Exercices d`oral : algèbre linéaire

Exercices d’oral : algèbre linéaire
1. Soit A ∈ M n (R) telle que ∀X ∈ M n,1 (R),t X AX = 0. Montrer que t r (A) = 0, que det(A) Ê 0 et
que det(A) = 0 si n impair.
2. Soient f et g des endomorphismes d’un espace vectoriel E . On suppose que E = Im( f ) +
Im(g ) = ker( f ) + ker(g ). Montrer que ces deux sommes sont directes.




a1 0 · · · 0
1
0 0 ··· 0 1




.
.
 1 a 2 . . . ..

1 . . . . . . .. 0
0






.. 
.
3. Soit A n (a 1 , ..., a n ) =  0 . . . . . . 0
 et J n = 0 . . . . . . 0 ..  (Les indices re.




 .. . . . . . .

 .. . . . . . .

.
.
.
.
. 0
.
.
. 0
0 ··· 0
1 a n (n)
0 ··· 0
1 0 (n)
présentent les tailles des matrices).
(a) Calculer det(A 2 ) et det(A 3 ).
(b) Calculer det(A n )
µ
¶
I r (0)
avec r < n.
(c) Soit Q r,n =
(0) (0) (n)
i. Montrer que J n + λQ r,n est inversible pour tout λ ∈ K.
ii. Montrer que si M ∈ M n (C) est une matrice non inversible alors il existe P ∈ GL n (C)
tel que pour tout ∈ C, P + λM ∈ GL n (C).
(d)
i. Montrer que M inversible ⇒ ∀P ∈ GL n (C), ∃λ ∈ C tel que P + M ∉ GL n (K).
ii. Montrer que M non inversible ⇐⇒∃P∈GLn(K) tel que ∀λ ∈ C , P + λM ∈ GLn(K ).
(e) Soit ϕ un endomorphisme de Mn(C) tel que ϕ(GLn(K )) ⊂ GLn(K ).
Montrer queM ∈ GLn(K ) ⇐⇒ ϕ(M ) ∈ GLn(K ).
4. Soit Q appartenant à R[X ]. Montrer qu’il existe un polynôme P tel que : P (X + 1) − P (X ) =
Q(X ). Ce polynôme est-il unique ? (Indication : on introduira une application linéaire)
5. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Montrer l’équivalence entre (a) d et (A) = 0 et (b)Il existe
une matrice carrée B telle que pour tout entier naturel k non nul : (A + B )k = A k + B k
6. Soit p une projection d’un espace euclidien E . Montrer que p estune projection orthogonale
si et seulement si ∀x ∈ E kp(x)k É kxk
7. Montrer que dans un espace vectoriel de dimension finie, il n’existe pas d’endomorphismes
u et v tels que u ◦ v − v ◦ u = 0. Donner un exemple de tels endomorphismes dans R[X ].
8. Soient p et q deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension n vérifiant :r g (p)+
r g (q) Ê n et p + q = I d E . Montrer que p et q sont des projecteurs.
9. Soit E un K espace vectoriel de dimension n et ( f 1 , · · · , f n ) une famille de n formes linéaires.
Montrer que ( f 1 , · · · , f n ) est libre si et seulement si ∩ni=1 ker( f i ) = 0E ; (On pourra introduire
l’application de E dans Kn : x 7→ ( f 1 (x), · · · , f n (x))
10. Soit A une matrice carrée d’ordre n telle que ker A = Im(A). Que peut-on dire de n ?.Montrer
que A +t A est inversible.
11. Soient u et v des endomorphismes d’un espace E de dimension finie vérifiant Im(u) ⊂ Im(v).
Montrer qu’il existe un endomorphisme a de E tel que u = v ◦ a (On pourra commencer par
étudier le cas où a est bijectif).
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