Chapitre 19 Réduction des endomorphismes et des matrices

Chapitre 19
Réduction des endomorphismes et des
matrices carrées
19.1 Changements de bases
Le but de ce paragraphe est d’établir des formules de changement de base, pour des vec-
teurs ou des applications linéaires, à l’aide du calcul matriciel.
19.1.1 Matrices de passage
On se donne Eun K-ev de dimension finie égale à nN.
Définition 19.1 Matrice de passage d’un base à une autre
Soient B1et B2deux bases de E. On appelle matrice de passage de B1àB2la matrice :
PB1B2=MatB1(B2)Mn(K)
Si B1=(e1,...,en), B2=(ε1,...,εn) et P=((pi j ))1i,jnon a donc :
PB1B2=
ε1... εj... εn
p11 ... p1j... p1ne1
.
.
..
.
..
.
..
.
.
pi1... pi j ... pin ei
.
.
..
.
..
.
..
.
.
pn1... pn j ... pnn en
et en particulier :
j 1,n,εj=
n
i=1
pi j ei
.
Remarquons qu’une matrice de passage est inversible. Réciproquement toute matrice
inversible est une matrice de passage.
Exemple :Si Best une base de E, on a : PBB=In.
411

412 CHAPITRE 19. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES
Exemple :Si E=R3[X], B1=(1, X,X2,X3et B2=1, X1,(X1)2,(X1)3alors
PB1B2=
11 1 1
012 3
0 0 1 3
0 0 0 1
.
Voici le résultat principal du paragraphe.
Théorème 19.2 Interprétation d’une matrice de passage
En considérant l’application linéaire idE: (E,B2) (E,B1), on a :
PB1B2=Mat(idE,B2,B1)
On en déduit deux résultats très importants.
Corollaire 19.3 Produit de matrices passages
1. Soient B1,B2et B3trois bases de E. Alors :
PB1B3=PB1 B2×PB2B3
2. Soient B1et B2deux bases de E. Alors PB1B2est inversible et :
PB1B21=PB2B1
19.1.2 Formules de changement de bases
Commençons par le cas d’une famille de vecteurs.
Théorème 19.4 Formule de changement de base pour une famille de vecteurs
On se donne Eun K-espace vectoriel de dimension finie, et B1,B2deux bases de E.
1. Cas d’un vecteur. Si xE, on pose X=Mat
B1
(x), X=Mat
B2
(x) et P=PB1B2. Alors :
X=P×XX=P1×X
2. Cas d’une famille de vecteurs. Si Fest une famille de vecteurs de E, on pose
M=Mat
B1
(F), M=Mat
B2
(F) et P=PB1B2. Alors :
M=P×MM=P1×M
Étudions maintenant la cas d’une application linéaire.
Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

