Théor`eme de Lefschetz 1. Complexes simpliciaux - IMJ-PRG

Théorème de Lefschetz
1. Complexes simpliciaux
Définition. Un complexe simplicial K est la donnée d’un ensemble
E = E(K) et d’un sous-ensemble S = S(K) de Pf (E) − {∅} (Pf (E) désigne
l’ensemble des parties finies de E) tels que les conditions suivantes sont
vérifiées :
– si s appartient S alors tous les sous-ensembles t de s appartiennent
aussi à S ;
– les singletons {e} appartiennent à S (on pourrait ne pas imposer cet
axiome).
Soient K et K 0 deux complexes simpliciaux ; une application simpliciale
φ : K → K 0 est une application d’ensembles E(K) → E(K 0 ) telle que
φ(S(K)) est contenu dans S(K 0 ).
Vocabulaire. Les ensembles E et S s’appellent respectivement l’ensemble des
sommets et l’ensemble des simplexes de K. Un simplexe de cardinal n + 1
s’appelle un n-simplexe. Les 0-simplexes s’identifient donc aux sommets. Un
1-simplexe s’appelle aussi une arête de K.
• Réalisation géométrique d’un complexe simplicial
Soit E un ensemble ; soit α une application (ensembliste) de E dans R, on
appelle support de α et on note supp(α) le sous-ensemble α−1 (R − {0}) de E.
On note R[E] le sous-espace de RE constitué des applications α à support
fini ; on peut donc voir R[E] comme le R-espace vectoriel librement engendré
par E. Si E est fini, on a R[E] = RE et l’on munit E de la topologie produit.
En général, R[E] est, comme R-espace vectoriel, colimite (limite directe) de
ses sous-espaces R[F ], F décrivant l’ensemble des parties finies de E et l’on
munit R[E] de la topologie colimite. En clair, un sous-ensemble U de R[E]
T
est ouvert si et seulement si U R[F ] est ouvert pour tout F .
Soit maintenant K un complexe simplicial. On appelle réalisation géométrique
de K et on note |K| le sous-espace de R[E(K)] constitué des α vérifiant :
1
- α(e) ≥ 0 ∀e ∈ E(K) ;
-
X
α(e) = 1 ;
e∈E(K)
- supp(α) ∈ S(K) (la notation supp(α) désigne le support de α).
Remarque. Soit X un espace dont la topologie est engendrée par les compacts
(en clair, X est séparé et les fermés de X sont les sous-ensembles F tels que
F ∩ C est un fermé de C pour tout compact C de X). Une application
f : X → |K| est continue si et seulement si la composée X → |K| → RE(K)
est continue.
• Réalisation géométrique d’une application simpliciale
Soient φ : K → K 0 une application simpliciale, e un sommet de K et δe le
sommet correspondant de |K| ; |φ| envoie δe sur δφ(e) et est affine sur chaque
simplexe. On a donc :
|φ|(α) = |φ| (
X
X
α(e)δe ) =
α(e)δφ(e)
e∈supp(α)
e∈supp(α)
ou encore :
(|φ|(α))(e0 ) =
X
α(e)
.
e∈φ−1 (e0 )
• Triangulation d’un espace topologique
Une triangulation d’un espace topologique X est la donnée d’un complexe
simplicial K et d’un homéomorphisme entre X et |K|.
Exemples.
– Nerf d’un recouvrement (ouvert)
Soient X un espace topologique et U = (Ui )i∈I un recouvrement de X
par des ouverts non vides. On appelle nerf de U et on note N(U) le complexe simplicial dont l’ensemble des sommets est I et dont
\ l’ensemble
des simplexes est constitué des parties finies J ⊂ I avec
Ui 6= ∅.
i∈J
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– Recouvrement ouvert canonique d’un polyèdre
Soient K un complexe simplicial et e un de ses sommets. On appelle
étoile de e et on note Ét(e) l’ouvert de |K| constitué des α vérifiant
α(e) > 0 (faire un dessin !). Les ouverts Ét(e), e parcourant l’ensemble
des sommets de K, recouvrent |K| et on vérifie que le nerf de ce recouvrement s’identifie à K.
– Complexe simplicial associé à un ensemble (partiellement) ordonné
Soit I un ensemble ordonné. On associe à I un complexe simplicial de
la façon suivante. L’ensemble de ses sommets est I et l’ensemble de ses
simplexes est constitué des parties finies J ⊂ I totalement ordonnées
pour la relation d’ordre induite.
• Partition de l’unité subordonnée à un recouvrement (ouvert) fini
Soient X un espace topologique et U = (Ui )i∈I un recouvrement fini de X
par des ouverts non vides. Une partition de l’unité subordonnée à U est une
application continue u : X → |N(U)| avec u−1 (Ét(i)) ⊂ Ui .
Lemme. Soient X un espace topologique et U = (Ui )i∈I un recouvrement
fini de X par des ouverts non vides ; soient u, v : X → |N(U)| deux partitions
de l’unité subordonnées à U. Alors u et v sont deux applications homotopes.
Proposition. Soit f : X → Y une application continue. Soient respectivement U = (Ui )i∈I et V = (Vj )j∈I des recouvrements finis de X et Y par des
ouverts non vides tels que U est plus fin que f −1 (V).
(a) Soit φ : I → J une application telle que f (Ui ) est contenu dans Vφ(i) .
Alors φ induit une application simpliciale N(U) → N(V) (que l’on note encore
φ ).
(b) Soient u : X → |N(U)| une partition de l’unité subordonnée à U et
v : Y → |N(V)| une partition de l’unité subordonnée à V (on suppose ici U
et V finis). Alors le diagramme suivant :
X
f
−−−→


