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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/16
X Maths A MP 2013 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre-
Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).
Ce sujet d’algèbre porte sur l’étude de 3 opérateurs « quantiques » E,Fet H
et leurs relations : ce sont des endomorphismes de l’espace vectoriel Vde dimension
infinie des fonctions de Zvers Ctelles que l’ensemble {k∈Z|f(k)6= 0}soit fini.
C’est un sujet long, composé de quatre parties qui totalisent 43 questions.
•La première partie a d’abord pour objet de définir une base de Vet de construire
les opérateurs E,Fet Hpar leurs valeurs sur les éléments de cette base. La suite
est consacrée à la détermination de conditions sur Fet Hpour que les relations
H◦E = E ◦H + 2E puis E◦F = F ◦E + H soient vérifiées. En fin de partie,
il est demandé de démontrer que la sous-algèbre d’endomorphismes engendrée
par l’un des opérateurs E,Fou Hest isomorphe à une algèbre de polynômes.
•La deuxième partie introduit des objets qui seront utiles dans la quatrième
partie : d’une part, un endomorphisme sur un sous-espace vectoriel de Vde
dimension finie, d’autre part un projecteur de Vsur ce sous-espace.
•La troisième partie propose de déterminer des conditions sur Fet Hpour que
les relations H◦E = q2E◦Hpuis E◦F = F ◦E + H + H−1soient vérifiées.
Elle est, comme la première partie, assez calculatoire.
•Enfin, dans la quatrième partie, on s’aperçoit que sous les conditions trouvées
dans la troisième partie, les opérateurs E,Fet Hvérifient une condition de
compatibilité avec le projecteur défini dans la deuxième partie. On se place
essentiellement dans le cadre rassurant de la dimension finie ; encore fallait-il
parvenir jusque-là.
Ce long sujet d’algèbre linéaire porte sur une large part du programme d’algèbre
de première et deuxième années, avec en plus quelques questions d’arithmétique.
L’ensemble est abordable, mais le cadre inhabituel de la dimension infinie a certai-
nement dérouté nombre de candidats.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/16
Indications
Partie I
2 Déterminer explicitement l’inverse.
3.a Montrer que {vi}i∈Zest une famille libre et génératrice de V.
3.b Calculer E(vi)(k)pour tous i, k ∈Z.
6.a Se restreindre à l’espace Vect {vi|i∈Supp(f)}.
6.b Pour Wun sous-espace comme dans l’énoncé, montrer tout d’abord que H
possède une valeur propre dans Wen utilisant la question précédente, puis
montrer qu’un vecteur propre associé est colinéaire à l’un des {vi}i∈Z.
7.b Calculer Ei(v0)et Fi(v0)pour tout i∈Z.
8.a Il existe un morphisme d’algèbre surjectif C[X] →C[E]. Il ne reste qu’à montrer
l’injectivité !
8.c Utiliser le fait que les valeurs propres de Hannulent tout polynôme annulateur
de H.
Partie II
9 Utiliser le théorème de Gauss.
10.b Résoudre le système induit par l’équation Gaw=λw, pour wun vecteur colonne
de taille ℓet λ=bqiavec 06i < ℓ.
11 Vérifier que l’image de Paest contenue dans Wℓet que Painduit l’identité sur
ce sous-espace.
Partie III
15.b L’énoncé parle ici de la plus petite période strictement positive de λ.
15.c Calculer µ(i+t)−µ(i). Montrer que si cette quantité est nulle pour tout i∈Z,
un certain polynôme admet tous les complexes q2icomme racines.
16.c Montrer que toutes les valeurs propres obtenues en question 16.b sont égales.
16.e L’équation R(λ(0), µ(0), q) = zse ramène à une équation de degré 2 en λ(0).
Partie IV
17.b Utiliser le fait que λest ℓ-périodique.
19 Montrer que Pa◦E◦Paet Pa◦Ecoïncident sur les vecteurs de la base {vi}i∈Z.
20.a Pour que la question ait un sens, on pourra supposer que Paest dorénavant une
application dont l’espace d’arrivée est Wℓ.
20.b Montrer que le sous-espace considéré est le noyau de Pa.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/16
I. Opérateurs sur les fonctions à support fini
1.a La fonction nulle ayant un support vide, celui-ci est en particulier fini donc
V6=∅. De plus, pour tout (λ, f, g)∈C×V2,
Supp(λf +g)⊂Supp(λf)∪Supp(g)⊂Supp(f)∪Supp(g)
Ainsi Supp(λf +g)est un ensemble fini et λf +gappartient à V. Par conséquent,
Vest un sous-espace vectoriel de CZ.