19.1. CHANGEMENTS DE BASES 413
Théorème 19.5 Formule de changement de base pour une application linéaire
On se donne Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie, et B1,B2(resp. C1,C2)
deux bases de E(resp. de F).
1. Cas général. Si fL(E,F), on pose A=Mat(f,B1,C1), A=Mat(f,B2,C2),
P=PB1B2et Q=PC1C2. Alors :
A=P×A×Q1et A=P1×A×Q
Cas d’un endomorphisme. Si fL(E,F), on pose A=Mat
B1
(f), A=Mat
B2
(f) et
P=PB1B2. Alors :
A=P×A×P1et A=P1×A×P
19.1.3 Matrices carrées semblables
Définition 19.6 Matrices carrées semblables
Soient A,BMn(K). On dit que Aest semblable à B, lorsqu’il existe PMn(K) inversible
telle que :
A=PBP1
Si Aet BMnp (K) vérifient A=PBQ1où PMn(K) et QMp(K) sont inversibles, on
dit que Aest équivalente àB. Cette notion n’est pas au programme d’ECS et ne sera donc
pas étudiée ici.
Proposition 19.7 Interprétation de la similitude de deux matrices
Soient A,BMn(K). Alors :
Aet Bsont semblables  Aet Breprésentent le même endomorphisme dans
des bases différentes
Proposition 19.8 Propriétés élémentaires de la relation de similitude
Soient A,Bet CMn(K).
1. Réfléxivité.Aest semblable à A
2. Symétrie Aest semblable à B Best semblable à A.
On peut donc dire que Aet Bsont semblables.
3. Transitivité Asemblable à Bet Bsemblable à C=Asemblable à C.
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414 CHAPITRE 19. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES
Théorème 19.9 Produit matriciel et matrices semblables
Soient A,BMn(K) semblables. On se donne PMn(K) inversible telle que A=P×B×P1.
1. On a :
kN,Ak=P×B×P1k=P×Bk×P1
donc pour tout kN,Aket Bksont semblables.
2. Aest inversible  Best inversible.
Dans ce cas, on a : kZ,Ak=P×B×P1k=P×Bk×P1.
Et donc pour tout kZ,Aket Bksont semblables.
�ATTENTION : la relation de similitude n’est pas stable par addition ou produit matri-
ciel.. .
19.2 Réduction des endomorphismes et des matrices carées
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie nNet fL(E).
On aimerait trouver une base B=(e1,...,en) de Etelle que Mat
B(f) est diagonale (ie la
plus simple possible !).
Remarquons que si une telle base existe, alors Mat
B(f)=Diag(λ1,...,λn) et on a :
i 1,n,f(ei)=λi.ei
Cette remarque motive les définitions du paragraphe suivant. Les λiseront appelées va-
leurs propres de f, et les eivecteurs propres de f.
19.2.1 Éléments propres d’un endomorphisme
Définition 19.10 Valeur propre, spectre, vecteur propre, sous-espace propre
1. Valeur propre. Soit λK. On dit que λest valeur propre de florsqu’il existe xEtel
que :
f(x)=λ.xet x=0E
L’ensemble des valeurs propres de fest appelé spectre de f. On le note Sp(f).
2. Vecteur propre. Soit λune valeur propre de f. On appelle vecteur propre de fassocié
àλ, tout xEtel que :
f(x)=λ.xet x=0E
3. Sous-espace propre. Si λest une valeur propre de f, on appelle sous-espace propre de
fassocié à λ:
Eλ(f)=Ker(fλ.idE)=xEf(x)=λ.x
C’est un sous-espace vectoriel de E, composé du vecteur nul et de tous les vecteurs
propres de fassociés à la même valeur propre λ.
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19.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 415
Exemple :Soit fL(R3) défini par f(x,y,z)=(x+y,x+z,y+z). On a f(1,1,1) =2.(1,1,1)
donc 2 Sp(f), et on voit facilement que 0 Sp(f).
Exemple :Si nNet Dest l’endomorphisme de dérivation de Kn[X], on a Sp(D)={0} et
E0(D)=K0[X].
Exemple :Pour tout λ.K, Sp(λ.idE)={λ}.
En particulier Sp(idE)={1} et Sp(0L(E))={0K}.
Exemple :Si pest un projecteur de E, alors Sp(p){0,1}.
Théorème 19.11 Caractérisation des valeurs propres
Soit λK. On a équivalence des propositions :
(i) λSp(f)
(ii) Ker(fλ.idE)={0E}
(iii) dimKer(fλ.idE)1
(iv) fλ.idEn’est pas un automorphisme de E
(v) rg(fλ.idE)<n
Proposition 19.12 Cas particulier de la valeur propre 0
On a :
0 est valeur propre de f fest un automorphisme de E
et dans ce cas E0(f)=Ker(f).
Étudions maintenant les liens reliants des sous-espaces propres associés à des valeurs
propres différentes.
Théorème 19.13 Propriétés de sous-espaces propres associés à des valeurs propres
différentes
1. Si (λ,µ)K2sont tels que λ=µ, alors Kerfλ.idEKerfµ.idE={0E}.
En particulier si λet µsont deux valeurs propres de fdistinctes, alors Eλ(f)Eµ(f)=
{0E}. Deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont donc
en somme directe.
2. Si x1, ..., xpsont des vecteurs de fassociés à des valeurs propres deux à deux dis-
tinctes, alors la famille (x1,...,xp) est libre.
On en déduit un résultat très important sur le nombre de valeurs propres d’un endomor-
phisme (en dimension finie).
Corollaire 19.14 Cardinal du spectre d’un endomorphisme
Sp(f) est un ensemble fini et :
CardSp(f)dim(E)
Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/