Un théorème sur les matrices inversibles

1
Une CNS pour qu'une matrice
Dénition 0.1
On dit que
A ∈ Mn (R)
A ∈ Mn (R)
soit inversible
est inversible s'il existe
.
B ∈ Mn (R)
tel que
AB = BA = In .
Théorème 0.2
B ∈ Mn (R)
Une matrice
telle que
A ∈ Mn (R)
est inversible si et seulement si il existe
AB = In .
Nous allons voir 4 preuves possibles de ce résultat important.
En général, ce résultat est montré au début du chapitre sur les matrices en 1ere année
de Licence, donc sans l'outil de déterminant ou d'endomorphisme. Les preuves les
mieux adaptées au programme restent donc les 3eme et 4eme méthodes, malgré leurs
diciles accessibilités.
Preuve : 1ere méthode
Si AB = In , alors det(A). det(B) = det(In ) = 1, donc det(A) 6= 0 et alors A est
inversible.
cqfd.
Preuve : 2eme méthode
L'application f : M 7→ M A est un endomorphisme de Mn (R) (facile).
Si M appartient à Ker f , alors : M A = 0 ⇒ M = M (AB) = (M A)B = 0.
Ainsi on a Ker f = {0}, d'où f est injective, donc surjective puisque Mn (R) est de
dimension nie.
D'où l'existence d'une matrice C avec CA = In.
Puis classiquement : C = C(AB) = (CA)B = B , et AB = BA = In.
cqfd.
Preuve : 3eme méthode
Voici une autre preuve, beaucoup moins élégante, mais ayant l'avantage de ne pas
utiliser de notions autre que celle de matrice, et démontrant la proposition sans le
fameux lemme : "AB = In et CA = In implique B = C " (méthode 2).
Lemme 0.3
Pour tout
A, B, C ∈ Mn (R).
1 ≤ i ≤ n, on note Bi (resp. Ci )
Soient
le
ieme
vecteur colonne de
AB = C ⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n}, ABi = Ci .
B
(resp.
C ).
2
Preuve : (du lemme)
Supposons AB = C . Soit i ∈ {1, . . . , n}.
∀k ∈ {1, . . . , n}, [ABi ]k =
n
X
aks bsi = [AB]ki = cki donc on a bien ABi = Ci .
s=0
cqfd.
Divisons donc en 3 étapes la démonstration de la proposition.
Etape 1 : Notons Ei (resp. Bi ) est le ieme vecteur colonne de In (resp. B ).
On a : AB = In ⇒ ∀i, ABi = Ei
Cela se démontre rapidement en appliquant le lemme précédent à A, B et In .
Etape 2 : Si
P
P
P
λi Bi = 0 alors A ni=1 λi Bi = ni=1 λi ABi = ni=1 λi Ei = 0
donc λi = 0 pour tout i puisque (Ei )1≤i≤n est une base de Mn,1 (R).
Donc(Bi )1≤i≤n est une famille de n vecteurs linéairement indépendants dans Mn,1 (R)
qui est de dimension nie égale à n :
Pn
i=1
(Bi )1≤i≤n est donc une base de Mn,1 (R)
Etape 3 : Si X ∈ Mn,1 (R)
P, alors en notant x1 , . . . , xn les coordonnées de X dans
la base (BiP
)1≤i≤n , on a X =
P
(BA)X =
xi (BA)Bi =
On a donc montré que
xi Bi donc
P:
P
xi B(ABi ) = xi BEi = xi Bi = X .
n
i=1
∀X ∈ Mn,1 (R), (BA)X = X
donc en prenant X = Ei on trouve BAEi = Ei d'où
X
X
X
BA = (BA)In = (BA)(
Ei ) =
BAEi =
Ei = In
(CQFD)
cqfd.
Preuve : 4eme méthode voir le "Liret et Martinais, Algèbre 1ere année", p.67.
Cette preuve utilise la démarche suivante :
(∃B, AB = In ) ⇒ (A est produit de matrices élémentaires) ⇒ (A est inversible.)
cqfd.