éorème . Soit σ ∈ S n (n ≥ ). Alors σ se décompose en σ = c c c où c

L2 Math/Info Algèbre
 ’    
éorème1. Soit σ ∈Sn(n ≥). Alors σ se décompose en
σ=c○c○⋯cm,
oùc,...,cmsontdescyclesàsupports deuxà deuxdisjoints.De plus cette décomposition est unique à l’ordreprès(dansle
cours nous avonspris soin d’écarterl’identité de la dénition de cycle, celapeut varierdanslalittérature).
Proposition 2.Lesorbitesdeséléments de {,...,n}forment unepartition de {,...,n}.De plus,si i ∈{,...,n}alors en
posantl=min{k∈N∗;σk(i)=i}on aXi={σk(i);≤k≤l−}et si≤k<k′≤l−alors σk(i)≠σk′(i).
Démonstration. Clairementcommepour tout idans{,...,n},i∈Xi,l’ensemble desorbites recouvrentl’ensemble
{,...,n}. Pour montrer que deuxorbites sontégalesoubiendisjointesil sutde montrer(parexemple)quesij∈Xi
alors Xj=Xi.Soientietj(i≠j)telquej∈Xiet soitk≥telqueσk(i)=j.Commej∈Xiil est clairpardénition de
l’orbite de l’élémentiqueXj⊂Xi.Commelegroupemonogène engendréparσest ni (Snest lui-même ni),soitp∈N∗
telqueσp(i)=i.Endécomposantàl’aide de la division euclidiennek=qp+ron obtientj=σr(i)puisσp−r(j)=id’où
i∈XjsoitXi⊂Xj. On a démontréqueXi=Xj.
Pour la deuxièmepropriété(quise démontreindépendammentde lapremière)lest biendéni carlegroupemonogène
engendréparσest cyclique. Parla division euclidienne de kparlon ak=ql+ravec ≤r<l−d’oùσk(i)=σql+r(i)=
σr(σql(i))=σr(i)d’oùXi={σk(i);≤k≤l−}.Siketk′sont tels que≤k<k′≤l−etσk(i)=σk′(i)le fait queσ
soit une bijection entraînequeσk′−k(i)=i,or<k′−k≤l−, ce quicontreditlaminimalité de l.
Démonstration du théorème1.
– Existence. D’aprèslaproposition ,soientXi,Xi,...,Xiplesporbitesformant unepartition de {,...,n}.Quitte
àrenuméroter, excluonslesorbites réduitesàunsingleton (lespoints xesde σ):Xi,Xi,...,Xipsontlesporbitesnon
réduitesàunsingleton maisne formentplus unepartition de {,...,n}.
Considéronsl’orbiteXiketconstruisonsle cycle associé à cettepartition. Nous avonsaussiXik={σq(ik);≤q≤lk−}
avec lk=min{r∈N∗;σr(ik)=ik}≥. Posonsalors
ck(j)=jsij∉Xik
σ(j)sij∈Xik.
L’application ckainsidénie est bienuncycleSnde longueur lketavec lesnotationsducours
ck=(ik,σ(ik),σ(ik),...,σlk−(ik)).
Ainsi on a construitpcyclesàsupports disjoints ; c,...,cp. Montrons queσ=c○⋯○ cp.Siiest unélémentde
{,...,n}celui-ciest soit un pointxe(qui n’appartientà aucundesXij),soit unélémentde ≤k≤pXik.Danslepremier
cason ack(i)=ipour tout ≤k≤p.Danslesecond cas, commeles supports descyclesc,...,cpsontdisjoints on a, par
construction descj,
c○⋯○cp(i)=ck(i)=σ(i),
D’oùlerésultat.
– Unicité. On supposequel’on aσ=c○c⋯○cp=γ○γ⋯○γq,oùc,...,cpsontdescyclesàsupports disjoints de
longueur ≥etde même concernantγ,...,γq. Lapropriétésur la composition de permutationsàsupports disjoints nous
donne
() supp(σ)=p
i=
supp(ci)=p
i=
supp(γi).
SoitXiuneorbitenon réduite à unsingleton. Comme dans() nous avons uneréunion d’ensemblesdisjoints,il yaun
uniquektelquei∈supp(ck)et ununiquek′telquei∈supp(γk′). On peut toujours supposer, à unerenumérotation
près quek=k′=, c’est-à-direquei∈supp(c)eti∈supp(γ).Ainsiσ(i)=c(i)=γ(i)etpour tout k∈Non a
σk(i)=ck
(i)=γk (i).Doncγetcontpour support Xet sontégales(les restriction de cetde γsur {,...,n}∖Xsont
l’identité).
De proche en procheon montre alors, à unerenumérotation près,quenécessairementp=qetci=γipour ≤i≤p.
Proposition 3.Lasignature d’unetransposition vaut −.
Démonstration. Soienta<betta,blatransposition associée (quis’écritaussicommele cycle(a,b)). Uncouple(i,j)avec
i<jréaliseuneinversion (i.e.ta,b(i)>ta,b(j))siet seulement si (a≤i<betj=b) oubien (i=aeta<j<b). En
regardantlescouples quiréalisent uneinversion il apparaît que(a,i)est uneinversion siet seulement(i,b)enest une
aussi, ce quidonneun nombrepaird’inversionsdu type(i,j)avec (i=aetj≠b) ou(i≠aetj=b). Il reste à ajouter
l’inversion (a,b)etau total il yaun nombreimpaird’inversions,soitencoreε(ta,b)=−. 