Term S - Ch8 - Nombres complexes

Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 1
Vous avez aimé les nombres complexes; toutes les nuits, vous rêvez de trigonométrie et vous n'envisagez plus la vie sans les
exponentielles ?
Alors ce chapitre est fait pour vous !!!!!
Objectif n° 1 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Exercice 1 :
→
→→
→
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; u , v ) ( repère direct signifie que l'on passe du vecteur u au vecteur v en
tournant dans le sens direct )
On considère un nombre complexe z = x + i y ( avec x et y réels ) et M son
image dans le plan complexe.
On note C le cercle trigonométrique ( de centre O, de rayon 1 )
1 ) La demi-droite [OM) coupe le cercle C en A. Placer A sur la figure.
2 ) On pose r = OM ( rappel : r désigne donc le module de z, et l'on note r = |z| )
→ →
On pose également  = ( u , OM ) (  se lit "téta" )
a ) Déterminer les coordonnées de A en fonction de  : A = ( ............. ; .................. ).
En déduire l'affixe de A en fonction de  : zA = ..........................................
b ) Déterminer r en fonction de x et de y : r = ..........................................
→
→
3 ) OM = r OA
donc on peut écrire M ( r cos  ; r sin  )
Donc z peut s'écrire z = x + i y ( c'est la forme .................................. de z )
Mais z peut donc aussi s'écrire z = r cos  + i r sin  = r ( cos  + i sin  ) ( cette forme s'appelle la forme trigonométrique de z )
Définitions 1 : lorsqu'un nombre complexe z est écrit sous la forme r ( cos  + i sin  ) , où r est un réel strictement positif et où  est un
réel quelconque, on dit que ce complexe z est écrit sous forme trigonométrique.
* le réel positif r est le module de z ( r = | z | )
*  est appelé un argument de z et on note  = arg (z)
Remarques :
π
π
π
π
+ i sin ) est écrit sous forme trigonométrique mais le complexe z ' = − 3 ( cos + i sin ) ne l'est pas car
3
3
4
4
..........................................
1 ) le complexe z = 2 ( cos
2 ) Contrairement à la forme algébrique, la forme trigonométrique d'un complexe n'est pas unique : par exemple, pour le complexe z ci7π
7π
π 7π
dessus, on peut aussi écrire z = 2 ( cos
+ i sin
) car et
sont deux mesures d'un même angle.
3
3
3
3
Plus généralement, il existe une infinité d'arguments ( donc de formes trigonométriques ) pour un complexe. Parmi cette infinité
d'argument, il n'y en a qu'un seul situé dans l'intervalle ] − π ; π ]. On l'appelle l'argument principal du complexe. Toutefois, par
abus de langage, on dira souvent l'argument pour désigner l'argument principal.
Exercice 2 : Voici 4 nombres complexes écrits sous forme trigonométrique. On note M1, M2, M3 et M4 leurs images dans un repère
→→
orthonormé direct (O; u , v ) .
z1 = cos
π
π
+ i sin
6
6
Z2 = cos (−
2π
2π
) + i sin (−
)
3
3
z3 = 2 ( cos
3π
3π
+ i sin
)
4
4
z4 = 1,5 ( cos
3π
3π
+ i sin
)
2
2
Placer les points M1, M2, M3 et M4 sur la figure ( voir page 2; le cercle tracé est le cercle trigonométrique, donc de rayon 1 ) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 1
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 2
Exercice 3 : Voici 4 nombres complexes
z1 = 3 ( cos
π
π
+ i sin )
6
6
z2 = −
2 ( cos
3π
3π
+ i sin
)
4
4
z3 = cos
22π
22π
+ i sin
3
3
z4 = 4 ( cos
π
π
− i sin )
3
3
1. Parmi ces 4 complexes, indiquer ceux qui sont écrits sous forme trigonométrique ( donner le module et l'argument principal ) et ceux
qui ne le sont pas ( justifier pour ces derniers )
2. Ecris les 4 nombres complexes sous forme algébrique.
3. Défi 1 : écris le nombre z2 sous
forme trigonométrique
4. Défi 2 : écris le nombre z4 sous
forme trigonométrique
et
Exercice 4 :
5
i
2
z6 = 3 + 3 i sous forme trigonométrique
5. Défi 3 : écris les nombres complexes
z5 =
→→
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; u , v ).
Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin  ). Soit M le point d'affixe z dans ce repère.
1. Faire apparaître r et  sur la figure ( voir page 3 ).
2. a. Placer le point M’, image de − z
b. Compléter en fonction de r et  : |− z | = ...... et arg ( − z ) = ......
c. En déduire − z sous forme trigonométrique.
