Fonctions élémentaires

CHAPITRE 6
Fonctions ´el´ementaires
1. Fonctions polynomiales et rationnelles
Un polynˆome P`a valeurs dans (un corps) Kde degr´e nest une
expression
(1.1) P(X) := anXn+an−1Xn−1+. . . +a1X+a0,
o`u a0, a1, . . . , an∈Ket an6= 0.L’ensemble de tous les polynˆomes `a
valeurs dans Kest not´e K[X] et de ceux dont le degr´e est inf´erieur
o`u ´egal `a npar Kn[X]. Par exemple, on d´enote Z[X],R[X] et C[X],
respectivement, l’ensemble des polynˆomes `a valeurs enti`eres, r´eelles et
complexes.
Puisque tout ´el´ement de Kn[X] est d´etermin´e par ces coefficients
jusqu’`a l’ordre n, il y a un isomorphisme entre Kn[X] est l’espace
vectoriel Kn+1 sur Kde dimension n+ 1.
Les op´erations arithm´etiques sur K[X] sont d´efinies de fa¸con natu-
relle.
Une fonction p:R→Rest dite polynomiale r´eelle s’il existe un
polynˆome (1.1) dans R[X],dont les coefficients d´efinissent p, comme
suit
p(x) := anxn+an−1xn−1+. . . +a1x+a0
pour tout x∈R.
Un nombre rest dit une racine d’une fonction polynomiale psi
p(r)=0.Dans la suite, on abr´egera fonction polynomiale par polynˆome.
On v´erifie que
Proposition 1.1.Si a, b ∈K[X]et deg a > deg b, alors il existe
q, r ∈K[X]tel que
a=bq +r
et deg r < deg b.
Proposition 1.2.Un nombre x0∈Rest une racine d’un polynˆome
psi et seulement s’il existe un polynˆome qtel que
(1.2) p(x) = (x−x0)q(x)
pour tout x∈R.
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60 CHAPITRE 6. FONCTIONS ´ EL´ EMENTAIRES
D´ emonstration. Si (1.2), alors p(x0)=(x0−x0)q(x0)=0.R´eciproquement,
si x0est une racine de p, alors d’apr`es la proposition 1.1, il existe
r∈R0[X] (c’est-`a-dire il existe a0∈Rtel que r(x) = a0) et q∈R[X]
tel que
p(x) = (x−x0)q(x) + a0,
et par cons´equent, a0= 0.
-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 00,8 1,6 2,4 3,2 44,8
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
Figure 6.1. Fonction f(x) = x2
x2−1,ainsi que les asymp-
totes x=−1 et x= 1.
De mˆeme,
Proposition 1.3.Un nombre z0∈Cest une racine d’un polynˆome
p∈C[X]si et seulement s’il existe un polynˆome q∈C[X]tel que
(1.3) p(z) = (z−z0)q(z)
pour tout z∈C.
D’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre (th´eor`eme 0.13),
Th´ eor` eme 1.4.Tout polynˆome `a coefficients complexes de degr´e n
a pr´ecis´ement nracines (complexes).
Corollaire 1.5.Tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e na
pr´ecis´ement nracines (complexes).
Proposition 1.6.Si z∈Cest une racine de p∈R[X],alors z
est aussi une racine de p.

MATH´ EMATIQUES L1 61
Une fonction fest dite rationnelle s’il existe deux polynˆomes `a
coefficients r´eels p, q tels que
f(x) = p(x)
q(x)
pour tout x∈Rtel que q(x)6= 0.Ainsi fest d´efinie sur R\{x:q(x) = 0}.
2. Fonctions trigonom´etriques
On appelle l’angle entre deux vecteurs v0et v1non nuls dans R2, la
partie du plan contenue entre les deux demi-droites sortant de l’origine
0 et passant par v0et v1respectivement. On mesure les angles en leur
associant la longueur du segment d´elimit´e par ces demi-droites du cercle
de rayon 1 centr´e `a l’origine. Ainsi la grandeur d’un angle est comprise
entre 0 et 2πet ces deux limites correspondent `a la mˆeme position de
v0et v1.
✓
sin ✓
cos ✓
1
1
1
1
1
mercredi 20 novembre 13
Si θest un angle entre v0= (x0, y0) et v1= (x1, y1), alors
cos θ:= hv0, v1i
kv0kkv1k,
o`u hv0, v1i:= x0x1+y0y1et si v= (x, y),alors kvk:= px2+y2.Ainsi,
le cosinus cos θde l’angle θest d´efini comme le rapport entre la base
et l’hypot´enuse du triangle rectangle form´e par la projection de 1
kv1kv1
sur 1
kv0kv0et de 1 kv1kv1.
Le sinus sin θde l’angle θest d´efini comme le rapport entre la
hauteur et l’hypot´enuse du mˆeme triangle rectangle.

62 CHAPITRE 6. FONCTIONS ´ EL´ EMENTAIRES
-5 -2,5 02,5 5
-3
-2
-1
1
2
3
Figure 6.2. Le graphe du sinus passe par (0,0) et du
cosinus par (0,1) .
Si on suppose que v0et v1ont la longueur unitaire (kv0k=1=
kv1k), alors on mesure l’angle comme la distance parcourue sur le cercle
unitaire par un point qui va de v0`a v1dans le sens antihoraire, dit aussi
trigonom´etrique. En admettant que dans ce parcours le point puisse
faire plusieurs tours, on identifie θet θ+ 2πn pour tout n∈Z. Ainsi,
`a tout nombre r´eel ron associe l’angle. De telle sorte, on peut d´efinir
le sinus et et le cosinus tout r∈Rde fa¸con p´eriodique
sin r:= sin θr,cos r:= cos θr
o`u θr= min {r−2πn :r−2πn ≥0, n ∈Z}.
-5 -2,5 02,5 5
-3
-2
-1
1
2
3
Figure 6.3. Le graphe de la tangente.
On d´efinit la tangente par
tan θ:= sin θ
cos θ,

MATH´ EMATIQUES L1 63
c’est-`a-dire le rapport de la cath`ete oppos´ee `a l’angle `a celle adja-
cente. Ainsi la tangente est d´efinie pour θpour lesquels cos θ6= 0.
En r´esumant, tan : R\(π
2+πZ)→R. C’est une fonction surjective.
On rappelle
Th´ eor` eme 2.1 (Pythagore).Si aet bsont les longueurs des cath`etes
d’un triangle rectangle et cest la longueur de l’hypot´enuse, alors
a2+b2=c2.
D´ emonstration. Les deux carr´es de mˆeme aire, o`u les quatre
triangles rectangles identiques sont r´epartis de deux fa¸cons diff´erentes.
La comparaison des parties restantes
(a+b)2=a2+ 2ab +b2=c2+ 4(ab
2)
donne la formule recherch´ee.
a
a
b
b
a
a
b
b
c
c
Figure 6.4. Les deux carr´es de mˆeme aire avec quatre
trinagles identiques r´epartis de deux fa¸cons diff´erentes.
Si θest l’angle entre bet c, alors a=csin θ, b =ccos θ, donc
Corollaire 2.2.Pour tout θ∈R,
(sin θ)2+ (sin θ)2= 1.
Proposition 2.3.Pour tout αet β,
sin(α+β) = sin αcos β+ sin βcos α,
cos(α+β) = cos αcos β−sin βsin α.