Groupe fondamental, premiers calculs d`homologie 1. Groupes
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Groupe fondamental, premiers calculs d’homologie 1. Groupes topologiques Un groupe topologique est un groupe dont l’ensemble sous-jacent est muni d’une topologie telle que la multiplication et l’inversion sont continues. Exemples : Z, R, S1 , SL(n, R), les groupes de Lie en général... √ 1– Notons H le sous-groupe Z + 5Z de R. Décrire la topologie quotient sur R/H. 2– Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe. A quelle condition la topologie quotient sur H\G est séparée ? 3– On suppose maintenant que G est un groupe topologique connexe par arcs. Soient α et β deux lacets basés en l’identité e de G. Montrer que la concaténation α · β est homotope au lacet αβ : t 7→ α(t)β(t). 4– Montrer que la concaténation α · β est aussi homotope au lacet βα. 5– Montrer que le groupe fondamental de G est commutatif. 2. Suspension d’homéomorphisme linéaire du tore Soit T le tore R2 /Z2 et A une matrice de M(2, Z). On note GL(2, Z) l’ensemble des matrices inversibles de M(2, Z) dont l’inverse est encore à coefficients entiers. 1– A quelles conditions l’action linéaire de A sur R2 induit un homéomorphisme fA de T? 2– On se place sous la condition ci-dessus et on considère la suspension MA de l’homéomorphisme fA : MA = T × [0, 1]/(x, 0) ∼ (fA (x), 1). Montrer que MA est homéomorphe à un quotient de R3 par un sous-groupe de transformations affines. MA est-elle orientable ? 3– Montrer que MA est une variété. 4– Montrer que MA et MA0 sont homéomorphes si A et A0 sont conjuguées dans GL(2, Z). Montrer que c’est toujours le cas si A−1 et A0 sont conjuguées dans GL(2, Z). 5– Déterminer le groupe fondamental de MA . 6– Montrer que MA et MA0 sont homéomorphes si et seulement si A et A0 ou A−1 et A0 sont conjuguées dans GL(2, Z). 3. La décomposition polaire On veut montrer que le groupe GL(n, R) se rétracte sur O(n)). On note S l’ensemble des matrices symétriques et S + l’ensemble des matrices définies positives. 1– Montrer que l’exponentielle réalise un homéomorphisme entre S et S + . 2– Montrer la décomposition polaire : l’application O(n) × S + → GL(n, R) donné par (Q, S) 7→ QS est un homéomorphisme (c’est même un difféomorphisme). 3– Conclure 4– (Bonus) Calculer le groupe fondamental de SO(n) pour tout n. 1 2 Topologie différentielle et algébrique des variétés différentielles - M2 2014/2015 Remarque : On montre de même que GL(n, C) se rétracte sur U(n). 4. Complexes simpliciaux On considère K un complexe simplicial. En utilisant les axiomes de complexe simplicial, montrer que : 1– K est dénombrable. 2– K est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs. 3– Montrer qu’un sous-ensemble F de K est fermé si et seulement si l’intersection de F avec tout simplexe de K est fermé. 5. Un premier cube On considère la subdivision barycentrique du cube vue en feuille 1. On note C ce complexe simplicial. Déterminons son homologie simpliciale : 1– Rappeler la caractéristique d’Euler de ce complexe. 2– Déterminer H0 (C). 3– Montrer que les groupes d’homologie H3 (C) et H2 (C) sont nuls. 4– En déduire H1 (C). 6. Homologie des surfaces 1– Pour le tore et le plan projectif RP2 , les décomposer comme 2 triangles avec des recollements des arêtes ; on appelle ça un complexe "quasi-simplicial", car différents sommets d’un simplexe peuvent être identifiés au recollement. On peut étendre les définitions de chaîne et d’homologie à ce cadre. 2– Montrer qu’on peut subdiviser les complexes précédents de manière à les rendre simpliciaux. 3– Montrer que les groupes d’homologie comme complexe quasi-simplicial ou complexe simplicial sont les mêmes. 4– Calculer, pour le tore et le plan projectif, leur caractéristique d’Euler et leurs groupes d’homologie. 5– En considérant le recollement d’un 2g-gone de manière à ce qu’il n’y ait plus qu’un seul sommet, faire de même pour la surface de genre g. 7. L’engrenage On considère le sous-espace topologique E de C défini par : 6π iθ E = re | 0 6 r 6 1 et θ ∈ ,n∈N . n Montrer que E se rétracte par déformation sur 1. Peut-on construire une telle rétraction par déformation qui laisse fixe 1 ? (on parle alors de rétraction par déformation forte)
