Term S - Ch8 - Nombres complexes

Term S Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle Page 1
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Vous avez aimé les nombres complexes; toutes les nuits, vous rêvez de trigonométrie et vous n'envisagez plus la vie sans les
exponentielles ? Alors ce chapitre est fait pour vous !!!!!
Objectif n° 1 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Exercice 1 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;
→
u,
→
v) ( repère direct signifie que l'on passe du vecteur
→
u au vecteur
→
v en
tournant dans le sens direct )
On considère un nombre complexe z = x + i y ( avec x et y réels ) et M son
image dans le plan complexe.
On note C le cercle trigonométrique ( de centre O, de rayon 1 )
1 ) La demi-droite [OM) coupe le cercle C en A. Placer A sur la figure.
2 ) On pose r = OM ( rappel : r désigne donc le module de z, et l'on note r =
| |
z )
On pose également  = (
→
u,
→
OM ) (  se lit "téta" )
a ) Déterminer les coordonnées de A en fonction de  : A = ( ............. ; .................. ).
En déduire l'affixe de A en fonction de  : z
A
= ..........................................
b ) Déterminer r en fonction de x et de y : r = ..........................................
3 )
→
OM = r
→
OA donc on peut écrire M ( r cos  ; r sin  )
Donc z peut s'écrire z = x + i y ( c'est la forme .................................. de z )
Mais z peut donc aussi s'écrire z = r cos  + i r sin  = r ( cos  + i sin  ) ( cette forme s'appelle la forme trigonométrique de z )
Définitions 1 : lorsqu'un nombre complexe z est écrit sous la forme r ( cos  + i sin  ) , où r est un réel strictement positif et où  est un
réel quelconque, on dit que ce complexe z est écrit sous forme trigonométrique.
* le réel positif r est le module de z ( r =
| |
z )
*  est appelé un argument de z et on note  = arg (z)
Remarques :
1 ) le complexe z = 2 ( cos π
3 + i sin π 3 ) est écrit sous forme trigonométrique mais le complexe z ' = − 3 ( cos π 4 + i sin π 4 ) ne l'est pas car
..........................................
2 ) Contrairement à la forme algébrique, la forme trigonométrique d'un complexe n'est pas unique : par exemple, pour le complexe z ci-
dessus, on peut aussi écrire z = 2 ( cos 7π
3 + i sin 7π 3 ) car π 3 et 7π 3 sont deux mesures d'un même angle.
Plus généralement, il existe une infinité d'arguments ( donc de formes trigonométriques ) pour un complexe. Parmi cette infinité
d'argument, il n'y en a qu'un seul situé dans l'intervalle ] − π ; π ]. On l'appelle l'argument principal du complexe. Toutefois, par
abus de langage, on dira souvent l'argument pour désigner l'argument principal.
Exercice 2 : Voici 4 nombres complexes écrits sous forme trigonométrique. On note M
1
, M
2
, M
3
et M
4
leurs images dans un repère
orthonormé direct (O;
→
u,
→
v) .
z
1
= cos π
6 + i sin π 6 Z
2
= cos (− 2π
3 ) + i sin (− 2π 3 ) z
3
= 2 ( cos 3π
4 + i sin 3π 4 ) z
4
= 1,5 ( cos 3π
2 + i sin 3π 2 )
Placer les points M
1
, M
2
, M
3
et M
4
sur la figure ( voir page 2; le cercle tracé est le cercle trigonométrique, donc de rayon 1 ) .

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Exercice 3 : Voici 4 nombres complexes
z
1
= 3 ( cos π
6 + i sin π 6 ) z
2
= − 2 ( cos 3π
4 + i sin 3π 4 ) z
3
= cos 22π
3 + i sin 22π 3 z
4
= 4 ( cos π
3 − i sin π 3 )
1. Parmi ces 4 complexes, indiquer ceux qui sont écrits sous forme trigonométrique ( donner le module et l'argument principal ) et ceux
qui ne le sont pas ( justifier pour ces derniers )
2. Ecris les 4 nombres complexes sous forme algébrique.
3. Défi 1 : écris le nombre z
2
sous
forme trigonométrique 4. Défi 2 : écris le nombre z
4
sous
forme trigonométrique 5. Défi 3 : écris les nombres complexes z
5
= 5
2 i
et z
6
= 3 + 3 i sous forme trigonométrique
Exercice 4 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;
→
u,
→
v).
Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin  ). Soit M le point d'affixe z dans ce repère.
1. Faire apparaître r et  sur la figure ( voir page 3 ).
2. a. Placer le point M’, image de − z
b. Compléter en fonction de r et  :
| |
− z = ...... et arg ( − z ) = ......
c. En déduire − z sous forme trigonométrique. − z = ........................................
3. a. Placer le point M", image de z
b. Compléter en fonction de r et  :
| |
z = ...... et arg ( z ) = ......
c. En déduire z sous forme trigonométrique. z = ........................................

