Algèbre linéaire II Série 15

Algèbre linéaire II
Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Rafael Guglielmetti, Muriel Galley
http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html
Série 15
À rendre avant le mecredi 6 mars, 12h00
Exercice 1 (Matrices à coecients entiers, 4 points)
× n, Z) une matrice à
existe une matrice B ∈ M(n × n, Z)
det A = −1.
Soit
A∈
M(n
coecients entiers. Montrez que
telle que
A · B = En )
A
est inversible (i.e. il
si et seulement si
Remarque. Soyez précis dans la rédaction de la solution !
Hint. La règle de Cramer peut vous être utile.
Exercice 2 (Cramer, 2 points)
Ax = b
 
2
b =  6 .
4
Calculez avec la règle de Cramer la solution de l'équation


1 2 2
A =  4 2 9 ,
4 5 7
pour
1
Exercice 3 (Matrices complémentaires , 4 points)
1.
A, B ∈ M(n × n, R)
T
#
A# = AT ;
2.
(A · B)# = B # · A# ;
3.
det A# = (det A)n−1 .
Soient
deux matrices. Montrez les propriétés suivantes :
Considérez la matrice suivante :
Calculez
A# .
La matrice
A


1 2 3
M = 0 1 4 
0 0 1
est-elle inversible ? Si oui, donnez son inverse.
Exercice 4 (Vecteurs et valeurs propres, 6 points)
Soit
T : R3 −→ R3
l'endomorphisme associé à la matrice


−14 43 −22
 1
20 −14  .
3
25 −21
1. Calculez les valeurs propres et les vecteurs propres de
2. Donnez une base de chaque espace propre de
T.
1. La matrice complémentaire est la transposée de la comatrice.
T.
det A = 1
ou
3. Rassemblez les vecteurs trouvés en 2. et complétez la liste en une base de
la matrice de
Soit
que
T
R3 .
Quelle est
dans cette base ?
A = (aij ) ∈ M(n × n, R) une matrice
A possède 1 comme valeur propre.
Exercice 5 (Vrai ou faux, 0 points)
telle que
P
i aij
=1
pour tout
1 ≤ j ≤ n.
Montrez
1. Un système d'équations linéaires sous-déterminé (i.e.
ayant plus d'inconnues que d'équations) possède une innité de solutions.
2. L'exercice 1 peut être généralisé comme suit : Soit
R
un anneau commutatif et soit
A ∈ M(n × n, R) une matrice à coecients dans R. Alors, A est inversible si et seulement
si det A est un élément inversible de R.
Remarque. La première question est de savoir si calculer le déterminant de la matrice A
a un sens...
3. Soit
A ∈ M(n × n, R).
4. Soit
T : V −→ V
Alors
A
est inversible si et seulement si
A#
est inversible.
un endomorphisme. Si
0
est une valeur propre de
T,
alors
T
n'est pas
un endomorphisme. Si
0
est une valeur propre de
T,
alors
T
n'est pas
inversible.
5. Soit
T : V −→ V
surjectif.
Hint. Attention aux hypothèses des théorèmes que vous pourriez vouloir utiliser.