1.b Soit (λ, f, g)∈C×CZ×CZ. Alors pour tout k∈Z
E(λf +g)(k) = (λf +g)(k+ 1)
=λf(k+ 1) + g(k+ 1)
E(λf +g)(k) = λE(f)(k) + E(g)(k)
de sorte que E(λf +g) = λE(f) + E(g). Par conséquent,
E∈ L(CZ)
De plus, pour tout f∈CZet tout k∈Z,
E(f)(k)6= 0 ⇐⇒ f(k+ 1) 6= 0 ⇐⇒ k+ 1 ∈Supp(f)
Ainsi, Supp(E(f)) = {k−1|k∈Supp(f)}. En particulier si f∈V, Supp(f)
et Supp(E(f)) sont tous deux finis. Par suite,
Vest stable par E.
2Considérons E′:(CZ−→ CZ
f7−→ (k7→ f(k−1))
En raisonnant de manière similaire à la question précédente, on montre que E′est
un élément de L(CZ)et que, de plus, Vest stable par E′. Notons toujours E′l’endo-
morphisme induit sur V, alors pour toute fonction f∈V,E′◦E(f) = E ◦E′(f) = f.
Par conséquent Eest inversible d’inverse E′et en particulier
E∈GL(V)
Notons que comme Vest de dimension infinie (ce qui est un corollaire du
résultat de la question suivante), il ne suffit pas de montrer que Eest injectif
ou surjectif pour conclure que c’est un endomorphisme inversible.
3.a Pour montrer que la famille {vi}i∈Zest une base de V, il suffit de montrer
qu’elle est libre et génératrice.
Soit Iun ensemble fini de Z, et (λi)i∈I∈CI. Supposons que P
i∈I
λivi= 0. Alors
∀k∈I 0 = P
i∈I
λivi(k) = λk
Par suite, la famille {vi}i∈Zest libre.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/16
Soit f∈V. Puisque Supp(f)est fini, on peut écrire f=P
i∈Supp(f)
f(i)vi. Ainsi,
la famille {vi}i∈Zest une famille génératrice de V.
La famille {vi}i∈Zest une base de V.
3.b Pour k∈Z,E(vi)(k) = vi(k+ 1) = (1si k=i−1
0sinon
Par conséquent, E(vi) = vi−1
4Soit i∈Z. On a H◦E(vi) = H(vi−1) = λ(i−1)vi−1
et (E ◦H + 2E)(vi) = E(λ(i)vi) + 2vi−1=λ(i)E(vi) + 2vi−1= (λ(i) + 2)vi−1
Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une base
de l’espace de définition. Par suite,
H◦E = E ◦H + 2E ⇔ ∀ i∈Zλ(i−1) = λ(i) + 2
⇔ ∀ i>0λ(i) = λ(i−1) −2et λ(−i) = λ(−i+ 1) + 2
⇔ ∀ i>0λ(i) = λ(0) −2iet λ(−i) = λ(0) + 2i
H◦E = E ◦H + 2E ⇔ ∀ i∈Zλ(i) = λ(0) −2i
5Soit i∈Z. On a E◦F(vi) = E(µ(i)vi+1) = µ(i)E(vi+1) = µ(i)vi
et (F ◦E + H)(vi) = F(vi−1) + λ(i)vi= (µ(i−1) + λ(0) −2i)vi(question 4)
d’où E◦F = F ◦E + H ⇐⇒ ∀i∈Zµ(i) = µ(i−1) + λ(0) −2i
Montrons l’équivalence entre cette dernière proposition et celle de l’énoncé. Suppo-
sons µ(i)−µ(i−1) = λ(0) −2ipour tout i∈Z. Alors pour tout i>0
µ(i) = µ(0) +
i
P
k=1
(λ(0) −2k)
=µ(0) + iλ(0) −i(i+ 1)
µ(i) = µ(0) + i(λ(0) −1) −i2
de plus µ(−i) = µ(0) +
i
P
k=1
(µ(−k)−µ(−k+ 1))
=µ(0) +
i
P
k=1
(−2(k−1) −λ(0))
=µ(0) −i(i−1) −λ(0)i
µ(−i) = µ(0) −i(λ(0) −1) −i2
Par suite, pour tout i∈Z,µ(i) = µ(0) + i(λ(0) −1) −i2. En conclusion,
E◦F = F ◦E + H ⇐⇒ ∀i∈Zµ(i) = µ(0) + i(λ(0) −1) −i2
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