− z = ........................................
3. a. Placer le point M", image de z
b. Compléter en fonction de r et  :
| z | = ...... et arg (
c. En déduire z sous forme trigonométrique.
z ) = ......
z = ........................................
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 2
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
4. Considérons le nombre complexe a = 3 ( cos
Page 3
π
π
+ i sin ).
7
7
a. Préciser le module et l'argument principal de a
b. Ecrire − a sous forme trigonométrique
c. Ecrire a sous forme trigonométrique
L'exercice précédent met en évidence la propriété suivante :
Propriété 2 : soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin  ).
* Alors − z a pour forme trigonométrique − z = r ( cos ( + π) + i sin ( + π) ).
Donc | − z |= | z | ( résultat connu ) et arg (− z ) = arg (z ) + π
* Alors z a pour forme trigonométrique
Donc
z = r ( cos (− ) + i sin (− ) )
| z |= | z | ( résultat connu )
et
arg ( z ) = − arg (z )
Exercice 5 : de la forme algébrique à la forme trigonométrique ....
1. Il est "facile" de passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique; voici quatre complexes écrits sous forme trigonométrique :
16π
16π
π
π
π
π
z1 = 8 ( cos + i sin )
z2 = 2 ( cos + i sin )
z3 = 5 ( cos
+ i sin
)
z4 = 3 ( cos π + i sin π )
6
6
2
2
3
3
Ecrire z1 , z2 , z3 et z4 sous forme algébrique.
2. Il est moins "facile" de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
a. Etude d'un exemple : écrivons le complexe z = 2 + 2 i
étape 1 : on détermine le module de
3 sous forme trigonométrique.
|z |
vérifier que |z | = 4
étape 2 : on met |z | en facteur dans la forme algébrique de z
étape 3 : on cherche un angle  tel que cos  =
étape 4 : conclusion
1
3
et sin  =
2
2
z = 4 ( ....... + i ........ )
On obtient ici  = .......
Le complexe z = 2 + 2 i 3 a pour forme trigonométrique
z = .............................
b. En suivant la même méthode que ci-dessus, déterminer la forme trigonométrique de
z2 = 1 − i 3
z3 = − 3 3 − 3 i
z4 = 3 + 4 i
z1 = 3 + i
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 3
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 4
Remarque : le nombre complexe z4 de la question précédente montre que lorsque les valeurs obtenues dans les parenthèses ne sont pas
des cosinus et sinus remarquables, il n'est pas possible de trouver une mesure exacte de l'argument du complexe. De façon
générale, les valeurs choisies dans les exercices ne sont donc pas choisies complètement au hasard...
c. Dans certains cas, une simple figure suffit; pour chacun des complexes suivants :
z5 = 3
z6 = 2 i
z7 = − 2
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z5
2. déduisez-en sans calcul le module de z6
2. déduisez-en sans calcul le module de z7
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z5
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z6
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z7
4. écrire alors z5 sous forme
trigonométrique
4. écrire alors z6 sous forme
trigonométrique
4. écrire alors z7 sous forme
trigonométrique
z8 = − 3 i
z9 = 1 + i
z10 = − 2 + 2 i
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
1. Placer le point image sur la figure cidessous :
2. déduisez-en sans calcul le module de z8
2. déduisez-en le module de z9
2. déduisez-en le module de z10
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z8
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z9
3. par simple lecture graphique déterminer
un argument de z10
4. écrire alors z8 sous forme
trigonométrique
4. écrire alors z9 sous forme
trigonométrique
4. écrire alors z10 sous forme
trigonométrique
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 4
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 5
Objectif n° 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe
Exercice 6 :
→→
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; u , v ).
On considère deux réels  et  ' .
Soit z le complexe z = cos  + i sin  . On nomme M le point d'affixe z.
Soit z ' le complexe z ' = cos  ' + i sin  ' . On nomme M’ le point d'affixe z '.
Les points M et M’ ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-contre.
1. On considère le complexe Z1 = z × z '
Déterminer la forme algébrique de Z1.
Vérifier que Z1 = cos (  +  ' ) + i sin (  +  ' )
z
2. On considère le complexe Z2 =
z'
Déterminer la forme algébrique de Z2.