u
y
Y


v
y
|φ|
|N(U)| −−−→ |N(V)|
est homotopiquement commutatif.
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Démonstration. En considérant le sous-espace f (X) de Y , on se ramène au
cas où f est surjective. Dans ce cas N(f −1 (V)) s’identifie à N(V) et l’on
vérifie que les applications v ◦ f et |φ| ◦ u sont deux partitions de l’unité
subordonnées à f −1 (V). C’est clair pour la première ; pour la seconde on
peut procéder comme suit :
– |φ|−1 (Ét(j)) =
S
Ét(i) ;
i∈φ−1 (j)
– u−1 (
S
Ét(i)) =
i∈φ−1 (j)
–
S
u−1 (Ét(i)) ⊂
i∈φ−1 (j)
–
S
i∈φ−1 (j)
S
u−1 (Ét(i)) ;
i∈φ−1 (j)
S
i∈φ−1 (j)
Ui ;
Ui ⊂ Vj .
Définition. Soient K et L deux complexes simpliciaux et f : |K| → |L|
une application continue. On dit qu’une application simpliciale φ : K → L
est une approximation simpliciale de f si pour tout point α de |K| le point
|φ|(α) de |L| appartient à |supp(f (α))| .
Lemme. Soient K et L deux complexes simpliciaux et f : |K| → |L| une
application continue. Soit φ : E(K) → E(L) une application (d’ensembles).
Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) φ est une application simpliciale qui est une approximation simpliciale
de f ;
(ii) pour tout sommet e de K on a :
f (Ét(e)) ⊂ Ét(φ(e))
.
Démonstration de l’implication (ii) ⇒ (i). On sait déjà que φ est une application simpliciale. La condition (ii) se traduit par la condition α(e) > 0 ⇒
f (α)(φ(e)) > 0 ou encore e ∈ supp(α) ⇒ φ(e) ∈ supp(f (α)) ou enfin
φ(supp(α)) ⊂ supp(f (α)). On a donc |φ|(α) ∈ |supp(f (α))|.
Démonstration de l’implication (i) ⇒ (ii). Si l’on a |φ|(α) ∈ |supp(f (α))|
alors on a les implications α(e) > 0 ⇒ |φ|(α)(φ(e)) > 0 ⇒ f (α)(φ(e)) > 0 .
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2. Caractéristique et nombre de Lefschetz
Proposition. Soit F un corps. Soit
. . . → Cn → . . . → C2 → C1 → C0
un complexe de F -espaces vectoriels avec dim Cn < ∞ pour tout n et Cn = 0
pour n grand. On a alors :
X
(−1)n dim Cn =
n∈N
X
(−1)n dim Hn (C• )
.
n∈N
Plus généralement :
Proposition. Soit f un endomorphisme d’un complexe comme ci-dessus.
Alors on a :
X
(−1)n tr Cn (f ) =
n∈N
X
(−1)n tr Hn (f )
.
n∈N
3. Démonstration du théorème de Lefschetz
Proposition. Soient X un espace compact triangulable et f : X → X une
application sans points fixes. Alors il existe une triangulation τ : X → |K|
et une approximation simpliciale φ : Sdr K → K de l’application τ ◦ f ◦ τ −1
telle que l’on a
\
|φ|(|s|) |s| = ∅
pour tout simplexe s de K.
(La notation Sdr K désigne la r-ième subdivision barycentrique de K).
Démonstration. On peut supposer X = |L| avec L un complexe simplicial
fini. Soit d une métrique sur |L| induite par une métrique sur RE(L) ; comme
|L| est compact il existe un nombre réel a > 0 tel que l’on a d(α, f (α)) ≥ a
pour tout α dans |L|. Posons K = Sdq L ; en prenant q assez grand on
peut supposer que le diamètre des simplexes de K est strictement inférieur
à a2 . Soit maintenant φ : Sdr K → K une approximation simpliciale de f ;
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par définition, pour tout α dans |Sdr K| = |K|, il existe un simplexe |s| qui
contient à la fois |φ|(α) et f (α) ce qui implique d(|φ|(α), f (α)) < a2 . Il en
résulte d(α, |φ|(α)) > a2 .
Fin de la démonstration. Pour tout entier n la trace de la composée :
Sdr
φ
Cn (K) −−−→ Cn (Sdr K) −−−→ Cn (K)
est nulle. Il en résulte que le nombre de Lefschetz χ(f ) est nul.
Exercice. Quel est l’énoncé du théorème de Lefschetz ?
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