L2 Math & INFO Algèbre 3
À SAVOIR
Théorème.
Soit (
G,
)une groupe et
H
une partie non vide de
G
.(
H,
)est un sous groupe de (
G,
)si
et seulement si
(1) pour tout (a,b)G2l’élément abappartient à H
(2) pour tout aH, si a1désigne le symétrique de adans G, alors a1H.
Théorème.
L’intersection d’une famille non vide de sous-groupes de (
G,
)est un sous-groupe de (
G,
).
Théorème.
Soient (
G,
)et (
G0,T
)deux groupes et
f
un morphisme de (
G,
)dans (
G0,T
). On note
e
l’élément neutre de G. Alors
finjective ker f={e}.
Théorème. Soit Hun sous-groupe de (Z,+). Alors il existe aNtel que H=aZ.
Proposition.
Soient
σ
et
τ
deux permutations de
Sn
. Si
σ
et
τ
sont à supports disjoints alors elles
commutent et supp(στ)=supp(σ)supp(τ).
Proposition.
Soit
f
:
A7→ B
un morphisme d’anneau unitaire et soit
J
un idéal de
B
. Alors
f1
(
J
)est
un idéal de A.
Lemme. Lemme de Gauss dans Z.
Proposition. Les polynômes de degré 1sont irréductibles.
Théorème. L’élément aest racine de Psi seulement si (Xa)divise P.
Proposition.
Montrer que si
α
est racine d’ordre
k
, avec
k
2, du polynôme
P
alors
α
est racine d’ordre
k1de P0. Donner un exemple où la quantité 0est racine double de P0sans être racine de P.
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