Vérifier que Z2 = cos (  −  ' ) + i sin (  −  ' )
On vient de démontrer les deux résultats suivants :
( cos  + i sin  ) × ( cos  ' + i sin  ' ) = cos (  +  ' ) + i sin (  +  ' )
et
cos  + i sin 
= cos (  −  ' ) + i sin (  −  ' )
cos  ' + i sin  '
On constate que  et  ' s'additionnent lorsqu'on multiplie cos  + i sin  et cos  ' + i sin  '
et se soustraient lorsqu'on divise cos  + i sin  et cos  ' + i sin  '
x
y
On avait le même genre de situation avec les exponentielles : en effet e × e = e
x+y
et
e
x
y
=e
x−y
e
Pour cette raison, les mathématiciens ont eu l'idée d'adopter une notation plus courte : plutôt que d'écrire
cos  + i sin  , ils ont
i
convenu d'écrire e ( la lettre i dans l'exponentielle a été placée pour faire la distinction entre la fonction exponentielle qui est
une fonction où la variable est réelle et la notation exponentielle des nombres complexes )
Définitions 3 :
i
* Soit  un réel quelconque. Par convention, la notation e désigne le complexe cos  + i sin  .
* Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos  + i sin ).
i
Avec la notation précédente, z s'écrira donc z = r e . Dans ce cas on dit que z est écrit sous forme exponentielle.
Propriétés 4 : Avec la notation précédente, les propriétés mises en évidence dans l'exercice 4 s'écrivent :
(1) :
e ×e = e
iθ
iθ '
i ( θ +θ ')
et
(2) :
eiθ
= ei (θ −θ ')
iθ '
e
Exercice 7 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
→→
(O; u , v ) ci-contre.
1. Placer dans ce repère les points M1 à M4, images respectives
des complexes :
z1 = 4i
z2 = 2 + 2i
z3 = 3 − 3i
z4 = − 1 + i
2. Déterminer le module de chacun des complexes précédents.
3. Par simple lecture graphique, déterminer un argument de
chacun des complexes précédents.
4. Ecrire chacun des complexes précédents sous forme
exponentielle.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 5
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 6
Exercice 8 :
i
Considérons les nombres complexes z et z ' écrits sous forme exponentielle par z = 2
π
e3
i
et
z' = 3
π
e4
1. On pose Z1= z × z ' . Ecrire Z1 sous forme exponentielle ( pensez aux propriétés 4 - page précédente )
2. On pose Z2 =
z
z'
. Ecrire Z2 sous forme exponentielle ( pensez aux propriétés 4 - page précédente )
3. De façon plus générale, considérons les nombres complexes z et z ' écrits sous forme exponentielle par z = r e
On considère les nombres complexes
Z1= z × z ' et
Z2 =
i
et
z' =r'e
i'
z
z'
a. Ecrire Z1 et Z2 sous forme exponentielle.
b. En déduire |Z1| et |Z2| en fonction de r et de r '
c. En déduire arg(Z1) et arg(Z2) en fonction de  et de  '
L'exercice 8 met en évidence la propriété suivante :
Propriété 5 : soient z et z sont deux complexes de modules |z1 | et |z2 | et d'arguments arg ( z1 ) et arg ( z2 ) .
1
2
* z × z a pour module |z1 | × |z2 | et pour argument arg ( z1 ) + arg ( z2 ) ce qui peut s'écrire
1
2
|z1 × z2 |= |z | × |z |
1
2
et
arg ( z × z ) = arg ( z1 ) + arg ( z2 )
1
2
z
|z1 |
1
*
a pour module
et pour argument arg ( z1 ) − arg ( z2 ) ce qui peut s'écrire
z
|z2 |
2
z1 |z1 |
z =
 2 |z2 |
z
et
arg (
1
z
) = arg ( z1 ) − arg ( z2 )
2
Remarques :
1. Dans le cas où z = 1, on a
1
On en déduit :
|z1 | = 1 et arg ( z1 ) = 0
1 1
z =
 2 |z2 |
et
arg (
1
) = − arg ( z2 )
z
2
2. L'exercice 8 met en évidence le fait qu'il est très facile de calculer le produit ou le quotient de deux nombres complexes écrits sous
forme exponentielle.
Par contre, lorsqu'on doit calculer la somme ou la différence de deux complexes, la forme exponentielle n'est pas adaptée; il est
beaucoup plus commode de calculer une somme ou une différence de deux complexes en utilisant la forme algébrique.