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4. Considérons le nombre complexe a = 3 ( cos π
7 + i sin π 7 ).
a. Préciser le module et l'argument principal de a
b. Ecrire − a sous forme trigonométrique
c. Ecrire a sous forme trigonométrique
L'exercice précédent met en évidence la propriété suivante :
Propriété 2 : soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin  ).
* Alors − z a pour forme trigonométrique − z = r ( cos ( + π) + i sin ( + π) ).
Donc
| |
− z =
| |
z ( résultat connu ) et arg (− z ) = arg (z ) + π
* Alors z a pour forme trigonométrique z = r ( cos (− ) + i sin (− ) )
Donc
| |
z =
| |
z ( résultat connu ) et arg ( z ) = − arg (z )
Exercice 5 : de la forme algébrique à la forme trigonométrique ....
1. Il est "facile" de passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique; voici quatre complexes écrits sous forme trigonométrique :
z
1
= 8 ( cos π
6 + i sin π 6 ) z
2
= 2 ( cos π
2 + i sin π 2 ) z
3
= 5 ( cos 16π
3 + i sin 16π 3 ) z
4
= 3 ( cos π + i sin π )
Ecrire z
1
, z
2
, z
3
et z
4
sous forme algébrique.
2. Il est moins "facile" de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
a. Etude d'un exemple : écrivons le complexe z = 2 + 2 i 3 sous forme trigonométrique.
étape 1 : on détermine le module de
| |
z vérifier que
| |
z = 4
étape 2 : on met
| |
z en facteur dans la forme algébrique de z z = 4 ( ....... + i ........ )
étape 3 : on cherche un angle  tel que cos  = 1
2 et sin  = 3 2
On obtient ici  = .......
étape 4 : conclusion Le complexe z = 2 + 2 i 3 a pour forme trigonométrique
z = .............................
b. En suivant la même méthode que ci-dessus, déterminer la forme trigonométrique de
z
1
= 3 + i z
2
= 1 − i 3 z
3
= − 3 3 − 3 i z
4
= 3 + 4 i

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Remarque : le nombre complexe z
4
de la question précédente montre que lorsque les valeurs obtenues dans les parenthèses ne sont pas
des cosinus et sinus remarquables, il n'est pas possible de trouver une mesure exacte de l'argument du complexe. De façon
générale, les valeurs choisies dans les exercices ne sont donc pas choisies complètement au hasard...
c. Dans certains cas, une simple figure suffit; pour chacun des complexes suivants :
z
5
= 3 z
6
= 2 i z
7
= − 2
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z
5
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
5
4. écrire alors z
5
sous forme
trigonométrique
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z
6
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
6
4. écrire alors z
6
sous forme
trigonométrique
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z
7
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
7
4. écrire alors z
7
sous forme
trigonométrique
z
8
= − 3 i z
9
= 1 + i z
10
= − 2 + 2 i
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z
8
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
8
4. écrire alors z
8
sous forme
trigonométrique
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en le module de z
9
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
9
4. écrire alors z
9
sous forme
trigonométrique
1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :
2. déduisez-en le module de z
10
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z
10
4. écrire alors z
10
sous forme
trigonométrique

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Objectif n° 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe
Exercice 6 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O;
→
u,
→
v).
On considère deux réels  et  ' .
Soit z le complexe z = cos  + i sin  . On nomme M le point d'affixe z.
Soit z ' le complexe z ' = cos  ' + i sin  ' . On nomme M’ le point d'affixe z '.
Les points M et M’ ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-contre.
1. On considère le complexe Z
1
= z × z '
Déterminer la forme algébrique de Z
1
.
Vérifier que Z
1
= cos (  +  ' ) + i sin (  +  ' )
2. On considère le complexe Z
2
= z
z '
Déterminer la forme algébrique de Z
2
.
Vérifier que Z
2
= cos (  −  ' ) + i sin (  −  ' )
On vient de démontrer les deux résultats suivants :
( cos  + i sin  ) × ( cos  ' + i sin  ' ) = cos (  +  ' ) + i sin (  +  ' ) et cos  + i sin 
cos  ' + i sin  ' = cos (  −  ' ) + i sin (  −  ' )
On constate que  et  ' s'additionnent lorsqu'on multiplie cos  + i sin  et cos  ' + i sin  '
et se soustraient lorsqu'on divise cos  + i sin  et cos  ' + i sin  '
On avait le même genre de situation avec les exponentielles : en effet e
x
× e
y
= e
x+y
et e
x
e
y
= e
x−y
Pour cette raison, les mathématiciens ont eu l'idée d'adopter une notation plus courte : plutôt que d'écrire cos  + i sin  , ils ont
convenu d'écrire e
i
( la lettre i dans l'exponentielle a été placée pour faire la distinction entre la fonction exponentielle qui est
une fonction où la variable est réelle et la notation exponentielle des nombres complexes )
Définitions 3 :
* Soit  un réel quelconque. Par convention, la notation e
i
désigne le complexe cos  + i sin  .
* Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin ).
Avec la notation précédente, z s'écrira donc z = r e
i
. Dans ce cas on dit que z est écrit sous forme exponentielle.
Propriétés 4 : Avec la notation précédente, les propriétés mises en évidence dans l'exercice 4 s'écrivent :
(1) :
' ( ')
i i i
e e e
θ θ θ θ
+
× =
et (2) :
( ')
'
ii
i
ee
e
θ
θ θ
θ
−
=
Exercice 7 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
(O;
→
u,
→
v) ci-contre.
1. Placer dans ce repère les points M
1
à M
4
, images respectives
des complexes :
z
1
= 4i z
2
= 2 + 2i z
3
= 3 − 3i z
4
= − 1 + i
2. Déterminer le module de chacun des complexes précédents.
3. Par simple lecture graphique, déterminer un argument de
chacun des complexes précédents.
4. Ecrire chacun des complexes précédents sous forme
exponentielle.