TD 3 : Matrices et Déterminants Exercice 1 Determiner (selon le réel a) le rang des matrices suivantes: 1 2 A= 3 4 2 3 4 5 Exercice 2 Soit M = 3 4 5 6 A C 4 5 6 7 B D 1 1 0 1 5 1 3 2 −1 3 6 et C = 2 , B = a 3 −2 0 7 −2 −1 0 −4 3 8 4 −1 2 4 0 −3 −1 7 . 3 2 1 4 une matrice carrée décomposée en blocs. On suppose que A est inversible. Montrer que rang(M ) = rang(A) + rang(D − CA−1 B). Exercice 3 Soit M ∈ Mn (K) une matrice de trace nulle. 1) Montrer qu'il existe une matrice colonne X1 telle que M X1 ne soit pas colinéaire à X1 . ! 2) En déduire que M est semblable à une matrice M = 0 .. . ... M1 . où M1 ∈ Mn−1 (K) et tr(M1 ) = 0. 3) Montrer que M est semblable à une matrice diagonale nulle. 4) Montrer qu'il existe deux matrices carrées A et B telles que M = AB − BA. Exercice 4 Soit M une matrice carrée réelle de taille n antisymétrique. 1) Montrer que In + M est inversible( si M X = 0, calculer t (M X)(M X)). 2) Soit A = (In − M )(In + M )−1 . Montrer que t AA = In . Exercice 5 Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps commutatif K telle que Ak = In (k 6= 0). On pose B = In + A + A2 + . . . + Ak−1 . Soient u, v les endomorphismes de Kn de matrices A et B dans la base canonique. 1) Montrer que : Ker(u−id) = Imv, Im(u−id) = Kerv, Kerv ⊕Imv = Kn . 2) En déduire: trB = k rangA. Exercice 6 1) Soit f l'application linéaire de R4 dans R3 dont la matrice relativement 5 −7 7 1 −1 3 . 1 −1 2 1 4 aux bases canoniques (I, J, K, L) et (i, j, k) est 2 On dénit deux nouvelles bases: B = (I, J, 4I + J − 3L, −7I + K + 5L) et B 0 = 4i + 2j + k, 5i + j − k, k). Quelle est la matrice de f relativement à B et B0 . 1 1 0 2) Soient A = 0 0 et B sont semblables. 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 et B = 0 1 0 1 2 1 0 0 4 3 . Montrer que A 2 1 3 2 1 0 Exercice 7 Calculer les déterminants suivants: a 1 0 0 ... 1 a 1 0 ... 0 1 p Cn Cn ... Cn 0 1 a 1 ... p 0 1 Cn+1 Cn+1 . . . Cn+1 .. .. .. , 0 0 1 a . . . . . ... . .. .. .. .. . . ... p 0 1 . . Cn+p Cn+p . . . Cn+p 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 1 2 . . . n − 1 .. 1 0 1 . .. . 2 . 2 1 1 .. .. .. . . . 1 n − 1 ... 2 1 0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 .. . 1 a 1 0 1 a , a1 b2 .. . .. . bn b1 a2 + b2 ... Exercice 8 Soient A, B ∈ Mn (R). 1) Montrer que si AB alors det(A2 + B 2 ) ≥ 0. = BA 2) Si on pose M = A B B A , montrer que detM = det(A + B)det(A − B). 3) Montrer que si A est triangulaire alors comA l'est aussi. 4) Calculer com(com(A) dans le cas où A est inversible. 5) Si rangA ≤ n − 2, démontrer que comA = 0. 6) Si rangA = n − 1, démontrer que rang(comA) = 1. 7) Dans le cas général, démontrer que com(comA) = det(A)n−2 A. 8) Si A et B sont inversibles, démontrer que com(AB) = (comA)(comB). Exercice 9 Soient A, B,C, D ∈ Mn (K) avec A inversible et AC = CA. On considère M= A C B D ∈ M2n (K). Montrer que det(M ) = det(AD − CB). Exercice 10 Soient u, v deux endomorphismes d'un C-espace vectoriel E de dimension nie, u inversible, v nilpotent et uov = vou. 1) Démontrer que det(v) = 0. Chercher le polynôme caractéristique de v et en déduire que det(idE + v) = 1. 2) Démontrer que det(u + v) = detu. 3) Si F et G sont supplémentaires et stables par un endomorphisme quelconque f de E , alors detf = (detf )|F (detf )|G . 2 ... ... b2 . . . .. . ... .. . bn b1 b2 .. . bn−1 an + bn ,