéristique (Cayley-Hamilton), de degré 2013.
Exercice 20
Exercice
21

−1 0 −2
Oui, S =  0 1 0 .
1 0 1
(Espaces caractéristiques)
Pour λ = −10 et λ = 20, les espaces propres généralisés sont les espaces propres et on trouve
comme vecteurs propres (1, −2, −1, 1) ainsi que (1, 1, 1, 1) dans le deuxième cas.
Exercice 22
On a

−10
80
140 −110
−170 160 380 −270
.
(10 · E4 − A)2 = 
 −10
80
140 −110
310 −80 −340 210

Une base de l'espace propre généralisé pour la valeur propre 10 est alors
(2, −5, 3, 0), (−1, 4, 0, 3) .
(Formes de Jordan)
Il y a 2 matrices possibles (hors permutations des blocs).
Exercice 23
(Matrices nilpotentes)
Quelles sont les possibilités pour le polynôme minimal ? Ensuite, utilisez la décomposition de
Jordan. A permutation des blocs près, vous devriez avoir 5 matrices.
Exercice 24
Choisissez toutes les propositions correctes.
Exercice 25
Soit V un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et F : V → V un endomorphisme. Alors
λ ∈ K est une valeur propre si : 2, 3, 4.
Exercice 26
Soit A ∈ M (n × n, K) une matrice carrée avec entrées dans le corps K, n ≥ 1. Alors A est
trigonalisable si : 1 (triangulaire inférieure aussi possible !), 3, 4.
Exercice 27
Soit V un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et F : V → V un endomorphisme. Alors F
possède une valeur propre λ ∈ K si : 1, 3, 4.
Exercice 28
Soit A ∈ M (3 × 3, R) une matrice avec A100 = 0. Alors : 2, 3, 4.
Exercice 29
Soit F : C8 → C8 une application linéaire avec pF = (t − 2) · (t + 5)4 · (t − 10)3 et MF =
(t − 2) · (t + 5)2 · (t − 10)2 . Alors le nombre de possibilités pour la forme normale de Jordan de
F est : 2.