Exercice 9 :
i
Considérons les nombres complexes z et z ' écrits sous forme exponentielle par z = 2
π
e6
et
z' = 5
e
i
2π
3
1. Ecrire z et z ' sous forme algébrique.
2. On doit calculer les nombres suivants
Z1 = z − z '
Z2 = − 3z × 5 z '
Z3 = 5z + 6z '
Z4 = z²
Z5 =
5z
2z '
a . Pour chacun des nombres Z1 à Z5 , indiquer quelle forme ( algébrique ou exponentielle ) de z et de z ' est la plus appropriée pour
faire le calcul.
b. Calculer alors les nombres Z1 à Z5 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 6
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 7
Exercice 10 :
1 ) On donne z1 = 3 ( cos
π
π
π
π
+ i sin ) et z2 = 2 ( cos + i sin )
5
5
3
3
2 ) On donne z3 = 7
e
i
2π
3
et
z4 = 8
e
−3iπ
4
a ) Préciser le module et l'argument de z1 et de z2
a ) Préciser le module et l'argument de z3 et de z4
b ) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle
b ) Ecrire z3 × z4 ;
z3
1
et
sous forme exponentielle
z4
z4
c ) Ecrire z3 × z4 ;
z3
1
et
sous forme trigonométrique
z4
z4
c ) En déduire la forme exponentielle de z1 × z2 ;
z1
1
et
z2
z2
Exercice 11 :
Soit z un nombre complexe écrit sous forme exponentielle : z = r e
i
1. Ecrire z² sous forme exponentielle
2. Démontrer par récurrence que pour tout n  1 : zn = rn e
in
Propriété 6 :
i
Si z est un nombre complexe écrit sous forme exponentielle : z = r e alors pour tout n  1 : zn = rn e
in
Exercice 12 :
i
1. Soit z = 2
π
e 12
. Ecrire z5 sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
2. Soient z1 , z2 et z3 les nombres complexes : z1 =
3e
i
π
3
z2 =
Ecrire sous forme exponentielle les complexes suivants :
e
i
π
4
et
e
z3 = 5
a ) z1 × z2 × z3
−i
π
4
b)
.
z1 × z2
z3
c ) z14 × z23 × z32
d ) z22017
Exercice 13 :
On considère les nombres complexes z1 , z2 et Z définis par
z1 =
e
i
π
3
z2 =
e
−i
π
4
et
Z = z1 × z2
1. Ecrire Z sous forme exponentielle.
2. Déterminer la forme algébrique de z1 puis celle de z2 . A l'aide de ces deux résultats, en déduire la forme algébrique de Z .
3. En utilisant les questions 1 et 2, déterminer la valeur exacte de cos
π
π
et de sin
12
12
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 7
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 8
Objectif n° 3 : Utilisations des nombres complexes en géométrie
→→
On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O; u , v ).
Quelques rappels importants :
* concernant les mesures d'angles de vecteurs :
→
→
→
→
1. soient u1 et u2 deux vecteurs quelconques; l'angle entre les vecteurs u1 et u2
→ →
se note ( u1 , u2 ) et correspond à l'angle représenté sur la figure ci-contre :
2. Relation de Chasles concernant les angles de vecteurs :
→ →
→ →
→ →
( u1 , u2 ) + ( u2 , u3 ) = ( u1 , u3 )
3. Quelques relations à connaître :
→ →
→ →
( u1 , u2 ) = − ( u2 , u1 )
→ →
→ →
(− u1 , u2 ) = ( u1 , u2 ) + π
→
→
→ →
( u1 , − u2 ) = ( u1 , u2 ) + π
→
→
→ →
(− u1 , − u2 ) = ( u1 , u2 )
→
→
→ →
si k et k ' sont deux réels de même signe, ( k u1 , k ' u2 ) = ( u1 , u2 )
→
→
→ →
si k et k ' sont deux réels de signes contraires, ( k u1 , k ' u2 ) = ( u1 , u2 ) + π
* concernant les modules de complexes :
1. si M est un point du plan complexe d'affixe z, alors la distance OM est égale au module de z ( |z | = OM )
2. si A et B sont deux points du plan complexe d'affixes respectives zA et zB , alors on a AB = |zB − zA |
Propriété 7 (admise )
→ →
→ →
* si M est un point du plan complexe d'affixe z, alors l'argument de z représente l'angle ( u , OM ) c'est-à-dire arg (z) = ( u , OM )
→ →
* si A et B sont deux points du plan complexe d'affixes respectives zA et zB , alors on a ( u , AB ) = arg ( zB − zA )
Propriété 8 :
→ →
soient A, B, C et D 4 points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD . On a alors : ( AB , CD ) = Arg (
zD − zC
)
zB − zA
Exercice 14 : démontrer la propriété précédente
Remarque : dans plusieurs exercices de bac, on demande de redémontrer cette propriété ( il faut donc savoir refaire l'exercice 14 ... ).
Si la démonstration n'est pas demandée, on peut, dans un exercice, utiliser la propriété 8 sans la justifier.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 8
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 9
Exercice 15 : Soit f la fonction qui, à tout point M du plan d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z ' telle que : z ' = ( 1 + i ) z + 2
A, B, C et D sont les points d'affixes respectives
a = −2 + 2 i ; b = − 1 + 3 i ; c = −2 et d = 2 i
1. Déterminer l'affixe b ' du point B ', image
du point B.
