Sujets de TER L3 – Sur la topologie. Enseignant: C. Tipler Le but de

Sujets de TER L3 – Sur la topologie. Enseignant: C. Tipler
Le but de ces TER est d’approfondir les notions abord´ees en Topologie.
1. Sujet 1
Le but de ce TER est de comprendre le Th´eor`eme suivant:
Theorem 1.1 (Th´eor`eme de m´etrisabilit´e d’Urysohn).Soit Xun espace topologique.
Si Xest r´egulier et admet une base d´enombrable, alors Xest m´etrisable.
Dans le cours de topologie, on a ´etudi´e des espaces m´etriques (X, d). On a vu
qu’une m´etrique permet de d´efinir la notion d’ouvert sur X, et que ces ouverts v´eri-
fient une famille d’axiomes. De mani`ere plus g´en´erale, une famille de parties de X
v´erifiant ces axiomes est appel´ee une topologie sur X. Le Th´eor`eme de m´etrisabilit´e
d’Urysohn permet d’identifier certaines topologies qui proviennent d’une m´etrique.
Ce TER n´ecessite une bonne compr´ehension du cours de Topologie. La r´ef´erence
principale est [1].
2. Sujet 2
Ce deuxi`eme sujet porte sur la topologie des espaces de matrices. On d´emontrera
le r´esultat suivant:
Theorem 2.1. Soit Gun sous-groupe compact maximal de GLn(C). Alors Gest
conjugu´e `a Un(C).
Afin de montrer ce r´esultat, on ´etudiera certaines int´eractions entre th´eorie
des groupes et topologie. On introduira en particulier les notions de groupes
topologiques, d’actions de groupes continues.
Ce TER n´ecessite une bonne compr´ehension du cours Groupes et G´eom´etrie ainsi
que celui de Topologie. Une r´ef´erence est [2].
References
[1] J. Munkres, Topology, 2nd edition Prentice Hall, 2000.
[2] R. Mneimn´e, F. Testard, Introduction `a la th´eorie des groupes de Lie classiques, Hermann,
1986.
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