Topologie-syllabus - Moodle UM

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2016-2017
HLMA502 : Topologie des Espaces Métriques
Philippe Castillon (1 )
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Espaces métriques
1.1
Distances et normes
– Définition d’une distance sur un ensemble et d’une norme sur un espace vectoriel. Exemples.
– Dans un espace métrique, définition des boules (ouvertes te fermées), des parties bornées et du
diamètre d’une partie.
1.2
Limites, continuité
– Définition de la convergence d’une suite de points d’un espace métrique et de la limite d’une application entre deux espaces métriques. Définition de la continuité (locale et globale) d’une application
entre espaces métriques. Exemples.
– Définition des applications Lipschitziennes, contractantes et des isométries entre espaces métriques.
Exemples. La fonction distance est 1-Lipschitzienne.
– Notion de distances et de normes équivalentes. Les notions de convergence sont les mêmes pour
deux distances équivalentes.
1.3
De la métrique à la topologie
– Définition des ouverts, des fermés et des voisinages dans un espace métrique. Exemples.
– Caractérisation de la convergence des suites et des applications avec la notion de voisinages, caractérisation de la continuité avec la notion d’ouverts.
– Propriétés fondamentales des ouverts d’un espace métrique.
2
Espaces topologiques
2.1
Topologie sur un ensemble
– Définition d’un espace topologique. Exemples. Topologie induite.
– Fermés et voisinages d’un espace topologique, espaces séparés.
– Intérieur et adhérence d’une partie d’un espace topologique, parties denses. Exemple.
1 Département de Mathématiques, CC 051, Université de Montpellier, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
Mèl : [email protected]
1
2.2
Convergence et continuité sur un espace topologique
– Notions de convergence de suites, de limites d’applications et de continuité. Unicité de la limite
dans les espaces séparés. Exemples.
– Propriétés des fonctions continues : images réciproques d’ouverts et de voisinages, continuité d’un
composée.
– Définition d’un homéomorphisme. Exemple.
2.3
Quelques considérations générales
– Comparaison de topologies.
– Base de topologie, topologie engendrée. Exemples.
2.4
Topologie produit
– Définition de la topologie produit : cas des produits finis et des produits infinis.
– Caractérisation de la convergence pour la topologie produit. Exemple.
2.5
Topologie quotient
– Définition de la topologie quotient. Exemples.
– Caractérisation de la convergence pour la topologie quotient.
3
Connexité
3.1
Définition et exemples
– Définition d’un espace topologique connexe, d’une partie connexe. Exemples.
– Caractérisation des parties connexes de R.
3.2
Connexité et continuité
– Image continue d’un connexe et théorème des valeurs intermédiaires.
– Caractérisation de la connexité par les applications à valeur dans un discret.
3.3
Propriétés des connexes
– Connexité et réunion, connexité et adhérence, connexité et produit.
– Définition d’un chemin, connexité par arc, convexité dans un e.v.n.. Exemples.
– La connexité par arc implique la connexité, la réciproque est fausse.
3.4
Composantes connexes
– Définition des composantes connexes d’un espace topologique, propriétés, exemples.
– Le ”nombre de composantes connexes” est invariant par homéomorphisme.
2
4
Compacité
4.1
Définition et exemples
– Définition d’un espace topologique compact, d’une partie compacte. Exemples.
– Propriétés des parties compactes.
– Caractérisation des parties compactes de R.
4.2
Propriétés
– Unions et intersections de parties compactes.
– Image continue d’un compacte, propriété des fonctions continues sur un compact.
– Compacité et topologie produit. Caractérisation des compacts de Rn .
– Compacité dans un espace métrique : théorème de Bolzano-Weierstrass.
5
Espaces métriques complets
5.1
Suites de Cauchy
– Définition des suites de Cauchy. Exemples, propriétés.
– Applications uniformément continues entre espaces métriques et suites de Cauchy. Exemples.
5.2
Espaces métriques complets
– Définition d’un espace métrique complet et d’une partie complète. Propriétés, exemple.
– Produit d’espaces complets.
– Prolongement des applications uniformément continues, complété d’un espace métrique. Exemples.
5.3
Théorème de point fixe
– Théorème du point fixe pour les applications contractantes.
6
Espaces vectoriels normés, espaces de Banach
6.1
Espaces vectoriels normés, Le cas de la dimension finie
– Définition d’un espace vectoriel normé, distance et topologie associée. Exemples.
– Le cas de la dimension finie : équivalence des normes, caractérisation des compacts, complétude,
continuité des applications linéaires.
– Finitude de la dimension et compacité de la boule unité.
3
6.2
Applications linéaires continues
– Caractérisation des applications linéaires continues entre e.v.n..
– Définition de la norme sur l’espace des applications linéaires continues, propriétés.
6.3
Espaces de Banach
– Définition d’un espace de Banach, complétude de l’espace des app. linéaires continues vers un
espace de Banach.
– Séries à valeur dans un Banach, convergences normale et critère de convergence. Exemple.
6.4
Exemples importants
– Espace des application bornées vers un espace complet, espace des fonctions continues sur un
compact.
– Parties équicontinues, théorème d’Ascoli.
– Espace de suites.
7
Espaces de Hilbert
7.1
Définitions et propriétés
– Définition d’un espace pré-hilbertien, continuité du produit scalaire.
– Orthogonal d’une partie dans un espace pré-hilbertien, propriété, exemples. Formules de Pythagore
et du parallélogramme.
– Définition d’un espace de Hilbert, exemple.
7.2
Le théorème de la projection et ses conséquences
– Théorème de la projection sur un convexe fermé.
– Sous-espaces (fermés) d’une espace de Hilbert.
– Formes linéaires continues et théorème de représentation de Riesz.
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