1 Ouvert, fermé, compact - CMAP

Ecole Polytechnique, 2010-2011 EV2- Math´ematiques Appliqu´ees
Fiche de cours 2 : Quelques rappels de topologie sur un espace m´etrique
1 Ouvert, ferm´e, compact
1.1 Espace m´etriques
D´efinition. (distance, espace m´etrique). Soit Eun ensemble. On dit qu’une application d:E×E→R+
est une distance sur Esi dv´erifie les trois propri´et´es suivantes :
(i) Propri´et´e de s´eparation : ∀x, y ∈E, d(x, y)=0⇒x=y.
(ii) Propri´et´e de sym´etrie : ∀x, y ∈E, d(x, y) = d(y, x).
(iii) In´egalit´e triangulaire : ∀x, y, z ∈E, d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z).
On appelle espace m´etrique tout couple (E, d) constitu´e d’un ensemble Eet d’une distance dsur E.
Remarque. Ret Csont des espaces m´etriques, munis de la distance d(x, y) = |x−y|. Tout ce qui suit
s’applique donc ´egalement au cas de Rou C.
Dans toute la suite on suppose que (E, d) est un espace m´etrique.
1.2 Ouverts, ferm´es
D´efinition. Pour tout x0∈Eet tout r > 0, on appelle boule ouverte de centre x0et de rayon r
l’ensemble
B(x0, r) = {x∈E, d(x, x0)< r}.
On appelle boule ferm´ee de centre x0et de rayon rl’ensemble
¯
B(x0, r) = {x∈E, d(x, x0)≤r}.
D´efinition. 1. Une partie Ude Eest un ouvert de Esi pour tout x∈Uil existe ε > 0 tel que
B(x, ε)⊂U.
2. Une partie Fde Eest un ferm´e de Esi et seulement si son compl´ementaire Fcdans Eest ouvert.
Proposition. Soit Eun espace m´etrique et Fune partie de E. Alors Fest ferm´e si et seulement si pour
toute suite (xn)nd’´el´ements de Fqui converge vers un ´el´ement x∈E, alors x∈F.
Remarque. 1. On omet souvent dans la pratique de pr´eciser l’espace relatif la notion de ferm´e ou
d’ouvert (par exemple on dira ”Uest un ouvert” au lieu de ”Uest un ouvert de R”).
2. Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts et les intervalles ferm´es sont des ferm´es. Plus
g´en´eralement, dans tout espace m´etrique E, toute boule ouverte est une partie ouverte et toute
boule ferm´ee est une partie ferm´ee.
Proposition. Soit Iun ensemble.
Soient (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts et (Fi)i∈Iune famille de ferm´es.
1. Si∈IUiest un ouvert.
2. Si Iest fini alors Ti∈IUiest un ouvert.
3. Ti∈IFiest un ferm´e.
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4. Si Iest fini alors Si∈IFiest un ferm´e.
Remarque. Par contre si In’est pas fini Ti∈IUin’est pas n´ecessairement ouverte et Si∈IFin’est pas
n´ecessairement ferm´ee comme en t´emoignent les deux exemples suivants :
\
n>0i−1
n,1 nh={0}non ouvert,[
n>0h0,1−1
ni= [0,1[ non ferm´e.
1.3 Adh´erence d’un ensemble
D´efinition. Soit Pune partie de Eet x∈E. On dit que xest adh´erent Psi et seulement si
∀ε > 0, B(x, ε)∩P6=∅.
On appelle l’adh´erence de Pdans Eet on note Pl’ensemble des points adh´erents P.
Proposition. Soit Pune partie de Eet x∈E. Alors xest dans Psi et seulement si xest la limite
d’une suite (xn)n∈Nd’´el´ements de P.
Proposition. Une partie Pde Eest ferm´ee dans Esi et seulement si P=P.
Proposition. Soit Pune partie de E. Alors Pest l’intersection de tous les ferm´es contenant P. C’est
donc le plus petit ferm´e contenant P.
1.4 Compacts
D´efinition. Soit Kune partie d’un espace m´etrique E. On dit que Kest compact si il v´erifie la propri´et´e :
Propri´et´e de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de Kpar des ouverts on peut extraire un sous-
recouvrement fini.
Ceci se traduit de la manire suivante : si (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts telle que K⊂Si∈IUialors il
existe un sous-ensemble fini J⊂Itel que K⊂Si∈JUi.
Proposition. Soit Kune partie d’un espace m´etrique E.Kest compact si et seulement si il v´erifie la
propri´et´e suivante :
Propri´et´e de Bolzano-Weierstrass : toute suite d’´el´ements de Kadmet une sous-suite convergente dans
K.
Proposition. Soit Kune partie de R,C,Rnou Cn. Alors Kest compact si et seulement si Kest une
partie ferm´ee et born´ee.
Exemple. Les segments de Rsont compacts. Plus g´en´eralement, toute boule ferm´ee de Rou Cest com-
pacte.
