Théor`eme de Lefschetz 1. Complexes simpliciaux - IMJ-PRG

Th´eor`eme de Lefschetz
1. Complexes simpliciaux
D´efinition. Un complexe simplicial Kest la donn´ee d’un ensemble
E= E(K) et d’un sous-ensemble S= S(K) de Pf(E)− {∅} (Pf(E) d´esigne
l’ensemble des parties finies de E) tels que les conditions suivantes sont
v´erifi´ees :
– si sappartient Salors tous les sous-ensembles tde sappartiennent
aussi `a S;
– les singletons {e}appartiennent `a S(on pourrait ne pas imposer cet
axiome).
Soient Ket K0deux complexes simpliciaux ; une application simpliciale
φ:K→K0est une application d’ensembles E(K)→E(K0) telle que
φ(S(K)) est contenu dans S(K0).
Vocabulaire. Les ensembles Eet Ss’appellent respectivement l’ensemble des
sommets et l’ensemble des simplexes de K. Un simplexe de cardinal n+ 1
s’appelle un n-simplexe. Les 0-simplexes s’identifient donc aux sommets. Un
1-simplexe s’appelle aussi une arˆete de K.
•R´ealisation g´eom´etrique d’un complexe simplicial
Soit Eun ensemble ; soit αune application (ensembliste) de Edans R, on
appelle support de αet on note supp(α) le sous-ensemble α−1(R−{0}) de E.
On note R[E] le sous-espace de REconstitu´e des applications α`a support
fini ; on peut donc voir R[E] comme le R-espace vectoriel librement engendr´e
par E. Si Eest fini, on a R[E] = REet l’on munit Ede la topologie produit.
En g´en´eral, R[E] est, comme R-espace vectoriel, colimite (limite directe) de
ses sous-espaces R[F], Fd´ecrivant l’ensemble des parties finies de Eet l’on
munit R[E] de la topologie colimite. En clair, un sous-ensemble Ude R[E]
est ouvert si et seulement si UTR[F] est ouvert pour tout F.
Soit maintenant Kun complexe simplicial. On appelle r´ealisation g´eom´etrique
de Ket on note |K|le sous-espace de R[E(K)] constitu´e des αv´erifiant :
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-α(e)≥0∀e∈E(K) ;
-X
e∈E(K)
α(e) = 1 ;
- supp(α)∈S(K) (la notation supp(α) d´esigne le support de α).
Remarque. Soit Xun espace dont la topologie est engendr´ee par les compacts
(en clair, Xest s´epar´e et les ferm´es de Xsont les sous-ensembles Ftels que
F∩Cest un ferm´e de Cpour tout compact Cde X). Une application
f:X→ |K|est continue si et seulement si la compos´ee X→ |K| → RE(K)
est continue.
•R´ealisation g´eom´etrique d’une application simpliciale
Soient φ:K→K0une application simpliciale, eun sommet de Ket δele
sommet correspondant de |K|;|φ|envoie δesur δφ(e)et est affine sur chaque
simplexe. On a donc :
|φ|(α) = |φ|(X
e∈supp(α)
α(e)δe) = X
e∈supp(α)
α(e)δφ(e)
ou encore :
(|φ|(α))(e0) = X
e∈φ−1(e0)
α(e).
•Triangulation d’un espace topologique
Une triangulation d’un espace topologique Xest la donn´ee d’un complexe
simplicial Ket d’un hom´eomorphisme entre Xet |K|.
Exemples.
– Nerf d’un recouvrement (ouvert)
Soient Xun espace topologique et U= (Ui)i∈Iun recouvrement de X
par des ouverts non vides. On appelle nerf de Uet on note N(U) le com-
plexe simplicial dont l’ensemble des sommets est Iet dont l’ensemble
des simplexes est constitu´e des parties finies J⊂Iavec \
i∈J
Ui6=∅.
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– Recouvrement ouvert canonique d’un poly`edre
Soient Kun complexe simplicial et eun de ses sommets. On appelle
´etoile de eet on note ´ Et(e) l’ouvert de |K|constitu´e des αv´erifiant
α(e)>0 (faire un dessin !). Les ouverts ´ Et(e), eparcourant l’ensemble
des sommets de K, recouvrent |K|et on v´erifie que le nerf de ce recou-
vrement s’identifie `a K.
– Complexe simplicial associ´e `a un ensemble (partiellement) ordonn´e
Soit Iun ensemble ordonn´e. On associe `a Iun complexe simplicial de
la fa¸con suivante. L’ensemble de ses sommets est Iet l’ensemble de ses
simplexes est constitu´e des parties finies J⊂Itotalement ordonn´ees
pour la relation d’ordre induite.
•Partition de l’unit´e subordonn´ee `a un recouvrement (ouvert) fini
Soient Xun espace topologique et U= (Ui)i∈Iun recouvrement fini de X
par des ouverts non vides. Une partition de l’unit´e subordonn´ee `a Uest une
application continue u:X→ |N(U)|avec u−1(´ Et(i)) ⊂Ui.
