Cours

3 OP ´ ERATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS 10
3 Op´erations sur les distributions
3.1 Composition avec un diff´eomorphisme
Soit f∈L1
loc(R) et a, b ∈R,a6= 0. Alors x=ay +best une application affine
qui d´efinit un isomorphisme de Rsur R. Pour toute fonction ϕ∈ D(R), on a
ZR
f(ay +b)ϕ(y)dy =|a|−1ZR
f(x)ϕx−b
adx.
De mˆeme, si u:J→Iest un diff´eomorphisme, alors
ZR
f(u(y))ϕ(y)dy =ZR
f(x)ϕ(u−1(x))
|u′(u−1(x)|dx.
D´efinition 3.1. Soit u:J→Iun diff´eomorphisme et f∈ D′(I). On d´efinit la
composition f◦upar la relation
(f◦u, ϕ) = f, |u′◦u−1|−1ϕ◦u−1.
Proposition 3.2. L’application f7→ f◦u,D′(I)→ D′(J), est lin´eaire et
continue.
Exercice 3.3.D´emontrer la proposition.
Exemples 3.4.(a) Dilatation: u(y) = cy. Dans ce cas,
(f(cy), ϕ) = 1
|c|(f, ϕ(x/c)).
(b) Translation: u(y) = y−b. Dans ce cas,
(f(y−b), ϕ) = (f, ϕ(x+b)).
Par exemple, si f=δ, alors
δ(cx) = 1
|c|δ(x), δ(x−b) = δb(x),
o`u (δb, ϕ) = ϕ(b).
Proposition 3.5. Soit f∈ D′(R). Si cn∈Ret cn→c6= 0, alors
f(cnx)→f(cx)dans D′(R)quand n→ ∞.
De mˆeme, si bn∈Ret bn→b, alors
f(x−bn)→f(x−b)dans D′(R)quand n→ ∞.

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D´emonstration. Pour simplifier, supposons que c > 0. Alors pour n≫1 et
toute fonction ϕ∈ D(R) on a
f(cnx), ϕ=f, c−1
nϕ(c−1 nx).(3.1)
Comme cn→c, la suite c−1
nϕ(c−1 nx) converge vers c−1ϕ(c−1x) dans l’espace D(R).
Il s’ensuit que le membre de droite dans la relation (3.1) tend vers
f, c−1ϕ(c−1x)=f(cx), ϕ.
La d´emonstration de la deuxi`eme propri´et´e est analogue.
Proposition 3.6. Soit f∈ D′(R)une distribution telle que f(x−b) = f(x)
pour tout b∈R. Alors il existe une constante c∈Rtelle que f=csur R.
D´emonstration. Pour tout ϕ∈ D(R) et b∈Ron a
(f(x−b), ϕ(x)) = (f(x), ϕ(x+b)) = (f(x), ϕ(x)),
d’o`u on voit que
f(x),ϕ(x+b)−ϕ(x)
b= 0 pour tout b6= 0.(3.2)
Il est facile `a montrer que ϕ(x+b)−ϕ(x)
b→ϕ′(x) dans D(R) quand b→0. Donc,
en passant `a la limite dans (3.2), on obtient
(f, ϕ′) = 0 pour tout ϕ∈ D(R).(3.3)
Soit ϕ0∈ D(R) tel que RRϕ0dx = 1. Alors pour tout ψ∈ D(R) il existe
ϕ∈ D(R) tel que
ψ−ZR ψdxϕ0=ϕ′.
Il r´esulte de (3.3) que
(f, ψ) = (f, ϕ′) + ZR ψdx(f, ϕ0) = (f, ϕ0)ZR ψdx.
Nous avons montr´e que f= (f, ϕ0).
3.2 Multiplication par une fonction r´eguli`ere
D´efinition 3.7. Soit f∈ D′(I) et a∈C∞(I). On d´efinit le produit af par la
relation
(af, ϕ) = (f, aϕ) pour tout ϕ∈ D(I).
Exercice 3.8.Montrer que la multiplication par une fonction a∈C∞(I) est
bien d´efinie (c’est-`a-dire, af ∈ D′(I)).

