énoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
Feuille d’exercices no4
Exercice 1 : questions diverses
1. Soient A, B des compacts de deux espaces topologiques Xet Y. Soit Ω un ouvert de X×Y
contenant A×B. Montrer qu’il existe deux ouverts Uet Vde Xet Ytels que A×B⊂U×V⊂Ω.
2. Soient X, Y des espaces topologiques et f:X→Y. On d´efinit le graphe de fpar :
G(f) = {(x, f(x)) tq x∈X} ⊂ X×Y
a) Montrer que, si Yest s´epar´e, le graphe de fest ferm´e dans X×Ypour la topologie produit
si fest continue.
b) Montrer que, si Yest compact, fest continue sur G(f) est ferm´e.
c) Donner un contre-exemple `a la propri´et´e pr´ec´edente dans le cas o`u Yn’est pas compact.
3. Soit (X, d) un espace m´etrique. Montrer que (X, d) est compact si et seulement si il n’existe
pas de fonction continue non-born´ee de Xdans R.
[Indication : Penser `a utiliser la propri´et´e de Tietze.]
Exercice 2 : exemples d’espaces complets
Les espaces suivants sont-ils complets ? Si non, pouvez-vous en d´ecrire un compl´et´e ?
1. L’espace Pdes fonctions polynomiales sur [0; 1], muni de la norme ||P||∞= sup[0;1] |P(t)|.
2. L’espace E0des fonctions continues de Rdans Rtendant vers 0 en +∞et −∞.
3. L’espace Edes fonctions continues de Rdans R`a support compact, avec la norme ||f||∞.
Exercice 3 : exemples d’espaces compacts
Les espaces suivants sont-ils compacts ?
1. L’espace E= [0; 1][0;1] des fonctions de [0; 1] vers [0; 1], muni de la topologie produit ?
2. L’espace F⊂Edes fonctions 1-lipschitziennes, muni de la topologie induite par celle de E?
3. L’espace G⊂Edes fonctions continues, muni de la topologie induite par celle de E?
Exercice 4 : compactification de Stone- ˇ Cech
Soient Xun espace topologique et FXl’ensemble des fonctions continues de Xvers [0; 1]. Soit :
EX= [0; 1]FX=Y
f∈FX
[0; 1]
On d´efinit une application φ:X→EXpar :
φ(x) = {f(x)}f∈FX
1. Montrer que, si EXest muni de la topologie produit, φest une application continue.
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2. Dans cette question, on suppose que Xest un espace normal et s´epar´e.
a) Montrer que φest injective.
b) Montrer que φest ouverte vers son image, c’est-`a-dire que l’image par φd’un ensemble
ouvert de Xest un ensemble ouvert de φ(X).
c) En d´eduire que Xest hom´eomorphe `a un sous-ensemble de [0; 1]FX.
3. On ne suppose maintenant plus que Xest normal. On pose :
YX=φ(X)
Montrer que YXest compact et que φ(X) est dense dans YX.
4. Nous allons montrer que la propri´et´e suivante est vraie : si Zest un espace topologique
compact et g:X→Zest une fonction continue, alors il existe une fonction h:YX→Z
continue telle que g=h◦φ.
a) On suppose d’abord que Z= [0; 1]I, muni de la topologie produit, pour un certain ensemble
I. On note, pour tout i∈I,pi:Z→[0; 1] la projection sur la i-`eme coordonn´ee.
Montrer que h:{uf}f∈FX∈YX→ {upi◦g}i∈I∈Zv´erifie les propri´et´es voulues.
b) Montrer la propri´et´e pour Zsous-ensemble compact de [0; 1]I(avec la topologie induite).
c) Montrer la propri´et´e pour tous les compacts Z.
d) Montrer qu’une telle fonction hest unique.
On appelle YXla compactification de Stone- ˇ Cech de X.
Exercice 5 : un th´eor`eme de dynamique topologique
Soit (K, d) un espace m´etrique compact. Soit f:K→Kcontinue.
On dit qu’un point x∈Kest r´ecurrent s’il existe (φ(n))n∈Nune suite strictement croissante
d’entiers naturels telle que :
fφ(n)(x)→xquand n→+∞
1. a) Montrer l’existence d’un ferm´e Fnon-vide de Kqui soit stable par fet minimal au sens
de l’inclusion.
[Indication : Utiliser le lemme de Zorn.]
b) En d´eduire qu’il existe au moins un point r´ecurrent (th´eor`eme dˆu `a Birkhoff).
[Indication : Regarder l’ensemble Fk={fn(x), n ≥k}pour x∈F.]
2. On dit qu’un point x∈Kest non-errant si, pour tout voisinage Ude x, il existe n∈N∗tel
que fn(U)∩U6=∅.
On note R(f) l’ensemble des points r´ecurrents de fet NE(f) celui des points non-errants.
a) Montrer que R(f)⊂NE(f).
b) Donner un exemple o`u l’inclusion est stricte.
Exercice 6
Soit Eun R-espace vectoriel norm´e de dimension infinie. Soit K⊂Ecompact.
1. On note Sla sph`ere unit´e de E. Montrer qu’elle n’est pas compacte. [On pourra utiliser le
fait que la boule unit´e ne l’est pas.]
2. Soit x0∈E−Kquelconque. Montrer qu’il existe y∈ S tel que (x0+R+y)∩K=∅.
3. Montrer que E−Kest connexe par arcs.
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