Série 1

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie II
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 1
À rendre avant le jeudi 27 février, 16h
Exercice 0
Soit Xun espace topologique et soit A⊂Xun sous-ensemble. On suppose que pour tout x∈A
il existe un ouvert Uqui contient xtel que U⊂A. Montrez que Aest un ouvert.
Exercice 1 (Homologie simpliciale)
Soit Xle complexe simplicial suivant :
[p0] [p1]
[p2]
[p0p1]
[p1p2]
Calculez le noyau et l’image de
∂1:C1(X) = Z[p0p1]⊕Z[p1p2]−→ Z[p0]⊕Z[p1]⊕Z[p2] = C0(X).
Déterminez Hi(X)pour tout i∈Z.
Exercice 2 (Homologie simpliciale)
Soit Xle complexe simplicial suivant :
[p0][p1]
[p2]
[p3]
[p4][p0p1]
[p1p2]
[p0p2]
[p0p3]
[p3p4]
[p0p4]
Calculez le noyau et l’image de
∂1:C1(X) = Z[p0p1]⊕Z[p1p2]⊕Z[p0p2]⊕
Z[p0p3]⊕Z[p3p4]⊕Z[p0p4]−→ C0(X) = Z[p0]⊕Z[p1]⊕Z[p2]⊕ Z[p3]⊕Z[p4].
Déterminez H0(X)et H1(X).

Exercice 3 (Topologie cofinie)
Sur un ensemble X, on dit qu’un sous-ensemble Ude Xest ouvert pour la topologie cofinie si
le complément X−Uest fini ou U=∅.
a) Montrez que Xmuni de la topologie cofinie est un espace topologique.
b) Pour X=R, montrez que la topologie standard est plus fine que la topologie cofinie, i.e.
tout sous-ensemble ouvert dans la topologie cofinie est un sous-ensemble ouvert dans la
topologie standard.
c) Trouvez un sous-ensemble ouvert de la topologie standard de Rqui n’est pas ouvert pour la
topologie cofinie.
Exercice 4 (Homéomorphismes)
a) Soit f: [0,1]∪]2,3] →[0,2] l’application définie par
f(x) = (x, si x∈[0,1],
x−1,si x∈]2,3].
Montrez que fest une application bijective et continue, mais pas un homéomorphisme.
b) Soit (a, b)⊂Run interval ouvert. Montrez que l’interval (a, b)est homéomorphe à R.