Groupe fondamental, premiers calculs d`homologie 1. Groupes

Groupe fondamental, premiers calculs d’homologie
1. Groupes topologiques
Un groupe topologique est un groupe dont l’ensemble sous-jacent est muni d’une topologie
telle que la multiplication et l’inversion sont continues. Exemples : Z,R,S1,SL(n, R), les
groupes de Lie en général...
1– Notons Hle sous-groupe Z+√5Zde R. Décrire la topologie quotient sur R/H.
2– Soit Gun groupe topologique et Hun sous-groupe. A quelle condition la topologie
quotient sur H\Gest séparée ?
3– On suppose maintenant que Gest un groupe topologique connexe par arcs. Soient α
et βdeux lacets basés en l’identité ede G. Montrer que la concaténation α·βest
homotope au lacet
αβ :t7→ α(t)β(t).
4– Montrer que la concaténation α·βest aussi homotope au lacet βα.
5– Montrer que le groupe fondamental de Gest commutatif.
2. Suspension d’homéomorphisme linéaire du tore
Soit Tle tore R2/Z2et Aune matrice de M(2,Z). On note GL(2,Z)l’ensemble des
matrices inversibles de M(2,Z)dont l’inverse est encore à coefficients entiers.
1– A quelles conditions l’action linéaire de Asur R2induit un homéomorphisme fAde
T?
2– On se place sous la condition ci-dessus et on considère la suspension MAde l’homéo-
morphisme fA:
MA=T×[0,1]/(x, 0) ∼(fA(x),1).
Montrer que MAest homéomorphe à un quotient de R3par un sous-groupe de trans-
formations affines. MAest-elle orientable ?
3– Montrer que MAest une variété.
4– Montrer que MAet MA0sont homéomorphes si Aet A0sont conjuguées dans GL(2,Z).
Montrer que c’est toujours le cas si A−1et A0sont conjuguées dans GL(2,Z).
5– Déterminer le groupe fondamental de MA.
6– Montrer que MAet MA0sont homéomorphes si et seulement si Aet A0ou A−1et A0
sont conjuguées dans GL(2,Z).
3. La décomposition polaire
On veut montrer que le groupe GL(n, R)se rétracte sur O(n)). On note Sl’ensemble des
matrices symétriques et S+l’ensemble des matrices définies positives.
1– Montrer que l’exponentielle réalise un homéomorphisme entre Set S+.
2– Montrer la décomposition polaire : l’application O(n)× S+→GL(n, R)donné par
(Q, S)7→ QS est un homéomorphisme (c’est même un difféomorphisme).
3– Conclure
4– (Bonus) Calculer le groupe fondamental de SO(n)pour tout n.
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2 Topologie différentielle et algébrique des variétés différentielles - M2 2014/2015
Remarque : On montre de même que GL(n, C)se rétracte sur U(n).
4. Complexes simpliciaux
On considère Kun complexe simplicial. En utilisant les axiomes de complexe simplicial,
montrer que :
1– Kest dénombrable.
2– Kest connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.
3– Montrer qu’un sous-ensemble Fde Kest fermé si et seulement si l’intersection de F
avec tout simplexe de Kest fermé.
5. Un premier cube
On considère la subdivision barycentrique du cube vue en feuille 1. On note Cce complexe
simplicial. Déterminons son homologie simpliciale :
1– Rappeler la caractéristique d’Euler de ce complexe.
2– Déterminer H0(C).
3– Montrer que les groupes d’homologie H3(C)et H2(C)sont nuls.
4– En déduire H1(C).
6. Homologie des surfaces
1– Pour le tore et le plan projectif RP2, les décomposer comme 2triangles avec des
recollements des arêtes ; on appelle ça un complexe "quasi-simplicial", car différents
sommets d’un simplexe peuvent être identifiés au recollement. On peut étendre les
définitions de chaîne et d’homologie à ce cadre.
2– Montrer qu’on peut subdiviser les complexes précédents de manière à les rendre
simpliciaux.
3– Montrer que les groupes d’homologie comme complexe quasi-simplicial ou complexe
simplicial sont les mêmes.
4– Calculer, pour le tore et le plan projectif, leur caractéristique d’Euler et leurs groupes
d’homologie.
5– En considérant le recollement d’un 2g-gone de manière à ce qu’il n’y ait plus qu’un
seul sommet, faire de même pour la surface de genre g.
7. L’engrenage
On considère le sous-espace topologique Ede Cdéfini par :
E=reiθ |06r61et θ∈6π
n, n ∈N.
Montrer que Ese rétracte par déformation sur 1. Peut-on construire une telle rétraction
par déformation qui laisse fixe 1? (on parle alors de rétraction par déformation forte)