Topologie - Feuille n o 2 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE
FEUILLE D’EXERCICES N◦2
MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2006/2007
Exercice 1. (Convolution). Soient N∈N>0,p∈[1,∞], f∈L1(RN) et g∈Lp(RN). On
veut montrer que pour presque tout x∈RN, la fonction y7→ f(x−y)g(y) est int´egrable
sur RNet que si
(f∗g)(x) = ZRN f(x−y)g(y) d y
alors f∗g∈Lp(RN) et kf∗gkp≤ kfk1kgkp.
(1) Traiter les cas p=∞et p= 1.
(2) Si p∈]1,∞[, on majorera l’int´egrale RRNRRNf(x−y)g(y) d yh(x) d xpour h∈
Lq(RN) o`u qest l’exposant conjugu´e de p(i.e. 1/p + 1/q = 1).
Soient Ω ⊆RNet f: Ω →R. On note ω⊆Ω le plus grand ouvert sur lequel fest nulle
presque partout (c’est la r´eunion des ouverts de Ω sur lesquels fest nulle presque partout,
il est facile de voir que c’est une r´eunion d´enombrable de tels ouverts). Le support de f
est supp(f) = Ω \ω. Pour k∈N∪{∞}, on note Ck
c(RN) l’espace des fonctions de classe
Ck`a support compact sur RN.
Exercice 2. Soient f∈L1(RN) et g∈Lp(RN). Montrer que
supp(f∗g)⊆supp(f) + supp(g).
Exercice 3. (1) Montrer que si f∈C0
c(RN) et g∈L1(RN), alors f∗g∈C0(RN).
(2) Montrer que si f∈Ck
c(RN) avec k∈N, alors f∗g∈Ck(RN).
Exercice 4. (R´egularisation par convolution). Soit (ρn)n∈N>0une suite avec ρn∈C∞
c(RN).
On dit que (ρn)n∈N>0est r´egularisante si ρn≥0, RRNρn= 1 pour tout n∈N>0, et pour
tout δ∈R>0, on a lim
n→∞ RRN\B(0,δ)ρn= 0.
(0) Construire une suite r´egularisante en utilisant ρ:x7→ (exp 1
kxk−1si kxk<1
0 si kxk ≥ 1.
(1) Si f∈C0(RN), alors ρn∗fconverge uniform´ement vers fsur tout compact de
RN.
(2) Supposons en outre qu’en fait, on a supp(ρn)⊆B(0,1/n) pour tout n∈N>0. Si
f∈Lp(RN) avec 1 ≤p < ∞, alors ρn∗fconverge vers fdans Lp(RN) (on rappelle
que C0
c(Ω) est dense dans Lp(Ω)).
(3) En d´eduire que si Ω ⊆RNest un ouvert et 1 ≤p < ∞, alors C∞
c(Ω) est dense
dans Lp(Ω).
Exercice 5. Soient (E, k.k) un espace norm´e, F⊆Eun sous-espace, f:F→Rune
forme lin´eaire continue et x∈E\F. Montrer qu’on peut prolonger fen une forme lin´eaire
continue e f:F⊕Rx→Ravec ke fk=kfk(on cherchera l’encadrement que doit v´erifier
e
f(x)).
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Exercice 6. Soient Eun espace vectoriel norm´e sur R,fune forme lin´eaire non nulle sur
Eet α∈R. Montrer que l’hyperplan d’´equation f(x) = αest ferm´e si et seulement si f
est continue.
Exercice 7. (1) Soient Eun espace vectoriel norm´e et Fun sous espace vectoriel
ferm´e de E. Montrer qu’on munit l’espace vectoriel quotient E/F en posant
kx+FkE/F = inf
y∈Fkx−yk.
(2) Soit x∈E\F. Montrer qu’il existe une forme lin´eaire continue fsur Etelle que
f|F= 0 et f(x)>0 (en particulier, on peut s´eparer strictement xet F).
Exercice 8. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e et E0son dual muni de la norme
usuelle. On veut montrer que si E0est s´eparable alors Eest s´eparable.
(1) On suppose que (fn)n∈Nest une suite dense de E0. Montrer qu’il existe une suite
(xn)n∈Nde Etelle que (∀n∈N)fn(xn)≥1
2kfnket kxnk= 1.
(2) Montrer que l’espace vectoriel engendr´e par les xnest dense dans E.
(3) Soit `∞(R) = {x:N→R, x est born´ee}l’ensemble des suites born´ees, norm´e par
kxk∞= supn∈N|x(n)|. Montre que `∞n’est pas s´eparable (on pourra consid´erer le
sous-ensemble {0,1}N). En d´eduire que l’application naturelle `1(R)→(`∞(R))0
n’est pas surjective (o`u `1(R) = {x:N→R,Pn∈N|x(n)|<∞}).
Exercice 9. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels norm´es et u:E→Flin´eaire continue.
On d´efinit u∗:F0→E0par u∗(ϕ) = ϕ◦u. Montrer que u∗est continue et que ku∗kL(F0,E0)=
kukL(E,F ).
Exercice 10. Soient Eun espace de Banach et F⊆Eun sous-espace de dimension finie.
Alors Fadmet un suppl´ementaire topologique.