Fiche de TD 5 : Continuité

UCBL 2009/2010 - Semestre d’automne
Licence STS, L3 Math´ematiques, Topologie
Fiche de TD 5 : Continuit´e
Exercice 1. Ici, Rest muni de la m´etrique usuelle.
1. Montrer que (R→R, x 7→ x2) n’est pas uniform´ement continue.
2. Montrer que (R≥0→R, x 7→ √x) est uniform´ement continue.
3. Soit f∈ C1(R,R) telle que f′est born´ee sur R. Montrer que fest uniform´ement continue.
Exercice 2. Pour tout n≥1, soit fn: [0,1] →Rdonn´ee par fn(x) = nx si x < 1
net f(x) = 1 si
x≥1
n. Montrer que fnconverge simplement mais pas uniform´ement sur [0,1].
Exercice 3. Soient X, Y deux espaces topologiques et fune application de Xdans Y. Supposons
que X=A∪B.
1. Montrer que si fest continue, alors f|Aet f|Bsont continues (Aet Bsont munis de la topologie
induite).
2. Montrer que la r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral.
3. Montrer que si Aet Bsont ouverts (ou ferm´es) alors la r´eciproque est vraie, i.e. si f|Aet f|B
sont continues alors fest continue.
Exercice 4. Soient Xun espace topologique et A⊂X. Donner une condition n´ecessaire et suffisante
pour que la fonction indicatrice de A,χA:X→R, soit continue. On rappelle que χA(x) = 1 si
x∈Aet χA(x) = 0 sinon.
Exercice 5. (E, d) ´etant un espace m´etrique, montrer que l’application distance d:E×E→Rest
continue.
Exercice 6. Soient E,Fdeux espaces m´etriques et f, g :E→Fdeux applications continues.
1. Montrer que ∆ = {x∈E:f(x) = g(x)}est un ferm´e de E.
2. Soit A∈ P(E). Montrer que si Aest dense dans Eet si f|A=g|Aalors f=g.
3. Montrer que Γf:= {(x, f(x)) : x∈E}est ferm´e dans E×F.
4. Montrer que cette implication n’est pas vraie : Γfferm´e =⇒fcontinue. Indication : on
pourra consid´erer f:R→Rdonn´ee par : f(0) = 0 et f(x) = 1
xpour x6= 0.
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Exercice 7.
1. Soient X, Y deux espaces topologiques. On suppose Ys´epar´e. Soient f, g :X→Ydeux
applications continues.
(a) Montrer que {x∈X|f(x) = g(x)}est un ferm´e de X.
(b) En d´eduire que si fet gco¨ıncident sur une partie dense de Xalors f=g.
2. Soit f: [−1,1] →Rune fonction continue telle que pour tout n∈N,R1
−1f(x)xndx = 0.
Montrer que fest nulle.
Indication : on pourra consid´erer l’application ϕ:C([−1,1],R)→R,g7→ R1
−1f(x)g(x)dx.
Exercice 8. Soit (E, d) un espace m´etrique. Pour une partie Ade E, on d´efinit la fonction distance
`a A,d(·, A) : E→R, par
d(x, A) = inf{d(x, y)|y∈A}.
1. Montrer que ∀A∈ P(E), d(·, A) est 1-lipschitzienne (i.e. qu’elle v´erifie
|d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y),∀x, y ∈E).
2. Soient A, B ∈ P(E). Montrer que l’ensemble {x∈E:d(x, A)< d(x, B)}est ouvert.
3. Montrer que si Fet Gsont deux ferm´es disjoints de E, il existe deux ouverts Uet Vtels que
F⊂U, G ⊂V, U ∩V=∅.
Exercice 9. Soient (E, d) un espace m´etrique, Aet Bdeux ferm´es disjoints de E. Montrer qu’il
existe une fonction continue ϕ:E→Rqui v´erifie
ϕ|A= 1, ϕ|B= 0,et 0 ≤ϕ≤1 sur E.
Exercice 10. Soit E=C([0,1],R). Pour c∈[0,1], on consid`ere
δc:E−→ R
f7−→ f(c).
Montrer que δcest lin´eaire, continue pour la norme k · k∞mais pas continue pour la norme k · k1.
Exercice 11. Soient E=C1([0,1],R), F= (C0([0,1],R),k · k∞). Soit D:E→Fl’application
d´eriv´ee, i.e. D(f) = f′.
1. Montrer que Dest continue si Eest muni de la norme suivante : kfk=kfk∞+kf′k∞.
2. Montrer que Dn’est pas continue si on munit Ede la norme k · k∞.
Exercice 12. Soient A= [0,1[∪{2}et B= [0,1] deux parties de Rmunies de la topologie induite.
Soit f:A→Bdonn´ee par f(2) = 1 et f(x) = xsi x∈[0,1[. Montrer que fest continue et bijective
mais n’est pas un hom´eomorphisme.
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