Proposition. 1. Une union finie de compacts est compacte.
2. Une intersection de compacts est compacte.
2 Fonctions
2.1 Cas g´en´eral
Soient (E, d) et (F, d0) deux espaces m´etriques.
D´efinition. Soit Pune partie de Eet f:P→Fune fonction.
1. La fonction fest continue en x0∈Psi
∀ε > 0,∃δ=δ(x0, ε)>0,∀x∈P, d(x, x0)≤δ⇒d0(f(x)−f(x0)) < ε.
Il est important de noter que ici δd´epend de x0.
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2. La fonction fest dite continue sur Psi elle est continue en tout point de P.
Proposition. Soit f:P→Fune fonction. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
1. fest continue en a.
2. Pour toute suite {an}n∈Nd’´el´ements de Payant pour limite a, on a
lim
n→+∞f(an) = f(a).
Proposition. Soit Kun compact d’un espace m´etrique E. Alors toute fonction f:K→Rest born´ee et
atteint ses bornes.
Proposition. Soit f:E→Fune fonction. Alors :
1. l’image r´eciproque par fd’un ouvert de Fest un ouvert de E;
2. l’image r´eciproque par fd’un ferm´e de Fest un ferm´e de E;
3. l’image directe par fd’un compact de Eest un compact de F.
D´efinition. f:P→Fest uniform´ement continue sur Psi elle v´erifie la propri´et´e (UC) :
(UC)∀ε > 0,∃δ=δ(ε)>0,∀(x, y)∈P2, d(x, y)< δ ⇒d0(f(x), f(y)) < ε.
Il est important de noter que ici δne d´epend que de ε.
Th´eorme (Heine).Toute fonction continue sur un compact est uniform´ement continue.
Exemple. La fonction x7→ x2n’est pas uniform´ement continue sur R, tout comme x7→ 1
xsur ]0; 1[.
D´efinition. 1. Soit k∈R+. On dit que f:P→Fest k-lipschitzienne sur Psi
∀(x1, x2)∈P2, d0(f(x1), f(x2)) ≤k d(x1, x2).
2. On dit que fest lipschitzienne sur Ps’il existe k∈R+tel que fsoit k-lipschitzienne sur P.
Proposition. Si fest lipschitzienne, alors fest uniform´ement continue.
Proposition. Th´eorme des valeurs interm´ediaires Soient a < b ∈Ret f: [a, b]→Rune fonction
continue valeurs dans R. Supposons que f(a)≤f(b). Alors :
∀γ∈[f(a); f(b)],∃c∈[a, b], f(c) = γ.
3 Suites
D´efinition. Soit (E, d) un espace m´etrique et (xn)nune suite d’´el´ements de E.
La suite (xn)nest une suite de Cauchy si
∀ε > 0,∃n0∈N,∀p, q ≥n0, d(xp, xq)≤ε.
Proposition. Toute suite convergente est de Cauchy.
R´eciproque fondamentale : dans Ret dans C, toute suite de Cauchy est convergente.
D´efinition. Soit (E, d) un espace m´etrique et (xn)nune suite d’´el´ements de E.
La suite (xn)na une valeur d’adh´erence xsi toute boule ouverte B(x, ε) contient une infinit´e de
valeurs de la suite (xn). Ceci s’´ecrit aussi :
∀ε > 0,∀n0∈N,∃n≥n0, d(xn, x)< ε.
Ceci est ´equivalent dire qu’il existe une sous-suite (xϕ(n))nde (xn)nqui converge vers x(ϕest ici une
injection croissante de Ndans N). On dit ´egalement qu’on peut extraire une sous-suite de (xn)n(ou encore
qu’il existe une suite extraite de (xn)n) qui converge vers x.
Proposition. 1. Une suite convergente a une unique valeur d’adh´erence, qui est sa limite.
2. Dans R,C,Rn,Cn, la r´eciproque est vraie si la suite est born´ee : une suite born´ee ayant une seule
valeur d’adh´erence est convergente.
Remarque. Il est utile dans la pratique de v´erifier qu’une suite concrte n’est pas convergente en exhibant
deux valeurs d’adh´erences.
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4 Ordre sur R
Th´eorme. Soit Aune partie non vide de R.
1. Si Aa un majorant, alors Aa un plus petit majorant, qu’on appelle borne sup´erieure de A.
2. Si Aa un minorant, alors Aa un plus grand minorant, qu’on appelle borne inf´erieure de A.
Proposition. Soit Aune partie non vide de Ret met Mdeux r´eels.
1. Mest la borne sup´erieure de Asi et seulement si Mv´erifie les deux assertions suivantes :
(a) ∀a∈A, a ≤M,
(b) ∀ε > 0,∃a∈A∩]M−ε, M].
2. mest la borne inf´erieure de Asi et seulement si mv´erifie les deux assertions suivantes :
(a) ∀a∈A, a ≥m
(b) ∀ε > 0,∃a∈A∩[m, m +ε[.
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