Topologie-syllabus - Moodle UM

Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA502 : Topologie des Espaces M´etriques
Philippe Castillon (1)
1 Espaces m´etriques
1.1 Distances et normes
– D´efinition d’une distance sur un ensemble et d’une norme sur un espace vectoriel. Exemples.
– Dans un espace m´etrique, d´efinition des boules (ouvertes te ferm´ees), des parties born´ees et du
diam`etre d’une partie.
1.2 Limites, continuit´e
– D´efinition de la convergence d’une suite de points d’un espace m´etrique et de la limite d’une appli-
cation entre deux espaces m´etriques. D´efinition de la continuit´e (locale et globale) d’une application
entre espaces m´etriques. Exemples.
– D´efinition des applications Lipschitziennes, contractantes et des isom´etries entre espaces m´etriques.
Exemples. La fonction distance est 1-Lipschitzienne.
– Notion de distances et de normes ´equivalentes. Les notions de convergence sont les mˆemes pour
deux distances ´equivalentes.
1.3 De la m´etrique `a la topologie
– D´efinition des ouverts, des ferm´es et des voisinages dans un espace m´etrique. Exemples.
– Caract´erisation de la convergence des suites et des applications avec la notion de voisinages, car-
act´erisation de la continuit´e avec la notion d’ouverts.
– Propri´et´es fondamentales des ouverts d’un espace m´etrique.
2 Espaces topologiques
2.1 Topologie sur un ensemble
– D´efinition d’un espace topologique. Exemples. Topologie induite.
– Ferm´es et voisinages d’un espace topologique, espaces s´epar´es.
– Int´erieur et adh´erence d’une partie d’un espace topologique, parties denses. Exemple.
1D´epartement de Math´ematiques, CC 051, Universit´e de Montpellier, Pl. Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
M`el : [email protected] 1

2.2 Convergence et continuit´e sur un espace topologique
– Notions de convergence de suites, de limites d’applications et de continuit´e. Unicit´e de la limite
dans les espaces s´epar´es. Exemples.
– Propri´et´es des fonctions continues : images r´eciproques d’ouverts et de voisinages, continuit´e d’un
compos´ee.
– D´efinition d’un hom´eomorphisme. Exemple.
2.3 Quelques consid´erations g´en´erales
– Comparaison de topologies.
– Base de topologie, topologie engendr´ee. Exemples.
2.4 Topologie produit
– D´efinition de la topologie produit : cas des produits finis et des produits infinis.
– Caract´erisation de la convergence pour la topologie produit. Exemple.
2.5 Topologie quotient
– D´efinition de la topologie quotient. Exemples.
– Caract´erisation de la convergence pour la topologie quotient.
3 Connexit´e
3.1 D´efinition et exemples
– D´efinition d’un espace topologique connexe, d’une partie connexe. Exemples.
– Caract´erisation des parties connexes de R.
3.2 Connexit´e et continuit´e
– Image continue d’un connexe et th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
– Caract´erisation de la connexit´e par les applications `a valeur dans un discret.
3.3 Propri´et´es des connexes
– Connexit´e et r´eunion, connexit´e et adh´erence, connexit´e et produit.
– D´efinition d’un chemin, connexit´e par arc, convexit´e dans un e.v.n.. Exemples.
– La connexit´e par arc implique la connexit´e, la r´eciproque est fausse.
3.4 Composantes connexes
– D´efinition des composantes connexes d’un espace topologique, propri´et´es, exemples.
– Le ”nombre de composantes connexes” est invariant par hom´eomorphisme.
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4 Compacit´e
4.1 D´efinition et exemples
– D´efinition d’un espace topologique compact, d’une partie compacte. Exemples.
– Propri´et´es des parties compactes.
– Caract´erisation des parties compactes de R.
4.2 Propri´et´es
– Unions et intersections de parties compactes.
– Image continue d’un compacte, propri´et´e des fonctions continues sur un compact.
– Compacit´e et topologie produit. Caract´erisation des compacts de Rn.
– Compacit´e dans un espace m´etrique : th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
5 Espaces m´etriques complets
5.1 Suites de Cauchy
– D´efinition des suites de Cauchy. Exemples, propri´et´es.
– Applications uniform´ement continues entre espaces m´etriques et suites de Cauchy. Exemples.
5.2 Espaces m´etriques complets
– D´efinition d’un espace m´etrique complet et d’une partie compl`ete. Propri´et´es, exemple.
– Produit d’espaces complets.
– Prolongement des applications uniform´ement continues, compl´et´e d’un espace m´etrique. Exemples.
5.3 Th´eor`eme de point fixe
– Th´eor`eme du point fixe pour les applications contractantes.
6 Espaces vectoriels norm´es, espaces de Banach
6.1 Espaces vectoriels norm´es, Le cas de la dimension finie
– D´efinition d’un espace vectoriel norm´e, distance et topologie associ´ee. Exemples.
– Le cas de la dimension finie : ´equivalence des normes, caract´erisation des compacts, compl´etude,
continuit´e des applications lin´eaires.
– Finitude de la dimension et compacit´e de la boule unit´e.
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6.2 Applications lin´eaires continues
– Caract´erisation des applications lin´eaires continues entre e.v.n..
– D´efinition de la norme sur l’espace des applications lin´eaires continues, propri´et´es.
6.3 Espaces de Banach
– D´efinition d’un espace de Banach, compl´etude de l’espace des app. lin´eaires continues vers un
espace de Banach.
– S´eries `a valeur dans un Banach, convergences normale et crit`ere de convergence. Exemple.
6.4 Exemples importants
– Espace des application born´ees vers un espace complet, espace des fonctions continues sur un
compact.
– Parties ´equicontinues, th´eor`eme d’Ascoli.
– Espace de suites.
7 Espaces de Hilbert
7.1 D´efinitions et propri´et´es
– D´efinition d’un espace pr´e-hilbertien, continuit´e du produit scalaire.
– Orthogonal d’une partie dans un espace pr´e-hilbertien, propri´et´e, exemples. Formules de Pythagore
et du parall´elogramme.
– D´efinition d’un espace de Hilbert, exemple.
7.2 Le th´eor`eme de la projection et ses cons´equences
– Th´eor`eme de la projection sur un convexe ferm´e.
– Sous-espaces (ferm´es) d’une espace de Hilbert.
– Formes lin´eaires continues et th´eor`eme de repr´esentation de Riesz.
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