2. Démontrer que D est le seul point
invariant par f ( on rappelle qu'un point M
est invariant par signifie que
f (M) = M )
3. a. Démontrer que pour tout complexe z
différent de d, on a :
z'−z=−i(d−z)
b. En déduire le module et l'argument de
z'−z
d−z
4. Déduire de ce qui précède que
MM ' = MD.
5. Déterminer une mesure de l'angle
→ →
( MD , MM ' ).
6. Sur la figure ci-contre, un point M a été placé; construire le point M’ en mettant en évidence la construction.
Exercice 16 :
→→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u , v ) ( unité graphique : 1 cm )
On considère les points A et B d'affixes respectives : zA = 1 et zB = − 1
Soit f la fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M différent de B et d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z ' définie par :
z'=
z−1
z+1
1. Déterminer les points invariants de f, c'est-à-dire les points M tels que f (M) = M.
2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de − 1, on a
(z'−1)(z+1)=−2
b. En déduire une relation entre |z ' − 1| et |z + 1|, puis entre arg ( z ' − 1 ) et arg ( z + 1 )
c. Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles.
3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C ’ ) dont on précisera le centre et le
rayon.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 9
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 10
Exercice 17 :
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : zA = 4 + i , zB = 1 + i , zC = 5 i et zD = − 3 − i
Soit f la fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z ' tel que : z ' = ( 1 + 2 i ) z − 2 − 4 i
→→
1. Placer les points A, B, C et D dans le repère orthonormé direct (O; u , v ) ci-dessous
2. a. Préciser les images des points A et B par f.
b. Montrer que f admet un unique point invariant  dont on précisera l'affixe .
3. a. Montrer que pour tout nombre complexe z on a :
z ' − z = − 2i ( 2 − i − z )
b. En déduire, pour tout point M différent du point , la valeur de
→ →
MM '
et une mesure en radians de l'angle ( M , MM ')
M
c. Quelle est la nature du triangle MM ’ ?
4. Soit E le point d'affixe zE = −1 − i
3.
a. Ecrire zE sous forme trigonométrique, puis placer le point E sur la figure.
b. Réaliser ensuite la construction du point E ', image du point E par f.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 10
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 11
Exercice 18 :
→→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u , v ) ( unité graphique : 2 cm )
3
3
, zB = zA et zC = − 3
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA = − + i
2
2
Partie A :
1. Ecrivez zA et zB sous forme exponentielle.
2. Placez les points A, B et C
3. Démontrez que le triangle ABC est équilatéral.
Partie B : Soit f la fonction qui a tout point M d'affixe z associe le point M’ d'affixe z ' =
1
i z²
3
On note O ' , A ' , B ' et C' les images des points O, A, B et C respectivement.
4. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A ' , B ' et C’.
b. Placez les points A ' , B ' et C’.
c. Démontrer l'alignement des points O, A, B ' ainsi que celui des points O, B, A '.
5. Démontrer que si M appartient à la droite (AB), alors M’ appartient à la parabole d'équation y =
3
1
x² +
4
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 11
Term S
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 12
Pour aller plus loin : pour ceux qui croyaient naïvement qu'on ne pouvait pas "mélanger" les complexes et les suites !!!!!!
Exercice 19 :
→→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u , v ) ( unité graphique : 1 cm )
3+1
3−1
On considère les nombres complexes a =
+i(
) et z0 = 6 + 6 i
4
4
Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par An le point d'affixe zn définie par zn = an z0
Partie A :
1. Déterminer la forme algébrique de z1 et de a².
1
2. Déterminer une forme exponentielle de z1 . Démontrer que a² =
2
i
π
e6.
3. a. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et de a² . En déduire la forme exponentielle de z3 et de z7
b. Placez les points A0 , A1 , A3 et A7 images respectives des nombres complexes z0 , z1 , z3 et z7 .
Partie B :
Pour tout entier naturel n, on pose |zn | = rn
4. a. Démontrer que pour tout entier naturel n : rn = 6
2(
2 n
)
2
b. Déduisez-en que la suite (rn) est une suite géométrique dont vous préciserez le 1er terme et la raison.
5. Déterminer la limite de la suite (rn) et interprétez géométriquement le résultat obtenu.
→ →
6. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp  10−3 et donnez alors une mesure de l'angle orienté ( u , OAp ).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Les profs de TS
Ch 8 : Nombres complexes - Forme trigonométrique et forme exponentielle
Page 12