La fonction d`Euler

Niveau : 1 Jaune
La fonction d’Euler
1 Définition de la Fonction indicatrice d’Euler
Soit nun entier >1. On sait que Z/nZest un corps si et seulement si nest un nombre premier. Dans
ce cas, tout élément sauf 0est inversible, c’est-à-dire que si on note (Z/nZ)∗l’ensemble des éléments
inversible (qui est un groupe multiplicatif), on a :
(Z/nZ)∗=Z/nZ\ {0}.
Pour un ngénéral, les éléments inversibles de Z/nZsont représentés par les entiers 1≤k < n tels
que ket nsoient premiers entre eux.
Notons (Z/nZ)∗le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/nZ. Nous noterons Φ(n)le
nombre des éléments de (Z/nZ)∗. On posera en outre Φ(1) = 1. La fonction Φest appelée fonction
indicatrice d’Euler.
2 Les propriétés de la fonction d’Euler
Voici quelques propriétés importantes de la fonction d’Euler, dont les démonstrations sont laissées en
exercice.
Lemme 2.1 Si pest un nombre premier alors :
Φ(p) = p−1.
Lemme 2.2 Si pest un nombre premier et αun entier ≥1alors :
Φ(pα) = (p−1)pα−1.
Lemme 2.3 Si met nsont premiers entre eux alors :
Φ(mn) = Φ(m)Φ(n).
Théorème 2.4 Pour tout n > 1la fonction φ(n)s’exprime sous la forme :
Φ(n) = nY
i1−1
pi,
où les pisont les facteurs premiers de n.
Théorème 2.5 Soit aun élément de (Z/nZ)∗(c’est-à-dire apremier avec n) alors :
aΦ(n)≡1 (n).
1

Théorème 2.6 Pour tout entier n≥1on peut écrire nsous la forme suivante :
n=X
d|n
Φ(d).
Preuve. On note :
D=1
n,2 n,··· ,n n,
et pour tout ddivisant non définit :
Dd=k
d|pgcd(k, d) = 1 et 1≤k≤d.
De l’existence et l’unicité de l’écriture d’un nombre rationnel sous forme d’une fraction irréductible
on déduit que les Ddforment une partition de D. La formule souhaitée découle alors des égalités :
♯D =X
d|n
♯Ddet ♯Dd= Φ(d).
Auteur : Ainigmatias Cruptos
Diffusé par l’Association ACrypTA
2