Lemme. Soient Xun espace topologique et U= (Ui)i∈Iun recouvrement
fini de Xpar des ouverts non vides ; soient u, v :X→ |N(U)|deux partitions
de l’unit´e subordonn´ees `a U. Alors uet vsont deux applications homotopes.
Proposition. Soit f:X→Yune application continue. Soient respective-
ment U= (Ui)i∈Iet V= (Vj)j∈Ides recouvrements finis de Xet Ypar des
ouverts non vides tels que Uest plus fin que f−1(V).
(a) Soit φ:I→June application telle que f(Ui)est contenu dans Vφ(i).
Alors φinduit une application simpliciale N(U)→N(V)(que l’on note encore
φ).
(b) Soient u:X→ |N(U)|une partition de l’unit´e subordonn´ee `a Uet
v:Y→ |N(V)|une partition de l’unit´e subordonn´ee `a V(on suppose ici U
et Vfinis). Alors le diagramme suivant :
Xf −−−→ Y
u
y y
v
|N(U)||φ| −−−→ |N(V)|
est homotopiquement commutatif.
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D´emonstration. En consid´erant le sous-espace f(X) de Y, on se ram`ene au
cas o`u fest surjective. Dans ce cas N(f−1(V)) s’identifie `a N(V) et l’on
v´erifie que les applications v◦fet |φ| ◦ usont deux partitions de l’unit´e
subordonn´ees `a f−1(V). C’est clair pour la premi`ere ; pour la seconde on
peut proc´eder comme suit :
–|φ|−1(´ Et(j)) = S
i∈φ−1(j)
´
Et(i) ;
–u−1(S
i∈φ−1(j)
´
Et(i)) = S
i∈φ−1(j)
u−1(´ Et(i)) ;
–S
i∈φ−1(j)
u−1(´ Et(i)) ⊂S
i∈φ−1(j)
Ui;
–S
i∈φ−1(j)
Ui⊂Vj.
D´efinition. Soient Ket Ldeux complexes simpliciaux et f:|K|→|L|
une application continue. On dit qu’une application simpliciale φ:K→L
est une approximation simpliciale de fsi pour tout point αde |K|le point
|φ|(α) de |L|appartient `a |supp(f(α))|.
Lemme. Soient Ket Ldeux complexes simpliciaux et f:|K|→|L|une
application continue. Soit φ: E(K)→E(L)une application (d’ensembles).
Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) φest une application simpliciale qui est une approximation simpliciale
de f;
(ii) pour tout sommet edeKona:
f(´ Et(e)) ⊂´ Et(φ(e)) .
D´emonstration de l’implication (ii)⇒(i).On sait d´ej`a que φest une appli-
cation simpliciale. La condition (ii) se traduit par la condition α(e)>0⇒
f(α)(φ(e)) >0 ou encore e∈supp(α)⇒φ(e)∈supp(f(α)) ou enfin
φ(supp(α)) ⊂supp(f(α)). On a donc |φ|(α)∈ |supp(f(α))|.
D´emonstration de l’implication (i)⇒(ii).Si l’on a |φ|(α)∈ |supp(f(α))|
alors on a les implications α(e)>0⇒ |φ|(α)(φ(e)) >0⇒f(α)(φ(e)) >0 .
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2. Caract´eristique et nombre de Lefschetz
Proposition. Soit Fun corps. Soit
. . . →Cn→. . . →C2→C1→C0
un complexe de F-espaces vectoriels avec dim Cn<∞pour tout net Cn= 0
pour ngrand. On a alors :
X
n∈N
(−1)ndim Cn=X
n∈N
(−1)ndim Hn(C•).
Plus g´en´eralement :
Proposition. Soit f un endomorphisme d’un complexe comme ci-dessus.
Alors on a :
X
n∈N
(−1)ntr Cn(f) = X
n∈N
(−1)ntr Hn(f).
3. D´emonstration du th´eor`eme de Lefschetz
Proposition. Soient Xun espace compact triangulable et f:X→Xune
application sans points fixes. Alors il existe une triangulation τ:X→ |K|
et une approximation simpliciale φ: SdrK→Kde l’application τ◦f◦τ−1
telle que l’on a
|φ|(|s|)\|s|=∅
pour tout simplexe sde K.
(La notation SdrKd´esigne la r-i`eme subdivision barycentrique de K).
D´emonstration. On peut supposer X=|L|avec Lun complexe simplicial
fini. Soit dune m´etrique sur |L|induite par une m´etrique sur RE(L); comme
|L|est compact il existe un nombre r´eel a > 0 tel que l’on a d(α, f(α)) ≥a
pour tout αdans |L|. Posons K= SdqL; en prenant qassez grand on
peut supposer que le diam`etre des simplexes de Kest strictement inf´erieur
`a a
2. Soit maintenant φ: SdrK→Kune approximation simpliciale de f;
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