Exercices d`oral : algèbre linéaire

Exercices d’oral : algèbre linéaire
1. Soit A∈Mn(R) telle que ∀X∈Mn,1(R),tX AX =0. Montrer que t r (A)=0, que det(A)Ê0 et
que det(A)=0 si n impair.
2. Soient fet gdes endomorphismes d’un espace vectoriel E. On suppose que E=Im(f)+
Im(g)=ker(f)+ker(g). Montrer que ces deux sommes sont directes.
3. Soit An(a1,..., an)=
a10· · · 0 1
1a2....
.
. 0
0......0.
.
.
.
.
..........0
0· · · 0 1 an
(n)
et Jn=
0 0 · · · 0 1
1.......
.
. 0
0......0.
.
.
.
.
..........0
0· · · 0 1 0
(n)
(Les indices re-
présentent les tailles des matrices).
(a) Calculer det(A2) et det(A3).
(b) Calculer det(An)
(c) Soit Qr,n=µIr(0)
(0) (0)¶(n)
avec r<n.
i. Montrer que Jn+λQr,nest inversible pour tout λ∈K.
ii. Montrer que si M∈Mn(C) est une matrice non inversible alors il existe P∈GLn(C)
tel que pour tout ∈C,P+λM∈GLn(C).
(d) i. Montrer que Minversible ⇒ ∀P∈GLn(C), ∃λ∈Ctel que P+M∉GLn(K).
ii. Montrer que M non inversible ⇐⇒∃P∈GLn(K) tel que ∀λ∈C,P+λM∈GLn(K).
(e) Soit ϕun endomorphisme de Mn(C) tel que ϕ(GLn(K)) ⊂GLn(K).
Montrer queM∈GLn(K)⇐⇒ ϕ(M)∈GLn(K).
4. Soit Qappartenant à R[X]. Montrer qu’il existe un polynôme Ptel que : P(X+1) −P(X)=
Q(X). Ce polynôme est-il unique ? (Indication : on introduira une application linéaire)
5. Soit Aune matrice carrée d’ordre n. Montrer l’équivalence entre (a) det(A)=0 et (b)Il existe
une matrice carrée Btelle que pour tout entier naturel knon nul : (A+B)k=Ak+Bk
6. Soit pune projection d’un espace euclidien E. Montrer que pestune projection orthogonale
si et seulement si ∀x∈Ekp(x)kÉkxk
7. Montrer que dans un espace vectoriel de dimension finie, il n’existe pas d’endomorphismes
uet vtels que u◦v−v◦u=0. Donner un exemple de tels endomorphismes dans R[X].
8. Soient pet qdeux endomorphismes d’un espace vectoriel Ede dimension nvérifiant :r g (p)+
r g (q)Ênet p+q=I dE. Montrer que pet qsont des projecteurs.
9. Soit Eun Kespace vectoriel de dimension net (f1,· · · ,fn) une famille de nformes linéaires.
Montrer que (f1,· · · ,fn) est libre si et seulement si ∩n
i=1ker(fi)=0E; (On pourra introduire
l’application de Edans Kn:x7→ (f1(x),· · · ,fn(x))
10. Soit Aune matrice carrée d’ordre ntelle que ker A=Im(A). Que peut-on dire de n?.Montrer
que A+tAest inversible.
11. Soient uet vdes endomorphismes d’un espace Ede dimension finie vérifiant Im(u)⊂Im(v).
Montrer qu’il existe un endomorphisme ade Etel que u=v◦a(On pourra commencer par
étudier le cas où aest bijectif).
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