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Proposition 3.9. (i) Si fn→fdans D′(I)et a∈C∞(I), alors afn→af
dans D′(I).
(ii) Si f∈ D′(I)et an→adans C∞(I), alors anf→af dans D′(I).
D´emonstration. (i) Pour tout ϕ∈ D(I), la fonction af appartient `a D(I). Donc,
on a
(afn, ϕ) = (fn, aϕ)→(f, aϕ) = (af, ϕ) quand n→ ∞.
(ii) Rappelons que an→adans C∞(I) si pour tout entier j≥0 et tout
compact K⊂I,
sup
x∈Ka(j)
n(x)−a(j)(x)→0 quand n→ ∞.
On voit que si an→adans C∞(I) et ϕ∈ D(I), alors anϕ→aϕ dans D(I).
Donc, pour tout ϕ∈ D(I),
(anf, ϕ) = (f, anϕ)→(f, aϕ) = (af, ϕ) quand n→ ∞.
Remarque 3.10.On peut montrer que si fn→fdans D′(I) et an→adans
C∞(I), alors anfn→af dans D′(I).
Proposition 3.11. Pour tout a∈C∞(I)et f∈ D′(I), on a
supp(af) = supp a∩supp f.
En particulier, si supp a∩supp f=∅, alors af = 0.
D´emonstration. Soit O=I\(supp a∩supp f) et ϕ∈C∞
0(O). Comme
supp(aϕ) = supp a∩supp ϕ⊂I\supp f,
on a (af, ϕ) = (f, aϕ) = 0. On conclut que af est nul sur toute fonction
ϕ∈C∞
0(O), d’o`u le r´esultat cherch´e.
Exemples 3.12.(a) a(x)δ(x) = a(0)δ(x).
(b) xv.p.1
x= 1.
Exercice 3.13.Soit f∈ D′(I) et η∈C∞(I) tels que η= 1 dans un voisinage
de supp f. Montrer que ηf =f.

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3.3 D´erivation
D´efinition 3.14. Soit f∈ D′(I) et k≥1 un entier. On d´efinit
(f(k), ϕ) = (−1)k(f, ϕ(k)) pour ϕ∈ D(I).
Exercice 3.15.Montrer que f(k)∈ D′(I) pour tout k≥1. En particulier, toute
distribution est infiniment diff´erentiable.
Proposition 3.16. (i) Si fn→fdans D′(I), alors f(k)
n→f(k)dans D′(I).
(ii) Si f∈ D′(I)et a∈C∞(I), alors
(af)′=a′f+af′.
(iii) Si J⊂Iest un sous-intervalle et f= 0 sur J, alors f(k)= 0 sur J⊂I.
En particulier, supp f(k)⊂supp f.
D´emonstration. (i) Soit ϕ∈ D(I). Alors
(f(k)
n, ϕ) = (−1)k(fn, ϕ(k))→(−1)k(f, ϕ(k)) = (f(k), ϕ).
(ii) Pour tout ϕ∈ D(I), on a
((af)′, ϕ) = −(af, ϕ′) = −(f, aϕ′) = −(f, (aϕ)′) + (f, a′ϕ) = (af′+a′f, ϕ).
(iii) Soit ϕ∈ D(J). Alors ϕ(k)∈ D(J), et donc
(f(k), ϕ) = (−1)k(f, ϕ(k)) = 0.
Exemples 3.17.(a) Soit θla fonction de Heaviside:
θ(x) = (1, x ≥0,
0, x < 0.
Alors θ′=δ.
(b) Calculons δ′:
(δ′, ϕ) = −(θ, ϕ′) = −ϕ′(0).
Th´eor`eme 3.18. Soit f∈L1
loc(R)une fonction telle que f∈C1(] − ∞, x0]) et
f∈C1([x0,−∞[). Alors
f′={f′}+ [f]x0δ(x−x0),
o`u [f]x0=f(x+
0)−f(x− 0)et {f′}d´esigne la d´eriv´ee classique de f.

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D´emonstration. Soit ϕ∈ D(R). Alors
(f′, ϕ) = −(f, ϕ′) = −Zx0
−∞
f(x)ϕ′(x)dx −Z+∞
x0
f(x)ϕ′(x)dx
=−fϕ
x0
−∞
+Zx0
−∞
f′ϕ dx −fϕ
+∞
x0
+Z+∞
x0
f′ϕ dx
=f(x+
0)−f(x−
0ϕ(x0) + ZR
f′(x)ϕ(x)dx
= [f]x0(δ(x−x0), ϕ) + ({f′}, ϕ).
Corollaire 3.19. Soit f∈L1
loc(R)tel que f∈C1(Jk),k= 0, . . . , n, o`u
J0=] − ∞, a1], J1= [a1, a2], . . . , Jn= [an,+∞[.
Alors
f′={f′}+
n
X
k=1
[f]akδ(x−ak).
Exemples 3.20.(a) La solution g´en´erale de l’´equation
xmu= 0 (3.4)
est donn´ee par la relation
u(x) =
m−1
X
k=0
akδ(k)(x).(3.5)
En effet, il est facile `a v´erifier que la fonction (3.5) est solution de l’´equation (3.4).
Montrons qu’il n’y a pas d’autres solutions.
Pour tout ϕ∈ D(R), on a
ϕ(x) =
m−1
X
k=0
ϕ(k)(0)
k!xk+xm m!Z1
0
(1 −t)m−1ϕ(m)(tx)dt.
Soit η∈ D(R) une fonction ´egale `a 1 dans le voisinage de x= 0. On pose
ψ(x) = 1
xmϕ(x)−η(x)
m−1
X
k=0
ϕ(k)(0)
k!xk.
Il est facile `a voir que ψ∈ D(R). Si u∈ D′(R) est solution de l’´equation (3.4),
alors
(u, ϕ) = u, η(x)
m−1
X
k=0
ϕ(k)(0)
k!xk+ (u, xmψ) =
m−1
X
k=0
ϕ(k)(0)u, ηxk
k!.